數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、知識(shí)框架、典型題的技巧解法數(shù)列的概念函數(shù)角度理解數(shù)列求和數(shù)列的分類(lèi)數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義anan 1d(n2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1 (n1)d等差數(shù)列等差數(shù)列的求和公式Snn /(a1an)na1n(n 1)d22等差數(shù)列的性質(zhì)anama p aq(mn pq)兩個(gè)基本數(shù)列等比數(shù)列的定義自上an 1q(n2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式anaqn 1數(shù)列等比數(shù)列a1anqa1 (1n q ) / (q1)等比數(shù)列的求和公式Sn1 q1q/na(q 1)等比數(shù)列的性質(zhì) anamapaq (m n p q)公式法分組求和錯(cuò)位相減求和裂項(xiàng)求和倒序相加求和1、求通項(xiàng)公式(1)觀(guān)察法。(

2、2)由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題。(1)遞推式為an+產(chǎn)a+d及an+產(chǎn)qan (d, q為常數(shù))例 1、已知a n?兩足 an+i=ani+2,而且 ai=1。求 an。例1、解:an+1-an=2為常數(shù)，an是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列1. an=1+2 (n-1 ) 即 an=2n-11一.例2、已知an滿(mǎn)足an 1 an ,而a1 2 ,求an =2解= ：是常數(shù)/2，1是以2為首項(xiàng)，公比為:的等比藪列累加累積數(shù)列的應(yīng)用分期付款 其他歸納猜想證明掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、

3、求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可 能在高考中順利地解決數(shù)列問(wèn)題。(2)遞推式為 an+1=an+f (n)11例 3、已知an中 a1-, an1an-2，求 an.12 n1 n4n2 1一 一，一，1111解：由已知可知an 1 an 1 1( )(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1令 n=1, 2, , (n-1 ),代入得(n-1 )個(gè)等式累加，即(a2-a 1) + (a3-a2)+ + ( an-a n-1 )L 11、+ C)3 5(1 - J 1 ：2n - 12n - 3 2n - 11 *1 、 4n 3an a1-(1-一-)2 2

4、n 1 4n 2說(shuō)明只要和f (1)+f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以由22. nbn 1 bn (bn bn 1)由上題的解法，得：bn 3 2(-)33an宗 3(2)n 2(：)nan+i=an+f (n)(n-1)代入，可得n-1個(gè)等式累加而求an。(3)遞推式為an+1=pa+q (p, q為常數(shù))例 4、an中，a11 ,對(duì)于n>1(nCN)有an3an1 2 ,求 an.說(shuō)明對(duì)于遞推式/打=p, +不，可網(wǎng)邊除以得知= q，引輔助數(shù)列b J n = 4).彳導(dǎo)b&+i = -b十,后用q q(5)遞推式為an2 pan 1 qan解法一：由已知遞推式得

5、 an+1=3an+2, an=3an-1+2。兩式相減：an+1-a n=3 (an-an-1)因此數(shù)列an+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a2-a 1= (3X 1+2) -1=4.an+1-an=4 - 3n-1; an+1=3an+2. 3an+2-a n=4 - 3n-1即 a n=2 - 3n-1-1解法二：上法得a n+1-a n是公比為3的等比數(shù)列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 3a4-a 3 =4 , 3 ,an-a n-1 =4 , 3 )4門(mén)_對(duì)1)把 n-1 個(gè)-駕=4'+笳9三一an=2 3n-1-1思路：設(shè) an 2 pan 1 q

6、an,可以變形為： an 2 an 1(an 1 an),j CL + 8 =就是" B) 4"二則可從門(mén);,解得明口,CL * p = -q于是a n+1- a an是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類(lèi)型。分析(4)遞推式為an+1=p an+q n (p, q為常數(shù))【例5】已知%中，口=兒+ (。)叫 求% O32略解 在練刊=L+(1的兩邊乘以產(chǎn)嚕22f %l -+1,令 = 2" anmill. _ 工 L I 1 工旦_)11例5己知數(shù)列中，%=1,% =2, %?=方也+方弘.,§ 求口 + 8=pCL * p = -q一2nan= 2+

7、 ( n-1 ) - 2=2n解在k =3兩邊減去%n得(- an+1) = W %+1 -), , /+l 一%)是公比為一；，首項(xiàng)為%-%=1的等比數(shù)列。(D求z+i與%的關(guān)系;數(shù)列求和的常用方法:(6)遞推式為&與an的關(guān)系式此料可利用:鳳-521 5X2,、 11例丫設(shè)1前打項(xiàng)的和%="% -聲"口C-I(2)試用n表不' ano1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列(如果 an等差，bn等比，那么 anbn叫做差比數(shù)列)即把每一項(xiàng)都乘以 bn的公比q ,向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，

8、轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。SnSn(a nan1) (22n 1可裂項(xiàng)為：一1- ()an an 1 d anan 1an12an2n上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則2 nan是公差為2的等差數(shù)列。等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題：已知條件中既有Sn還有an ,有時(shí)先求Sn,再求an ；有時(shí)也可直接求Hn。1、若等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai 0 ,公差d0,則前n項(xiàng)和Sn有最大值。(i )若已知通項(xiàng)an ,則Sn最大anan 1(ii)若已知Snn取最靠近q-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最 2p大;的首項(xiàng)ai0 ,公差d

9、0,則前n項(xiàng)和Sn有最小值(i )若已知通項(xiàng)an,則Sn最小anan 100'(li )若已知Snn取最靠近q-的非零自然數(shù)時(shí)Sn最 2p小;數(shù)列通項(xiàng)的求法:公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn(即 a a? L an f(n)求 an用作差法：aS,(n 1)anSn Sn 1,(no2)已知 aga2gL ganf(1),(nf(n)求an,用作商法：anf (n)f(n 1)1),(n 2) 若 an 1 an f (n) 求an用 累 加 法an (an an 1) (an 1 an 2) L (a2 a1)a(n 2)。已知包f(n)求an,用累乘法：an 工

10、包L曳a(n 2)。anan 1 an 2 為已知遞推關(guān)系求 an ,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地，(1)形如an kan 1 b、an kan 1 bn (k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an ；形如an kan 1 kn的遞推數(shù)列都可以除以 kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an 0a (2)形如anan 1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan 1 b(3)形如an 1 ank的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。a(8)當(dāng)遇到an1 an1 d或一" q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可an 1能是分段形式。數(shù)列求

11、和的常用方法：(1)公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與 組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是 等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).2、由Sn求a。(n 1 時(shí)，a1 S1, n2時(shí)，anSnSn 1)3、求差(商)法(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成,那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).(5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的

12、通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂如：an滿(mǎn)足a1 22221解：n 1時(shí)，a1221 1n 2時(shí)，一a1 = a22 22112 得：-Lan2a2二 an 2n 52n1 5, a1141-， 齊-2n 1 52后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:1(1 n(n k) k n11,1-2 T k2 1 2 k 1nV1)14 (n 1)二 a2n 1 (n 2)練習(xí)1(k 1)k(k1)k k 1數(shù)列an滿(mǎn)足Sn Sn 1n(n 1)(n 2) 1n(n 1)(n 1)(n 2)n! (n 1)!、一.、一 S ,(注意到an 1Sn 1Sn代入得：丁 42(、.

13、nn 1)、解題方法:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:又S14, Sn是等比數(shù)列，Sn4nn 2時(shí)，an SnSn 13 . 4n 14、疊乘法1、公式法例如：數(shù)列an中，a1 3,亙,求an an n 1解：紅鬼九1 - 2u, w 1a1a2an 1 2 3 na1n又a13, an n5、等差型遞推公式can 1令(c 1)x d, xan是首項(xiàng)為a1c為公比的等比數(shù)列dn 1a cc 1由an ani f(n)，aia0,求an,用迭加法a1n 2時(shí)，a2 a1a3 a2f(2)f(3)兩邊相加，得:數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a1 9, 3an 1 an 4,求 ann 1/_4.、(an81)3a

14、n an i f(n)an aif(2) f(3) f(n)ana。 f(2) f(3)f(n)練習(xí)1數(shù)列 an , a11, an 3n 1 an 1 n 2 ,求an1 c(an1 3n 1 )26、等比型遞推公式an can 1 d c、d為常數(shù)，c 0, c 1, d 0可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an x c an 1 x7、倒數(shù)法例如：a11, an 1a-,求 anan 2由已知得:an 1111an 1a n2an 21 !2an 2 an-為等差數(shù)列, an1a11,公差為21n 12.an2.數(shù)列求和問(wèn)題的方法(1)、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求

15、和，另外記住以下公式對(duì)求和來(lái)說(shuō)是有益的。1 + 2 + 3+ +口 =221 + 3 + 5+(2n-1)=n23 . 2 . an(n + l)1 + 1)r + 2+3 +=-；八213+八2【例 8】 求數(shù)列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 項(xiàng)的和。1 ,.、解本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+n= n(n 1)2個(gè)奇數(shù)，最后一個(gè)奇數(shù)為： 1+工 n(n+1)-1 x 2=n2+n-12因此所求數(shù)列的前 n項(xiàng)的和為(2)、分解轉(zhuǎn)化法對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和?！纠?9】求和 S=1 (n2-1 ) +

16、 2 - n n2-2 2) +3 - n n2-3 2) + +n(n2-n2)解 S=n 2 (1+2+3+n) - (13+23+33+M)=na * n(n+l) - ： 口，(n + 1) 二=n3口十 1)n - 11十D(3)、倒序相加法適用于給定式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列，采取把正著寫(xiě)與倒著寫(xiě)的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3C： 6Cn L 3nCnn例 10、解 Sn 0?cO 3Cn 6C： L 3nCn又久=3口y+3 Cn-1) C不十一+ OC：相加，且運(yùn)用= 可得2Sr = 3h (C：+C： +=3n3Sn=3n - 2n-1(4)

17、、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.例11、 求數(shù)列1, 3x, 5x2，,(2n-1)x n-1前n項(xiàng)的和.解 設(shè) $=1+3+5x2+(2n-1)x n-1.當(dāng)至二1時(shí), = 1 + * n =(2)x=0 時(shí)，Sn=1 .(3)當(dāng) xw0 且 xw1 時(shí)，在式兩邊同乘以x 得 xS n=x+3x2+5x3+ +(2n-1)x n,-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ - +2xn-1-(2n-1)x n.f八 TA1笈由公出口S. =- 1 + -(2n-1 w1 -x 1 -x

18、l + -(2ft + l)Kn +(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。常見(jiàn)裂項(xiàng)方法：n(n $ k) k |_n xi + k.J4 l)(n + 2) 2 n例12、求和1?5 3?7 5?9例3求和貴十為J 1n + 1 n + 21(2n 1)(2n 3)1 1,1 1“ (2n - l)<2n + 3) = 4 2: 1 一 五十汰" 一 1 14l 3 2甘十1 2口十3口 (4 口 + 5)二苑7又2丸+ 3)2n + 11 12口 - 1 2口4 31注：在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在

19、掌握常見(jiàn)題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問(wèn)題 時(shí)的應(yīng)用。、常用數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決?！纠?3】等差數(shù)列an的首項(xiàng)ai>0,前n項(xiàng)的和為Sn,若S=Sk (l wk)問(wèn)n為何值時(shí)Sn最大解依題意，設(shè)F (Q=£。(n)=；也口 4(力 一 ： ) 11此函數(shù)以n為自變量的二次季林. ai>0 Si=8 (lwk) , dv 0故此二 ，當(dāng)乂一時(shí)f (天)最大，f (n)中，nE Nd次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下一1 +k ，當(dāng)l+k為偶數(shù)時(shí)，口 =一時(shí)或最大& f (l ) =f (k)2當(dāng)1+k為奇數(shù)時(shí)，垃=筆里時(shí)

20、當(dāng)最大.2.方程思想【例14】設(shè)等比數(shù)列an前n項(xiàng)和為S,若S3+S6=2S9,求數(shù)列的公比q。分析本題考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及推理能力。解 :依題意可知qwl。;如果q=1,則S3=3ai, Ss=6ai, S9=9ai。由此應(yīng)推出 ai=0與等比數(shù)列不 符。- qw Ia (l-q3) a Q-q。)2a (_!- q) ?)有-J+ -_ q - q1 - q整理得 q3 (2q6-q3-i ) =0=qw。2q6 - q3 -1 = 0 q；=l舍，W = T, V4此題還可以作如下思考：&=S+q3S3= (i+q3) S3。S9=4+q3S6=& (i+q3+q6),.由 $+$=29可得 2+q3=2 (i+q3+q6) , 2q6+q3=03.換元思想【例I5】已知a, b, c是不為i的正數(shù)，x, y, z C R+,且1 1 2有/ =b7 = (/和一 + - = 一。求證：a, b, c,加次成等？1匕數(shù)列。證明依題意令ax=by=cz=k,