bian平衡方程組的解法與完全消耗系數(shù)

1、經經 濟濟 數(shù)數(shù) 學學 線線 性性 代代 數(shù)數(shù)第17講 平衡方程組的解法與完全消耗系數(shù)教師：邊文莉 下一步下一步njxzxjjniij, 2 , 11一、平衡方程組的解法一、平衡方程組的解法消耗平衡方程組消耗平衡方程組1(1)1,2,nijjjia xzjn（2） 已知，可求已知，可求 11,2,(1)jjnijizxjna（1） 已知，可求已知，可求 jzjxjzjxED XZ1XEDZ 下一步下一步分配平衡方程組分配平衡方程組nixyxiinjij, 2 , 11已知，已知， 可求可求 ixiyYXAE定理定理:若若 為直接消耗系數(shù)矩陣，為直接消耗系數(shù)矩陣，E-A可逆。可逆。A 下一步下一

2、步定理定理:若若 階矩陣階矩陣 滿足滿足n()ijAanjiaij, 2 , 1,10njaniij, 2 , 111則則 當當 非負時，存在非負解非負時，存在非負解YXAEYX 設某工廠有三個車間，在某一個生產周設某工廠有三個車間，在某一個生產周期內各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求期內各車間之間的直接消耗系數(shù)及最終需求如表，求各車間的總產值。如表，求各車間的總產值。 下一步下一步 車間 直耗系數(shù)車間 最終需求0.25 0.1 0.10.2 0.2 0.10.1 0.1 0.2235125210解8 . 01 . 01 . 01 . 08 . 02 . 01 . 01 . 075. 0AE

3、下一步下一步58. 0085. 01 . 0095. 059. 017. 009. 009. 063. 04455. 011AE35030040021012523558. 0085. 01 . 0095. 059. 017. 009. 009. 063. 04455. 011YAEX即三個車間的總產值分別為即三個車間的總產值分別為400，300，350。 下一步下一步jijijxax 由由 計算各部門的流量計算各部門的流量 11100 x2180 x3140 x1230 x1335x2260 x2335x3230 x3370 x1180z 2180z 3210z 消耗部門最終產品總產出1 2

4、3生產部門123100 30 35 80 60 35 40 30 70 235 125 210400300350凈產值 180 180 210總產值400 300 350 下一步下一步二、完全消耗系數(shù)二、完全消耗系數(shù) 實際的經濟活動中，比如冶金部門的生產除實際的經濟活動中，比如冶金部門的生產除直接消耗電力外，還要消耗煤炭；而煤炭部門直接消耗電力外，還要消耗煤炭；而煤炭部門的生產也要消耗電力；電力部門的生產又要消的生產也要消耗電力；電力部門的生產又要消耗鋼材。這表明，一個部門除了直接消耗另一耗鋼材。這表明，一個部門除了直接消耗另一個部門的產品外，還通過其他部門間接消耗該個部門的產品外，還通過其他

5、部門間接消耗該部門的產品，為了改進平衡方程組，我們給出部門的產品，為了改進平衡方程組，我們給出間接消耗和直接消耗系數(shù)的概念。間接消耗和直接消耗系數(shù)的概念。 下一步下一步 直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗，直接消耗系數(shù)只反映各部門間的直接消耗，不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出不能反映各部門間的間接消耗，為此我們給出如下定義。如下定義。 定義定義 第第j部門生產單位價值量直接和間部門生產單位價值量直接和間 接消耗的第接消耗的第i部門的價值量總和，稱為第部門的價值量總和，稱為第j部部 門對第門對第i部門的完全消耗系數(shù)，記作部門的完全消耗系數(shù)，記作 。njibij, 2 , 1, 下一步下

6、一步由由 構成的構成的n階方陣階方陣 稱為各部門間的稱為各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣完全消耗系數(shù)矩陣。ijb ijbB 定理定理 第第j部門對第部門對第i部門的完全消耗系數(shù)部門的完全消耗系數(shù) 滿足方程滿足方程ijbnjiababnkkjikijij, 2 , 1,1定理定理 設設n個個部門的直接消耗系數(shù)矩陣為部門的直接消耗系數(shù)矩陣為 A，完全消耗系數(shù)矩陣為，完全消耗系數(shù)矩陣為B，則有，則有 下一步下一步EAEB1證明 由由定理定理知，知，njiababnkkjikijij, 2 , 1,1將將 個等式用矩陣表示為個等式用矩陣表示為2nAAEBBAAB或由由定理定理知知(E-A)可逆可逆，故，故1

7、AEAB1AEAEEEAE1 下一步下一步例：設某個經濟系統(tǒng)劃分為三個部門，討論第例：設某個經濟系統(tǒng)劃分為三個部門，討論第二個部門對第一個部門的完全消耗系數(shù)二個部門對第一個部門的完全消耗系數(shù)12b第二個部門對第一個部門的直接消耗系數(shù)為第二個部門對第一個部門的直接消耗系數(shù)為 第三個部門對第一個部門的完全消耗系數(shù)為第三個部門對第一個部門的完全消耗系數(shù)為第二個部門對第三個部門的直接消耗系數(shù)為第二個部門對第三個部門的直接消耗系數(shù)為 第二個部門通過第三個部門對第一個部門的間第二個部門通過第三個部門對第一個部門的間接消耗系數(shù)為接消耗系數(shù)為12a32a13b1332b a312121112122213321

8、2121kkkbac ac ac aac a 下一步下一步 假設某公司三個生產部門間的報告價值假設某公司三個生產部門間的報告價值 型投入產出表如型投入產出表如產出投入中間消耗最終需求總產出1 2 3中間投入1231500 0 600 0 610 600 250 1525 36004001840625250030506000求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。求各部門間的完全消耗系數(shù)矩陣。 下一步下一步解 依次用各部門的總產值去除中間消耗欄中依次用各部門的總產值去除中間消耗欄中各列，得到各列，得到為為6511201061016 . 05 . 01 . 01 . 02 . 001 . 006 . 0A4

9、51180104101AE 下一步下一步32208415185271011AE故所求故所求為為EAEB12 . 228 . 04 . 05 . 01 . 08 . 05 . 07 . 1由此例可知，由此例可知，的值比的值比的值要大的多。的值要大的多。 下一步下一步YXAE分配平衡方程組分配平衡方程組 1BEAE 又因為又因為所以所以()XBE Y YBYYEBYAEX111112211211222221122(1)(1)(1)nnnnnnnnnnbyb yb yxb ybyb yxb yb ybyx 下一步下一步 定理定理 如果第如果第j部門最終需求增加部門最終需求增加 ，而，而 其他部門的最

10、終需求不變，那么部門總產出其他部門的最終需求不變，那么部門總產出 X的增量為的增量為 jyjjjeByX其中其中jnjjjjnebbbBxxxX,2121為單位坐標向量。為單位坐標向量。 證明由由定理定理知知 ，由前述討，由前述討論論EAEB1 下一步下一步YBYYEBYAEX1由定理假設，部門最終需求增量由定理假設，部門最終需求增量jjjeyyY0 , 0 , 0 , 0于是于是jjjjeyeyBYYBXjjjjeyBeyjjjeBy 下一步下一步 定理定理表明，由第表明，由第j部門最終需求的增加部門最終需求的增加（其他部門的最終需求不變），引起了各部門（其他部門的最終需求不變），引起了各部

11、門總產值的增加?？偖a值的增加。 從數(shù)量上表示了各從數(shù)量上表示了各部門的增加量。如果沒有這些追加，第部門的增加量。如果沒有這些追加，第j部門要部門要完成增加完成增加 最終需求的任務就不能實現(xiàn)。最終需求的任務就不能實現(xiàn)。jjjeByjy如果如果定理定理的結論用分量表示的結論用分量表示nijiebyjibyxjijjijji, 2 , 1, 下一步下一步特別取特別取 ，則有，則有1jynijibjibxijiji, 2 , 1, 1, 上式的經濟意義是，當?shù)谏鲜降慕洕饬x是，當?shù)趈部門的最終需求部門的最終需求增加一個單位，而其他部門最終需求不變時，增加一個單位，而其他部門最終需求不變時，第第i部門總

12、產值的增加量為部門總產值的增加量為 ，當?shù)?，當?shù)趇部門的最終部門的最終需求增加一個單位而其他部門的最終需求不變需求增加一個單位而其他部門的最終需求不變時，第時，第i部門總產值的增加量為部門總產值的增加量為 。ijb1ijb 下一步下一步若令若令njijibjibcijijij, 2 , 1, 1,用矩陣表示為用矩陣表示為EBC將將 代入上式，則代入上式，則EAEB11AEC 下一步下一步 利用第一例中的數(shù)據(jù)，求完全消耗系數(shù)矩陣利用第一例中的數(shù)據(jù)，求完全消耗系數(shù)矩陣B。解 由例知直接消耗系數(shù)矩陣由例知直接消耗系數(shù)矩陣20. 010. 010. 010. 020. 020. 010. 010. 0

13、25. 0A于是有于是有80. 010. 010. 010. 080. 020. 010. 010. 075. 0AE 下一步下一步3019. 11908. 02245. 02132. 03244. 13817. 02020. 02020. 04141. 11AE最后得完全消耗系數(shù)矩陣最后得完全消耗系數(shù)矩陣EAEB13019. 01908. 02245. 02132. 03244. 03817. 02020. 02020. 04141. 0 下一步下一步 下列完全消耗系數(shù)表下列完全消耗系數(shù)表 部門 直耗系數(shù)部門 0.384 0.367 0.311.2994 0.9774 0.9041.158 1.328 0.893 下一步下一步111112213322112222333311322333(1)1.384 900.367700.31 160200(1)400(1)500 xbyb yb yxb ybyb yxb yb yby 1111221133311(