chapt隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量若求離散型隨機(jī)變量若求得分布律，就能全面得分布律，就能全面了解它的變化規(guī)律了解它的變化規(guī)律.有些隨機(jī)變量卻往往需要考有些隨機(jī)變量卻往往需要考慮其在一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概慮其在一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，例如元件的使用壽命率，例如元件的使用壽命X X、農(nóng)作物的產(chǎn)量農(nóng)作物的產(chǎn)量Y Y等等. .21xXxP 2P Xx )(2xF)(1xFF( x )P Xx 分布函數(shù)分布函數(shù) ).()(12xFxF 12(,Xxx如如求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量落落在在區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的概概率率如果令如果令21xXxP 則則0 xx1x21P Xx ?1212,() x

2、xxxxx 1 12 2有有P P X X顯然，對(duì)于任意實(shí)數(shù)顯然，對(duì)于任意實(shí)數(shù)21()()F xF x 設(shè)設(shè)X X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, , x 是任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)是任意實(shí)數(shù)，則稱函數(shù)() ,FxPx X Xx 0 xXx為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X的的分布函數(shù)分布函數(shù). .);,(, 1)(0)1( xxF12xx 由由12,P XxP Xx 從從而而得得12()().F xF x 所所以以12XxXx 可可知知11(),F xP Xx 又又22(),F xP Xx (2) F(x)是不減函數(shù)是不減函數(shù), , 即即: :12,xx 若若12()()F xF x 則則(3)()lim

3、( )0 xFF x ()lim( ) 1xFF x (4) F(x)是右連續(xù)的是右連續(xù)的, ,即對(duì)于任意實(shí)數(shù)即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x ，有，有(0)()F xF x ()0F x時(shí)，事件時(shí)，事件Xx 趨向于不可能事件，概率趨向于不可能事件，概率零，零，所以所以()1F x時(shí)，事件時(shí)，事件Xx 趨向于必然事件，概率趨向于必然事件，概率 1，所，所以以如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則它可以作為某個(gè)隨機(jī)變量則它可以作為某個(gè)隨機(jī)變量X X 的的分布函數(shù)。也就是說(shuō)，性質(zhì)分布函數(shù)。也就是說(shuō)，性質(zhì)(1)-(1)-(4)(4)是鑒別一個(gè)函數(shù)是否可以是是鑒別一個(gè)函數(shù)是否可以是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)

4、的充分某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。必要條件。133,1,1.222P XPXPX0,x 若若01,x 若若求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù), ,并求并求X 0 1 2p 0.3 0.6 0.1例例1 1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布律為的分布律為: :解解: :( )F xP Xx 0P ( )F xP Xx 0P X0.3 x o 1 2xx12,x 若若( )F xP Xx x01P XP X 0.9 P402,x 若若( )F xP Xx 012P XP XP X 1 x o 1 2x于是于是X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: :000.301( )0.91212xxF xxx )(xX

5、Px120)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖分布律圖分布律圖0.60.30.91OOO0.60.30.1顯然，顯然，F(xiàn)( x) 是分段階梯函數(shù)是分段階梯函數(shù), , X 的可的可能取值能取值 0,1,2 是它的第一類跳躍間斷是它的第一類跳躍間斷點(diǎn)點(diǎn), ,跳躍度為跳躍度為 pk (k=0,1,2). .12PX 312PX 3112PXPX 12F 0.3 3(1)2FF0.90.9 0 312PX00.60.6 一般一般, ,設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X X的分布律為的分布律為: :,1,2kkP Xxpk ( )F xP Xx 則對(duì)于任意實(shí)數(shù)則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x, ,有有: :kkxxP Xx kkxxP 由上例可知由上例可知F( x) 是分段階梯函數(shù)是分段階梯函數(shù), , 在在 X 的可能取值的可能取值 xk 處發(fā)生間斷處發(fā)生間斷, , 間間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn), ,在間斷點(diǎn)在間斷點(diǎn)處跳躍度為處跳躍度為 pk . .例例2 2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: :(1)確定常數(shù)確定常數(shù)A,B.(2)求概率求概率P-1X1( )arctanF xABx ()lim(arctan )xFABx ()lim(arctan )xFABx 11:,2A