04機械工程控制基礎-頻域分析01

1、、引言頻率特性分析：將傳遞函數(shù)從復數(shù)域引到頻域來分析系統(tǒng)的特性。時域分析：重點研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下系統(tǒng)的瞬態(tài)響應來研究系統(tǒng)的性能。頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率w的諧波輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應來研究系統(tǒng)的性能。1、 時域分析的缺陷時域分析的缺陷 高階系統(tǒng)的分析難以進行； 難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對系統(tǒng)性能的影響； 當系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時，整個系統(tǒng)的分析工作將無法進行。 2 2、頻域分析的目的、頻域分析的目的頻域分析：以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關系。 無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法 間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進性能的方向； 易于實驗分

2、析； 優(yōu)點： 可推廣應用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延 遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）； 可方便設計出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。二二、頻率特性概述1 1、頻率響應與頻率特性、頻率響應與頻率特性 頻率響應與頻率特性的概念22)()()()()()()()(sXsNsMsXsNsMsXsGsXiio)()()()()()(21npspspssMsNsMsG考慮線性定常系統(tǒng)：當正弦輸入 xi(t)=Xsint 時，相應的輸出為：對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其特征根-pi具有負實部，此時其對正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應不因初始條件而改變，因此，可認為系統(tǒng)處于零初始狀態(tài)。 nnopsApsApsAjsAjsAsX2211)(假設系統(tǒng)只具有不同的極點

3、，則：AA,其中為一對待定共軛復常數(shù)Ai(i = 1, 2, , n)為待定常數(shù)。)0( )(2121teAeAeAeAAetxtpntptptjtjon從而：) 1, 2, 1, 0(jjtpkrketjj如果系統(tǒng)包含有rj個重極點pj，則xo(t)將包含有類似：的這樣一些項。對穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，這些項隨 t 趨于無窮大都趨近于零。因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為：tjtjoeAAetx)(jjXGjssXsGAjs2)()()(22)()()()()(jjejGejGjGjjXGjssXsGAjs2)()()(22其中：)(Re)(Im)()()()()(jGjGarctgjGejGjGj由于：jee

4、jGXtxtjtjo2)()()()(因此：)()(sin)(sin)(jGXYtYtjGX上式表明，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦激勵下的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為同頻率的正弦信號，且輸出與輸入的幅值比為|G(j)|，相位差為G(j)。顯然輸出信號的幅值和相角是頻率的函數(shù)，隨頻率而變化。 q 頻率響應：系統(tǒng)對諧波輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應。q 頻率特性：系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號輸入 時，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化( 由0變到)的特性。q 幅頻特性：當由0到變化時，|G(j)|的變化特 性，記為A()。q 相頻特性：當由0到變化時，G(j)的變 化特性稱為相頻特性，記為()。幅頻特性與相頻特性一起構(gòu)成系統(tǒng)的頻率特性。 2

5、2、頻率特性與傳遞函數(shù)的關系、頻率特性與傳遞函數(shù)的關系 jssGjG)()(頻率特性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程jspjpsdtdp 【例例】某單位反饋控制系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)為某單位反饋控制系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=1/(s+1),試求輸入信號試求輸入信號r(t)=2sin t時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 解解 首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) (s) ，令，令s=j 得得 如如 =2, 則則 (j2)=0.35 -45o則則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為：為：c(t)=0.35*2sin(2t-45o) =0.7sin(2t-45o)3 3、頻率特性求解、頻率特性求解

6、 頻率響應-頻率特性22)(,1)(wswXsXTsKsGii例：系統(tǒng)傳遞函數(shù))arctansin(1)()()()(22221TwwtwTKXtxwswXsGLtxioio頻率響應，則穩(wěn)態(tài)輸出解：arctan2222( )( )11( )arctanojTwiXwKA wKXeT wT wwTw 故系統(tǒng)的頻率特性為：或 傳遞函數(shù)-頻率特性正弦輸入xi(t)=Xsint 作用下的頻率響應。 1)(TsKsG求一階系統(tǒng)的頻率特性及在1)()(jTKsGjGjs解解： 221)()(TKjGATarctgjG)()()sin(1)(22TarctgtTXKtxo對于正弦輸入xi(t)=Xsint，

7、根據(jù)頻率特性的定義：由上式可見，當T1時， A() 1/T () -90 幾點說明 q 頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。 q 盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。 q 應用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路： 實際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下

8、的運動情況。 q 頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系 統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性；q ()大于零時稱為相角超前 1() ，小于零時稱為相角滯后 2() 。tx(t), y1(t), y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()4 4、頻率特性表示方法、頻率特性表示方法 解析表示（包括幅頻相頻，實頻虛頻） 圖示法: Nyquist圖(極坐標圖，幅相頻率特性圖) Bode圖(對數(shù)坐標圖，對數(shù)頻率特性圖) 5 5、頻率特性的特點、頻率特性的特點 q 頻率特性是頻域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學模型。 q 頻率特性是系統(tǒng)單位脈沖函數(shù)w(t)的Fourier變換。 )()()()(, 1)

9、()()()()()(),()()()()()(jwGtwFjwGjwXtFjwXtwtxttxjwXjwGjwXsXsGsXoioiioio即，故且時，而當，有由q 分析方便。 q 易于實驗提取。 例例解：解：（1）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)222)(1)()(2sssGsGsGkkb（2）求系統(tǒng)的頻率特性、幅頻特性、相頻特性）求系統(tǒng)的頻率特性、幅頻特性、相頻特性2222)(2)(2)(22jjjjGb)2(2ss)(sU)(sY)64sin(10)(ttu22222)2(2222)(jjGb222arctan)(jGb4571)4(jGb722722)4(arctgarctgjGb

10、（3）穩(wěn)定輸出）穩(wěn)定輸出 22222)2(2222)(jjGb222arctan)(jGb)722arctan654sin(57110)4(64sin()4()(tjGtjGRtyxx因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應時，可以因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。例例5.1已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當輸入信號為當輸入信號為r（t）=sin2t時，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。時，

11、求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。11)(ssGk解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2111111)(ssss系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為 21)()(jsGjGjs 幅頻特性幅頻特性為為 41)(2A相頻特性相頻特性為為 2arctan)(利用頻率特性的概念，利用頻率特性的概念，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為為 )(2sin)()(tAtc將將=2=2代入得：代入得： 452sin81)(ttc 輸出表達式說明該系統(tǒng)對此輸入信號在幅值上衰減，同時響應輸出表達式說明該系統(tǒng)對此輸入信號在幅值上衰減，同時響應在時間上有滯后。在時間上有滯后。二二、頻率特性的圖示方法1、頻率特性的極坐標圖(N

12、yquist圖、幅相頻率特性圖） ()()()Re ()Im ()( )( )()( )j G jjG jG jjG jUjVG jeAe 22( )( )( )( )( )( )AUVVarctgU ，其中，U()、V()分別稱為系統(tǒng)的實頻特性和虛頻特性。顯然：在復平面上，隨（0 ）的變化，向量G(j)端點的變化曲線（軌跡），稱為系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。得到的圖形稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標圖。易知，向量G(j)的長度等于A(j)（|G(j)|）；由正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉(zhuǎn)至向量G(j)方向的角度等于()(G(j)）。 2、波德(Bode)圖（對數(shù)頻率特性圖，包括對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相

13、頻特性圖） q 對數(shù)幅頻特性圖橫坐標：以10為底的對數(shù)分度表示的角頻率 單位 rad/s或Hz縱坐標：線性分度，表示幅值A()對數(shù)的20倍，即： L()=20logA()單位 分貝（dB）特別：當L()=0，輸出幅值輸入幅值；當L(w)0時，輸出幅值輸入幅值(放大)；當L(w)0時，輸出幅值輸入幅值(衰減)。q 對數(shù)相頻特性圖 橫坐標：與對數(shù)幅頻特性圖相同。 縱坐標：線性分度，頻率特性的相角() 單位 度()q 幾點說明 在對數(shù)頻率特性圖中，由于橫坐標采用了對數(shù)分度，因此=0 不可能在橫坐標上表示出來，橫坐標上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定； 此外，橫坐標一般只標注的自然數(shù)值； 在對數(shù)頻率特性圖中，角頻率 變化的倍數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為此通常采用頻率比的概念：頻率變化十倍的區(qū)間稱為一個十倍頻程，記為decade或簡寫為 dec；頻率變化兩倍的區(qū)間稱為一個二倍頻程，記為octave或簡寫為oct。它們也用作頻率變化的單位?？梢宰⒁獾?，頻率變化10倍，在對數(shù)坐標上