運(yùn)籌學(xué)講義——影子價格

1、對偶最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)含義對偶最優(yōu)解的經(jīng)濟(jì)含義影子價格影子價格 *22*11*mmybybybZ 代表著當(dāng)?shù)诖碇?dāng)?shù)趇 i個右端常數(shù)增加一個個右端常數(shù)增加一個單位時，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的相應(yīng)增量。單位時，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的相應(yīng)增量。 其含義是在目前已給定的情況下，最其含義是在目前已給定的情況下，最優(yōu)目標(biāo)值隨資源數(shù)量變化的變化率；優(yōu)目標(biāo)值隨資源數(shù)量變化的變化率； 其其經(jīng)濟(jì)含義經(jīng)濟(jì)含義是為約束條件所付出的代是為約束條件所付出的代價。價。 當(dāng)當(dāng)B B是原問題的最優(yōu)基時，是原問題的最優(yōu)基時，Y=CBB-1就是影子價格向量就是影子價格向量。iiZybABC擁有量工 時1113材 料1479單件利潤23312min

2、39Wyy12121212243. .730,0yyyystyyyy y*1=5/3, y*2=1/3 即工時的影子價格為即工時的影子價格為5/3，材料的影子價格為，材料的影子價格為1/3。分析分析： 1. y1=5/3說明在現(xiàn)有的資源限量的條件下，說明在現(xiàn)有的資源限量的條件下，增加一個單位第一種資源可以給企業(yè)帶來增加一個單位第一種資源可以給企業(yè)帶來5/3元元的利潤；如果要出售該資源，其價格至少在成本的利潤；如果要出售該資源，其價格至少在成本價上加價上加5/3元。元。 如果如果y1為為0，則表示增加第一種資源不會增加利，則表示增加第一種資源不會增加利潤，因為第一種資源還潤，因為第一種資源還 沒

3、有用完。沒有用完。|影子價格是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而作出的估價，這種估價不是資源的市場價格。 它反映了在最優(yōu)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中，在資源得到最優(yōu)配置前提下，資源的邊際使用價值。單純形表中松弛變量所對應(yīng)的檢驗數(shù)的相反數(shù)是在該經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中的影子價格，也可以說對偶問題的最優(yōu)解向量是結(jié)構(gòu)中的影子價格。|定理1：在某項經(jīng)濟(jì)活動中，在資源得到最優(yōu)配置條件下， 此定理的經(jīng)濟(jì)意義：（1）若生產(chǎn)一個單位第j種產(chǎn)品按消耗資源的影子價格計算的支出等于銷售一個單位該產(chǎn)品所得收入，則可生產(chǎn)此產(chǎn)品。（2）如果生產(chǎn)一個單位的第j種產(chǎn)品按所消耗資源的影子價格計算的支出大于銷售一個單位該產(chǎn)品得到的收入，則不宜生產(chǎn)此產(chǎn)品。i=i=0;

4、,=0jjjjaycaycmjij1mijj1若 x ， 則 有若則 有 x|定理2：在某項經(jīng)濟(jì)活動中，在資源得到最優(yōu)配置條件下，（1）若第種資源供大于求，即則該項資源的影子價格為0（2）若第種資源供求平衡，即則該項資源的影子價格大于等于0。影子價格越大，說明這種資源越是相對緊缺（根據(jù)影子價格確定資源采購,當(dāng)市場價格低于影子價格，就買進(jìn)資源，當(dāng)市場價格高于影子價格，就賣出資源）影子價格越小，說明這種資源相對不緊缺如果最優(yōu)生產(chǎn)計劃下某種資源有剩余，這種資源的影子價格一定等于0j=jia xbnij1j=jia xbnij1ABC擁有量工 時1113材 料1479單件利潤233 y*1=5/3,

5、y*2=1/3 即工時的影子價格為即工時的影子價格為5/3，材料的影子價格為材料的影子價格為1/3。如果目前市場上材料的價如果目前市場上材料的價格低于格低于1/3，則企業(yè)可以，則企業(yè)可以購進(jìn)材料來擴(kuò)大生產(chǎn)，反購進(jìn)材料來擴(kuò)大生產(chǎn)，反之可以賣掉部分材料。之可以賣掉部分材料。 如果有客戶以高于如果有客戶以高于5/3的價格購買工時，則可以的價格購買工時，則可以出售一些工時，反之則反出售一些工時，反之則反12min39Wyy12121212243. .730,0yyyystyyyy和市場價格的比較市場價格影子價格商品的價值的貨幣表現(xiàn)資源最優(yōu)利用時的邊際價值隨著市場的供求情況和有關(guān)方針，政策的變化而變化。

6、隨著經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化而變化，同一資源在不同的經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)中影子價格不同。它的制定含定價者的主觀因素它的形成完全由經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的客觀條件確定。它的制定是個比較復(fù)雜的過程，不存在統(tǒng)一的計算公式。它的計算是比較容易的。用單純形法求得|繼續(xù)比較任何一種商品的市場價格都不可能為0影子價格可以為0，當(dāng)資源過剩是，其影子價格為0市場價格為已知數(shù)，相對比較穩(wěn)定。影子價格則有賴于資源利用情況，是未知數(shù)。因企業(yè)生產(chǎn)任務(wù)，產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)等情況發(fā)生變化，資源的影子價格也隨之改變。 在生產(chǎn)計劃問題的一般形式中，A代表企業(yè)的技術(shù)狀況，b代表企業(yè)的資源狀況，而C代表企業(yè)產(chǎn)品的市場狀況，在這些因素不變的情況下企業(yè)的最優(yōu)生產(chǎn)計劃和最大利潤由

7、線性規(guī)劃的最優(yōu)解和最優(yōu)值決定。在實(shí)際生產(chǎn)過程中，上述三類因素均是在不斷變化的，如果按照初始的狀況制訂了最佳的生產(chǎn)計劃，而在計劃實(shí)施前或?qū)嵤┲猩鲜鰻顩r發(fā)生了改變，則決策者所關(guān)心的是目前所執(zhí)行的計劃還是不是最優(yōu)，如果不是應(yīng)該如何修訂原來的最優(yōu)計劃。更進(jìn)一步，為了防止在各類狀況發(fā)生時，來不及隨時對其變化作出反應(yīng)，即所謂“計劃不如變化快”，企業(yè)應(yīng)當(dāng)預(yù)先了解，當(dāng)各項因素變化時，應(yīng)當(dāng)作出什么樣的反應(yīng)。 設(shè)線性規(guī)劃問題： maxZ=CX s.t. AX=bA代表企業(yè)技術(shù)狀況b 代表企業(yè)資源狀況C代表企業(yè)產(chǎn)品市場狀況（利潤) 這些因素不 變的情況下，企業(yè)最優(yōu)生產(chǎn)計劃和最大利潤由線性規(guī)劃的最優(yōu)解和最優(yōu)值決定。最

8、優(yōu)化后分析，可歸為以下兩類問題： 1）當(dāng)系數(shù)A，b，C發(fā)生改變時，目前 最優(yōu)基是否還最優(yōu)？2） 為保持目前最優(yōu)基還是最優(yōu)，系 數(shù)A，b，C的允許變化范圍是什么？假設(shè)每次只有一種系數(shù)變化靈敏度分析包括以下五種：目標(biāo)系數(shù)C變化 基變量系數(shù)發(fā)生變化； 非基變量系數(shù)發(fā)生變化；右端常數(shù)b變化增加一個變量增加一個約束技術(shù)系數(shù)A發(fā)生變化 CB XB cjCBCN xj b XBTXNTCBTXBB-1b B-1BB-1N- CB B-1b CB- CB B-1BCN- CB B-1N若B是最優(yōu)基，則最優(yōu)表形式如下靈敏度分析總是在最優(yōu)表上進(jìn)行 例27 線性規(guī)劃 5432100332maxxxxxxZ39743

9、5153214321xxxxxxxxxx CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4X50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3例27 線性規(guī)劃 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4X50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/34111),(21PPB3/13/13/13/4,1070111BN219331313134931B3131231341107011313131341NB例27 線

10、性規(guī)劃 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4X50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/33-2*（-1）-3*2=-1例27 線性規(guī)劃 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3價值系數(shù)CN發(fā)生改變 C3C3-4如果C34,則目前解不再是最優(yōu)解,應(yīng)該用單純形方法繼續(xù)求解,否則解不變。即對于C3而言,使最優(yōu)解不變的條件是C34。例27 線性規(guī)劃

11、CB XB cj23500 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/31-8001-5/3-1/3價值系數(shù)CN發(fā)生改變 2x1211/20 7/6-1/65x3101/21-1/61/6-90-0.50-3/2-1/2例27 線性規(guī)劃 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3價值系數(shù)CB發(fā)生改變 C1-3C1C11-4/3C11/3C1-1C1-3 0, 1-

12、4/3C10, 1/3C1-10 C13若C13/4 則x4進(jìn)基，x1出基若3 C1 則x3或x5進(jìn)基，x2出基例27 線性規(guī)劃 CB XB cj1/23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147011/2x1110-1 4/3-1/33/43x22012-1/31/3-13/200-5/21/3-5/6價值系數(shù)CB發(fā)生改變 0 x43/43/40-3/4 1-1/43x29/41/417/401/4-27/4-1/40-9/40-3/4例27 線性規(guī)劃 CB XB cj43300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147014x1

13、110-1 4/3-1/33x22012-1/31/33/2-10001-13/31/3價值系數(shù)CB發(fā)生改變 4X13111 100X56036-11-120-1-1-40例27 線性規(guī)劃 右端常數(shù)b發(fā)生改變 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3b14b1/3-33/3334931313134911111bbbbB3-b1/39/4b1 9-3-5b1/3例27 線性規(guī)劃 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x4211

14、1 100 x59147012x1-1/310-1 4/3-1/33x27/3012-1/31/3-19/300-1-5/3-1/3右端常數(shù)b發(fā)生改變 0X51-303 -413X2211110-6-100-30最小比值1 1例27 線性規(guī)劃 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x412111 100 x59147012x11310-1 4/3-1/33x2-1012-1/31/3-2300-1-5/3-1/3右端常數(shù)b發(fā)生改變 2X19147 010X430-3-61-1-180-5-110-2最小比值5例27 線性規(guī)劃 右端常數(shù)b發(fā)生改變 CB XB cj2330

15、0 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3b24-b2/313/3/4331313134322221bbbbBb2/3-13b2 12-b2/3-5增加一個變量增加一個變量若企業(yè)在計劃期內(nèi)，有新的產(chǎn)品可以生產(chǎn)，則在知道新產(chǎn)品的單位利潤，單件資源消耗量時，可以在最優(yōu)表中補(bǔ)充一列，其中的前m行可以由基矩陣的逆矩陣得到，而檢驗數(shù)行也可以由與其它列相同的方法計算得到。若檢驗數(shù)非正，則原最優(yōu)解仍為最優(yōu)，原生產(chǎn)計劃不變，不生產(chǎn)這種新產(chǎn)品；否則，當(dāng)檢驗數(shù)為正時，則應(yīng)以該變量進(jìn)基，作單純形

16、迭代，從而找出新的最優(yōu)解。 例211 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33/53x22012-1/31/36-800-1-5/3-1/35x623x65/31/32/35x63/53/50-3/5 4/5-1/513x29/5-1/5111/5-3/52/50-42/5-2/50-3/5-11/5-1/50 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147012x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/3-800-1-5/3-1/3增加

17、一個約束增加一個約束在企業(yè)的生產(chǎn)過程中，經(jīng)常有一些突發(fā)事件產(chǎn)生，造成原本不緊缺的某種資源變成為緊缺資源，對生產(chǎn)計劃造成影響，所以需要增加約束條件。1）若把目前的最優(yōu)解代入新增加的約束，能滿足約束條件，則說明該增加的約束對最優(yōu)解不構(gòu)成影響，即不影響最優(yōu)生產(chǎn)計劃的實(shí)施。2)若當(dāng)前最優(yōu)解不滿足新增加的約束，則應(yīng)把新的約束添到原問題的最優(yōu)表內(nèi)新的一行中去，用對偶單純形方法來進(jìn)行迭代，求出新的最優(yōu)解。 例212增加約束 CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50 x43111 100 x59147010 x65221002x1110-1 4/3-1/33x22012-1/31/30 x6522100-800-1-5/3-1/30 x60010010522321xxx CB XB cj23300 xj b x1x2x3x4x50