變力做功的求解

1、變力做功的求解功的計(jì)算在中學(xué)物理中占有十分重要的地位，中學(xué)階段所學(xué)的功的計(jì)算公式W=FScosa只能用于恒力做功情況，對(duì)于變力做功的計(jì)算則沒(méi)有一個(gè)固定公式可用，對(duì)變力做功問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)如下：一、等值法等值法即若某一變力的功和某一恒力的功相等，貝冋以同過(guò)計(jì)算該恒力的功，求出該變力的功。而恒力做功又可以用W=FScos計(jì)算，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。例1如圖1,定滑輪至滑塊的高度為h，已知細(xì)繩的拉力為F牛（恒定），滑塊沿水平面由A點(diǎn)前進(jìn)s米至B點(diǎn)，滑塊在初、末位臵時(shí)細(xì)繩與水平方向夾角分別為a和B。求滑塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過(guò)程中，繩的拉力對(duì)滑塊所做的功。分析：設(shè)繩對(duì)物體的拉力為T(mén),顯然人對(duì)繩的拉力F等于T

2、oT在對(duì)物體做功的過(guò)程中大小雖然不變，但其方向時(shí)刻在改變，因此該問(wèn)題是變二力做功的問(wèn)題。但是在滑輪的質(zhì)量以及滑輪與繩間的摩擦不計(jì)的情況下，人對(duì)繩做的功就等于繩的拉力對(duì)物體做的功。而拉力F的大小和方向都不變，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接計(jì)算。由圖可知，在繩與水平面的夾角由a變到B的過(guò)程中，拉力F的作用點(diǎn)的位移大小為：山=&-比=丄-丄sinasin（11）略二略二恥S二咼；sinasin；二、微元法當(dāng)物體在變力的作用下作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，若力的方向與物體運(yùn)動(dòng)的切線方向之間的夾角不變，且力與位移的方向同步變化，可用微元法將曲線分成無(wú)限個(gè)小元段，每一小元段可認(rèn)為恒力做功，總功即為各個(gè)

3、小元段做功的代數(shù)和。例2、如圖2所示，某力F=10牛作用于半徑R=1米的轉(zhuǎn)盤(pán)的邊緣上，圖2圖2力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點(diǎn)的切線方向個(gè)力F做的總功應(yīng)為：A0焦耳B20n焦耳C10焦耳D20焦耳分析：把圓周分成無(wú)限個(gè)小元段，每個(gè)小元段可認(rèn)為與力在同一直線上，故厶W=BS，則轉(zhuǎn)一周中各個(gè)小元段做功的代數(shù)和為W=F<2nR=10X2nJ=20nJ，故B正確。三、平均力法如果力的方向不變，力的大小對(duì)位移按線性規(guī)律變化時(shí)，可用力的算術(shù)平均值（恒力）代替變力，利用功的定義式求功。例3、一輛汽車(chē)質(zhì)量為105千克，從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，其阻力為車(chē)重的0.05倍。其牽引力的大小與車(chē)前進(jìn)的距離變化關(guān)

4、系為F=103x+f0,fO是車(chē)所受的阻力。當(dāng)車(chē)前進(jìn)100米時(shí)，牽引力做的功是多少？分析：由于車(chē)的牽引力和位移的關(guān)系為F=103x+f0，是線性關(guān)系，故前進(jìn)100米過(guò)程中的牽引力做的功可看作是平均牽引力：所做的功。由題意可知f0=0.05X105X10N=5X104N,所以前進(jìn)100米過(guò)程中的平均牽引力_+(10冬100+5天1(/)二N=1X105N,W/S=1X105X100J=1X107J。豎直放臵的輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)，勁度系數(shù)為k，質(zhì)量為m的物體從彈簧正上方高H處自由下落，求物塊的最大速度。L四、圖象法如果力F隨位移的變化關(guān)系明確，始末位臵清楚，可在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出Fx圖象，圖象下方

5、與坐標(biāo)軸所圍的“面積”即表示功例如：對(duì)于例3除可用平均力法計(jì)算外也可用圖象法。由F=103x+f0可知，當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)也隨著變化，故本題是屬于變力做功問(wèn)題，下面用圖象求解。牽引力表達(dá)式為F=103x+0.5X105,其函數(shù)表達(dá)圖象如圖3。根據(jù)F-x圖象所圍的面積表示牽引力所做的功，故牽引力所做的功等于梯形OABD勺“面積”。所以oFtXllfN)1.50.5A1X102m)五、能量轉(zhuǎn)化法求變力做功功是能量轉(zhuǎn)化的量度，已知外力做功情況可計(jì)算能量的轉(zhuǎn)化，同樣根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化也可求外力所做功的多少。因此根據(jù)動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系等可從能量改變的角度求功。1、用動(dòng)能定理求變力做功它的表達(dá)式動(dòng)

6、能定理的內(nèi)容是：外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的增量。是M2aekw外可以理解成所有外力做功的代數(shù)和，如果我們所研究的多個(gè)力中，只有一個(gè)力是變力，其余的都是恒力，而且這些恒力所做的功比較容易計(jì)算，研究對(duì)象本身的動(dòng)能增量也比較容易計(jì)算時(shí)，用動(dòng)能定理就可以求出這個(gè)變力所圖4圖4做的功。例4、如圖4所示，AB為1/4圓弧軌道，半徑為0.8m,BC是水平軌道，長(zhǎng)3mBC處的摩擦系數(shù)為1/15，今有質(zhì)量m=1kg的物體，自A點(diǎn)從靜止起下滑到C點(diǎn)剛好停止。求物體在軌道AB段所受的阻力對(duì)物體做的功。分析：物體在從A滑到C的過(guò)程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三個(gè)力做功，WG=mgRfBC=umg，

7、由于物體在AB段受的阻力是變力，做的功不能直接求。根據(jù)動(dòng)能定理可知：W外=0，所以mgR-umgl-WAB=0_丄即WAB=mgR-umg=1X10X0.8-X1X1OX3=6(J)2、用機(jī)械能守恒定律求變力做功滿(mǎn)足機(jī)械能守恒如果物體只受重力和彈力作用，或只有重力或彈力做功時(shí),定律。如果求彈力這個(gè)變力做的功，可用機(jī)械能守恒定律來(lái)求解。例5、如圖5所示，質(zhì)量m為2千克的物體，從光滑斜面的頂端A點(diǎn)以v0=5米/秒的初速度滑下，在D點(diǎn)與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點(diǎn)時(shí)的速度為零，已知從A到B的豎直高度h=5米，求彈簧的彈力對(duì)物體所做的功。分析：由于斜面光滑故機(jī)械能守恒，但彈簧的彈力是變力，彈力對(duì)物體做負(fù)

8、功，彈簧的彈性勢(shì)能增加，且彈力做的功的數(shù)值與彈性勢(shì)能的增加量相等。取B所在水平面為零參考面，彈簧原長(zhǎng)處D點(diǎn)為彈性勢(shì)能的零參考點(diǎn)，則狀態(tài)A：EA=mgh+mv02/2對(duì)狀態(tài)B：EB=W彈簧+0由機(jī)械能守恒定律得：W彈簧=(mgh+mv02/2=125(J)。3、用功能原理求變力做功功能原理的內(nèi)容是：系統(tǒng)所受的外力和內(nèi)力(不包括重力和彈力)所做的功的代數(shù)和等于系統(tǒng)的機(jī)械能的增量，如果這些力中只有一個(gè)變力做功，且其它力所做的功及系統(tǒng)的機(jī)械能的變化量都比較容易求解時(shí)，就可用功能原理求解變力所做的功。例6、質(zhì)量為2千克的均勻鏈條長(zhǎng)為2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F豎直向上勻速提起此鏈條，已知提起鏈

9、條的速度v=6米/秒，求該鏈條全部被提起時(shí)拉力F所做的功。分析：鏈條上提過(guò)程中提起部分的重力逐漸增大,鏈條保持勻速上升，故作用在鏈條上的拉力是變力，不能直接用功的公式求功。根據(jù)功能原理，上提過(guò)程拉力F做的功等于機(jī)械能的增量，故可以用功能原理求。當(dāng)鏈條剛被全部提起時(shí)，動(dòng)能沒(méi)有變化，重心升高了L/2=1米，故機(jī)械能動(dòng)變化量為：E=mgL/2=2X10X1=20(J)根據(jù)功能原理力F所做的功為：W=20J4、用公式W=Pt求變力做功例7、質(zhì)量為4000千克的汽車(chē)，由靜止開(kāi)始以恒定的功率前進(jìn)，它經(jīng)100/3秒的時(shí)間前進(jìn)425米，這時(shí)候它達(dá)到最大速度15米/秒。假設(shè)汽車(chē)在前進(jìn)中所受阻力不變，求阻力為多大。分析：汽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中功率恒定，速度增加，所以牽引力不斷減小，當(dāng)減小到與阻力相等時(shí)速度達(dá)到最大值。汽車(chē)所受的阻力不變，牽引力是變力，牽引力所做的功不能用功的公式直接計(jì)算。由于汽車(chē)的功率恒定，汽車(chē)功率可用P=Fv求，速度最大時(shí)牽引力和阻力相等，故P=Fvm=fvm所以汽車(chē)的牽引力做的功為W氣車(chē)=Pt=fvmt根據(jù)動(dòng)能定理有：W汽車(chē)一fs=