連續(xù)系統(tǒng)頻域分析

1、連續(xù)系統(tǒng)頻域分析4-1 周期信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)周期信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)對(duì)于周期信號(hào)對(duì)于周期信號(hào)f(t)=f(t+nT) ，當(dāng)其滿足狄氏條件時(shí)，可展成：，當(dāng)其滿足狄氏條件時(shí)，可展成：10)cos()(nnntnAAtftjnnneF一、基本信號(hào)一、基本信號(hào) ：tjetf)(tjethty)()(tjejH)( H(j )為為h(t)的傅立葉變換，也稱(chēng)為系統(tǒng)頻率特性或系統(tǒng)函數(shù)。的傅立葉變換，也稱(chēng)為系統(tǒng)頻率特性或系統(tǒng)函數(shù)。 可見(jiàn)，可見(jiàn)，ej t通過(guò)線性系統(tǒng)后響應(yīng)隨時(shí)間變化服從通過(guò)線性系統(tǒng)后響應(yīng)隨時(shí)間變化服從ej t ， H(j )相當(dāng)加權(quán)函數(shù)。相當(dāng)加權(quán)函數(shù)。)(tydehtj)()(dehejtj)(連續(xù)

2、系統(tǒng)頻域分析3正弦量。正弦量。激勵(lì)與響應(yīng)為同頻率的激勵(lì)與響應(yīng)為同頻率的二、正二、正弦弦信號(hào)信號(hào) ：tAtfcos)()(tytjtjejHe)(2costjtjeeAtA)()(2)(tjtjejHejHAty)(cos)(tjHA)()(2)()(tjjtjjeejHeejHA)()(jHjH)()()(2)()()(tjtjeejHAty正弦量。正弦量。激勵(lì)與響應(yīng)為同頻率的激勵(lì)與響應(yīng)為同頻率的三、任意周期信號(hào)：三、任意周期信號(hào)：二、正弦信號(hào)二、正弦信號(hào) ：tAtfcos)()(tytje2costjtjeeAtA)()(2)(tjtjejHejHAty)(cos)(tjHA10)cos()

3、(nnntnAAtf )(cos)(10nnnntnBBty)()()()(jHjHth)0(00HAB ()nnBA H jntjejH)(連續(xù)系統(tǒng)頻域分析5號(hào)。號(hào)。激勵(lì)與響應(yīng)均為周期信激勵(lì)與響應(yīng)均為周期信三、任意周期信號(hào)：三、任意周期信號(hào)：)(tytjtjejHe)(tAcos)(cos)(tjHA10)cos()(nnntnAAtf )(cos)(10nnnntnBBty)()()()(jHjHth)0(00HAB 其中：其中：)(jnHABnn1)cos(nnntnA )(cos1nnnntnB10)cos()(nnntnAAtf對(duì)于周期信號(hào)對(duì)于周期信號(hào))()(jHth)()(jFtf

4、)(*)()(thtfty)()()(jHjFjYntjnneFnTtftf)()()(2)(nFjFnn)()(2)(nFjnHjYnn周期信號(hào)作用于線性系統(tǒng)，其響應(yīng)也為周期信號(hào)周期信號(hào)作用于線性系統(tǒng)，其響應(yīng)也為周期信號(hào); 周期激勵(lì)信號(hào)的頻譜為沖激序列周期激勵(lì)信號(hào)的頻譜為沖激序列 ，其響應(yīng)信號(hào)的，其響應(yīng)信號(hào)的頻譜也為沖激序列。頻譜也為沖激序列。連續(xù)系統(tǒng)頻域分析7(a)(b)【解解】 jjH11)(njntenntu)2sin(1)(n為奇數(shù)為奇數(shù))tttttu7cos725cos523cos32cos2)(即即：)69.785cos(08. 0)56.713cos(21. 0)45cos(2

5、)(ttttijjH11)(4521311)3(jjH56.71101511)5(jjH69.78261 )(cos)(10nnnntnBBty10)cos()(nnntnAAtf)0(00HAB 其中：其中：)(jnHABnn連續(xù)系統(tǒng)頻域分析8jjH11)(njntenntu)2sin(1)(n為奇數(shù)為奇數(shù))()()(jUjHjInnnnjU)(2)2sin(1)(nnjnn)(211)2sin(1nnjnnn)(211)2sin(1(n為奇數(shù)為奇數(shù))連續(xù)系統(tǒng)頻域分析9頻率特性頻率特性(a)(b)【解解】 22)5(4)(nnjF2252)(nntjetftttf10cos45cos42)(

6、即即：tjtjeety552)(1) 0(jH21) 5(jH)()()(jHjFjY2(5)4( )2(5) 0)10(jHtty5cos22)(t 5cos22方法方法1：方法方法2：一、系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)4-2 非周期信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)非周期信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)定義：系統(tǒng)函數(shù)定義：)(tf)(tydtethjHtj)()() 1)()()(jFjYjH（1）h(t)的傅立葉變換；的傅立葉變換；（2）描述系統(tǒng)頻率特性。）描述系統(tǒng)頻率特性。)(*)()(thtfty)()(jFtf)()(jHth)()()(jHjFjY系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算：系統(tǒng)函數(shù)計(jì)算：)()()()2jFjYjHjppHjH

7、)()() 3激勵(lì)相量激勵(lì)相量響應(yīng)相量響應(yīng)相量)()4jH連續(xù)系統(tǒng)頻域分析11)()()(tytytyfx)(*)()(thtftyfdejYtytjf)(21)(練習(xí)：求系統(tǒng)函數(shù)練習(xí)：求系統(tǒng)函數(shù)H(j )。)()()(jHjFjY二、系統(tǒng)響應(yīng)：二、系統(tǒng)響應(yīng)：yx(t)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，取決于系統(tǒng)自然頻率和初始值；系統(tǒng)零輸入響應(yīng)，取決于系統(tǒng)自然頻率和初始值； yf(t)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，取決于系統(tǒng)函數(shù)和激勵(lì)。系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，取決于系統(tǒng)函數(shù)和激勵(lì)。)()(2tUetht21)(jjH)()1 ()(2tUetht211)()(jjjH三、系統(tǒng)頻率特性：三、系統(tǒng)頻率特性：)()()(jejHjH)()

8、()(jFjYjH:)()()(jFjYjH: )(系統(tǒng)幅頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)幅度比系統(tǒng)幅頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)幅度比系統(tǒng)相頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)相位差系統(tǒng)相頻特性：響應(yīng)與激勵(lì)信號(hào)相位差連續(xù)系統(tǒng)頻域分析12)()()(22tUetUtut解：解：)()()(2jHjUjU例例1：求圖示電路的單位階躍響應(yīng)。：求圖示電路的單位階躍響應(yīng)。jjUtU1)()()(a)(b)(a)22)(jjH211)(jj(b)2)(jjjH)()()(2jHjUjU21j21)(jjj)()(22tUetuth(t)=(e-2t-e-3t)U(t), f (t)=e-tU(t), 求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)

9、 y(t) 。解：解：jjjH3121)(jjF11)()()()(jFjHjYjjj32/12112/1)()2121()(32tUeeetyttt).(),(10)(titUetuts求求jjH22/1)(jjUs110)(解：解：jjjI2515)()()55()(2tUeetitt連續(xù)系統(tǒng)頻域分析14例例4：圖示系統(tǒng)，激勵(lì)：圖示系統(tǒng)，激勵(lì)f(t)和系統(tǒng)的頻率特性如圖所示，求零狀態(tài)響應(yīng)和系統(tǒng)的頻率特性如圖所示，求零狀態(tài)響應(yīng) y(t)。)()()(jHjFjY解：解：tjnnneFtf)(22T21oFnjFn2)(2)(nFjFnn)2()(2)2(jj)3(31)2(21)()()(j

10、jjjFtjtjejejty22221)(tt2sin11連續(xù)系統(tǒng)頻域分析15圖示系統(tǒng)，圖示系統(tǒng)， 求零狀態(tài)響應(yīng)求零狀態(tài)響應(yīng) y(t) 。已知：。已知：解：解：)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)1000()1000(4144GGtttty1000cossin21)()1000()1000()(jS)2()(SatG)(2)2(GtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjFjX21)1000()1000(*)(422G)(21)(44GjF ，則令)1000()1000()(412G1）時(shí)域：）時(shí)域：4-3 信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)

11、不失真條件信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)不失真條件)(tf)(ty)(*)()(thtfty)()(0ttAfty不失真)()(0ttAth2）頻域：）頻域：0)(tjAejH0)(tjAejF0)(t)()()(jHjFjY一、信號(hào)失真一、信號(hào)失真線性失真：幅度失真、相位失真線性失真：幅度失真、相位失真非線性失真：非線性失真： 產(chǎn)生新的頻率成分產(chǎn)生新的頻率成分AjH)(全通幅頻特性全通幅頻特性線性相移特性線性相移特性二、無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件二、無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件連續(xù)系統(tǒng)頻域分析17例例1：圖示電路，：圖示電路，f(t)=GT(t-T/2)，求響應(yīng)，求響應(yīng)y(t) 。RCjjH11)(2)2()(TjeTTSajF解

12、：解：)()()(jHjFjYRCjeTTSaTj11)2)(2)()()(TtUtUtf)()1 ()()1 ()(TtUetUetyRCTtRCt 圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，求圖圖示系統(tǒng)，若要求不失真?zhèn)鬏?，求圖(1)中中R1和和R2；例例2: 解解: )(jFj1j)(jYjRjY1)(jRjY1)(2)(jF)(1)1 ()(21221221RRjRRjRRjH01)(RjH無(wú)失真無(wú)失真 RRR21RRj)1 ()1 (arctan)(22212arctanR012)(RjH; 0)(j; 0)(j1RcctjekjH00 0t C 為截止頻率，稱(chēng)為理想低通濾波器通頻帶。為截止頻率，稱(chēng)

13、為理想低通濾波器通頻帶。在在0 C 的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真。（有時(shí)延）的低頻段內(nèi)，傳輸信號(hào)無(wú)失真。（有時(shí)延） 4-4 理想低通濾波器理想低通濾波器cckjH0dejHthtj)(21)(k連續(xù)系統(tǒng)頻域分析20dejHthtj)(21)( ccdeetjtj 0121 0021110ttjttjCCeejtt 00sinttttccc 0ttSacc ) t (t 0ttSathcc 或或octjeGjH)(2)()()(2時(shí)移性octjocceGttSa)()2()(已知SatG)( )(2)(2) t2(對(duì)稱(chēng)性GGSa)2( )(2) t(2C2CCC令GSa1 1、h(t)h(t)與與

14、 (t)(t)比較，嚴(yán)重失真；比較，嚴(yán)重失真；2 2、h(t)h(t)為抽樣函數(shù)，峰值為為抽樣函數(shù)，峰值為3 3、濾波器限制輸入信號(hào)高頻成分；、濾波器限制輸入信號(hào)高頻成分；4、 t0時(shí)，時(shí)，h(t) 0 非因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)k kc c5、物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，其幅頻特為物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器，其幅頻特為djH21)(lnPaley -Wiener 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 （佩利（佩利-維鈉準(zhǔn)則）維鈉準(zhǔn)則）連續(xù)系統(tǒng)頻域分析22 jj1F0)(1)(2tjeGjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21)()(1dejoccttj)(12121 0121tt

15、SitgC jjjHFYoctjeGjH)(2dttttcoo0)()(sin121dtttxSix0sin)( 02ttSikktgC0)(ttSakthccdtSaktgtcc0)(dxxSakttc)()(0dxxSakkttc)(2)(00)(0txcdxdc1)(0tttc記作記作:Si(t)tdx0ixsinx=(t)S2上升時(shí)間：輸出由最小值到最上升時(shí)間：輸出由最小值到最大值所經(jīng)歷的時(shí)間，記作大值所經(jīng)歷的時(shí)間，記作 BtCr12 ccfB23階躍響應(yīng)上升時(shí)間與系統(tǒng)帶寬階躍響應(yīng)上升時(shí)間與系統(tǒng)帶寬成反比。成反比。單位階躍響應(yīng)討論：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)討論：)()()(tUtUtf)()(1)

16、(00ttSittSityCC Crt21時(shí)，才有如圖示，時(shí)，才有如圖示，近似矩形脈沖的響應(yīng)。近似矩形脈沖的響應(yīng)。如果如果 過(guò)窄過(guò)窄或或C 過(guò)小，則響應(yīng)波形上升與下過(guò)小，則響應(yīng)波形上升與下降時(shí)間連在一起完全失去了激勵(lì)降時(shí)間連在一起完全失去了激勵(lì)信號(hào)的脈沖形象。信號(hào)的脈沖形象。連續(xù)系統(tǒng)頻域分析264-5 抽樣定理抽樣定理一、抽樣一、抽樣(采樣、采樣、sample)：利用抽樣序列利用抽樣序列s(t)從連續(xù)信號(hào)從連續(xù)信號(hào)f(t)中中“抽取抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。一系列離散樣本值的過(guò)程。信號(hào)數(shù)字處理原理：信號(hào)數(shù)字處理原理：周期周期序列序列 tftfjFjFtfsss能能否否恢恢復(fù)復(fù)由由的的關(guān)關(guān)系

17、系與與)(需解決的問(wèn)題：需解決的問(wèn)題：)()()(tstftfs)(*)(21)(jSjFjFs連續(xù)系統(tǒng)頻域分析27jSjFjFs*21)( )(1nsSnjFT)()(ssnjS)()(jFtf )()()()()(ssTsnTtnTfttftf f(t)：有限帶寬信號(hào)有限帶寬信號(hào))()()(sTnTttts連續(xù)系統(tǒng)頻域分析28 1) 當(dāng)當(dāng) s 2 m時(shí)，時(shí)，F(xiàn)s(j )是是F(j )在在不同不同 s倍數(shù)上的重復(fù)與再現(xiàn)，幅值為原值倍數(shù)上的重復(fù)與再現(xiàn)，幅值為原值的的1/Ts 。2) 當(dāng)當(dāng) s m時(shí)時(shí),F(j )=0 2) 抽樣間隔抽樣間隔msfT21 msff2 或或: 抽樣頻率抽樣頻率ms2

18、msff2minms2min奈奎斯特抽樣間隔奈奎斯特抽樣間隔msfT21max 奈奎斯特抽樣頻率奈奎斯特抽樣頻率五、時(shí)域抽樣定理五、時(shí)域抽樣定理mscm1、實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)離散化，、實(shí)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)離散化，為信號(hào)的數(shù)字處理奠定基礎(chǔ)；為信號(hào)的數(shù)字處理奠定基礎(chǔ)；2、實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)分復(fù)用，、實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)分復(fù)用，為多路信號(hào)傳輸提供理論基為多路信號(hào)傳輸提供理論基礎(chǔ)。礎(chǔ)。 在同一時(shí)間里傳送不同在同一時(shí)間里傳送不同信號(hào)，信號(hào)，PCM 中采用時(shí)分復(fù)中采用時(shí)分復(fù)用方式。用方式。六、抽樣定理意義六、抽樣定理意義連續(xù)系統(tǒng)頻域分析33例：圖例：圖(a)示系統(tǒng)，其示系統(tǒng)，其H1 (j )和和f1(t) 如圖如圖(b) 、(c)

19、所示。所示。解：解：)()() 11tSatfmm)()(21mGjFmsfT21)2mmsT)()() 3ssTntjSjFjFs*21)(jHjFjF11)( )(1nsSnjFT4）欲使）欲使y(t)=f(t)，H2 (j )應(yīng)有右圖頻率特性。應(yīng)有右圖頻率特性。 1) 求求F1(j )的頻譜圖；的頻譜圖； 2）求）求 T (t)中抽樣間隔中抽樣間隔Ts最大值；最大值； 3） 求求 s=2 m時(shí)時(shí)Fs(j )的頻譜圖；的頻譜圖； 4）欲使）欲使y(t)=f(t)，求，求H2 (j )的頻率特性的頻率特性。 一個(gè)持續(xù)時(shí)間有限信號(hào)一個(gè)持續(xù)時(shí)間有限信號(hào)f(t)的頻譜的頻譜F (j ) ，可用均勻

20、抽樣，可用均勻抽樣間隔間隔fs 1/2tm的抽樣值的抽樣值F (jn s)唯一確定。唯一確定。 這樣可得到這樣可得到f(t)在時(shí)域中重復(fù)形成周期信號(hào)在時(shí)域中重復(fù)形成周期信號(hào)fs(t) ，不會(huì)產(chǎn)，不會(huì)產(chǎn)生混疊。生混疊。 若從若從fs(t) 恢復(fù)恢復(fù)f(t), 可用一個(gè)矩形脈沖作為選通信號(hào)，選出可用一個(gè)矩形脈沖作為選通信號(hào)，選出單個(gè)脈沖就可無(wú)失真地恢復(fù)原信號(hào)。單個(gè)脈沖就可無(wú)失真地恢復(fù)原信號(hào)。 說(shuō)明：說(shuō)明： 1) f(t)為持續(xù)時(shí)間有限信號(hào)，即：為持續(xù)時(shí)間有限信號(hào)，即： | t | tm時(shí)時(shí),f(t)=0 2) 抽樣間隔抽樣間隔mstf21七、頻域抽樣定理七、頻域抽樣定理mst4-6 調(diào)制與解調(diào)調(diào)制與解調(diào)一、調(diào)制一、調(diào)制: 使一個(gè)信號(hào)的某些參數(shù)按使一個(gè)信號(hào)的某些參數(shù)按另一個(gè)信號(hào)的變化規(guī)律而變化的措施。另一個(gè)信號(hào)的變化規(guī)律而變化的措施。)(tftts0cos)()(ty幅度調(diào)制系統(tǒng)幅度調(diào)制系統(tǒng)載波信號(hào)載波信號(hào)載波頻率載波頻率)()()(2100jF)()(21)(jSjFjYttftStfty0cos)()()(