二次型的分類

1、二次型的分類二次型的分類第一頁，共16頁。2022-3-242 定義定義 如果對于任意的非零向量如果對于任意的非零向量X=(x1,x2,.,xn)T, 恒有恒有110nnTijijija x xX AX 就稱XTAX為正定二次型, 稱A為正定矩陣. 222164zyxf 為正定二次型22213xxf 為負(fù)定二次型例如第二頁，共16頁。2022-3-243取取yi=1, yj=0(j i), 代入二次型代入二次型, 得得f(0,.,0,1,0,.,0)=di 0, 與二次型與二次型f(y1,y2,.,yn)正定矛盾正定矛盾 正定的充分必要條件是di0 (i=1,2,.,n). (1)充分性：(2

2、)必要性（反證法）, 設(shè)di0,222221121),(nnnydydydyyyf二次型根據(jù)定義可得結(jié)論:(i)使使設(shè)設(shè)可可逆逆變變換換Cyx .ydCyfxfinii21 第三頁，共16頁。2022-3-244(ii) 一個二次型一個二次型XTAX, 經(jīng)過非退化線性變換經(jīng)過非退化線性變換X=CY, 化為化為YT(CTAC)Y, 其正定性保持不變其正定性保持不變, 即當(dāng)即當(dāng) XTAX=YT(CTAC)Y (C可逆可逆) 時時,等式兩端的二次型有相同的正定性等式兩端的二次型有相同的正定性. 這是這是.0)(,. 0,),(,),(,:000000000)0()0(2)0(10為正定二次型即對于任

3、意的則正定若相對應(yīng)的所以與可逆由于即對于任意的因為AXXYACCYYAXXAXXXYCCYXyyyYTTTTTTn0000第四頁，共16頁。2022-3-245由上述兩個結(jié)論可見由上述兩個結(jié)論可見: 一個二次型一個二次型XTAX(或?qū)崒ΨQ矩陣或?qū)崒ΨQ矩陣A), 通過非退化線性通過非退化線性變換變換X=CY, 將其化成標(biāo)準(zhǔn)型將其化成標(biāo)準(zhǔn)型(或規(guī)范形或規(guī)范形)21()nTTiiiYC AC Yd y(或?qū)合同于對角陣, 即CTAC=L), 就容易判別其正定性.第五頁，共16頁。2022-3-246 ( ) 00.Tf XX AXXf XA （1）稱二次型是， 如果對于任意有此時稱對稱矩陣 為正正

4、定二次型定矩陣。 ( ) 0.Tf XX AXf XA （2）稱二次型是， 如果對于任意X有此時稱對稱矩陣 為半半正定二次型正定矩陣。 ( ) 00.Tf XX AXXf XA （3）稱二次型是， 如果對于任意有此時稱對稱矩陣 為負(fù)負(fù)定二次型定矩陣。第六頁，共16頁。2022-3-247理理 若若A是是n階實(shí)對稱矩陣階實(shí)對稱矩陣, 則下列命題等價則下列命題等價: (i) XTAX是正定二次型是正定二次型(或或A是正定矩陣是正定矩陣); (ii) A的正慣性指數(shù)為的正慣性指數(shù)為n, 即即A I; (iii) 存在可逆陣存在可逆陣P, 使得使得A=PTP; (iv) A的的n個特征值個特征值l l

5、1,l l2,.,l ln全大于零全大于零. 證 (i)(ii) 對于A, 存在可逆陣C使得CTAC=diag(d1,d2,.,dn). 令X=CY就有 XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+.+dnyn2 如有一個di0, 則上式必不恒大于零, 與命題(i) 矛盾, 故A的正慣性指數(shù)為n, 從而AI.第七頁，共16頁。2022-3-248(ii)(iii) 由CTAC=I(C可逆), 得 A=(CT)1C1=(C1)TC1, 取P=C1, 則有A=PTP.(ii)(iii) 設(shè)AX=lX, 即(PTP)X=lX, 于是便有 XTPTPX=lXTX, 即 (PX,PX)=l(X

6、,X). 由于特征向量X0, 從而PX0, 故A的特征值(,)0.(,)PX PXX Xl(iv)(i) 對于n階實(shí)對稱矩陣A, 存在正交陣Q, 使得 QTAQ=diag(l1,l2,.,ln), 作正交變換X=QY, 得 XTAX=l1y12+l2y22+.+lnyn2. 已知特征值l1,l2,.,ln都大于零, 故XTAX正定第八頁，共16頁。2022-3-249()Tf XXAXnfn 二次型為負(fù)定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)形的 個系數(shù)全為負(fù)，即 的負(fù)慣性指標(biāo)為 。推論()Tf XXAXA 二次型為負(fù)定的充分必要條件是：對稱矩陣 的特征值全都小于零。()Tf XXAXA 二次型為半正定的

7、充分必要條件是：對稱矩陣 的全部特征值非負(fù)。第九頁，共16頁。2022-3-2410定理定義設(shè)n階方陣ij n nAa （ ）我們把n個行列式111Aa111222122aaAaa1111nnnnnaaAaa()Tf XX AXA 二次型為正定的充分必要條件是：對稱矩陣的所有順序主子式為正。都叫做矩陣的順序主子式。推論()Tf XX AXA 二次型為負(fù)定的充分必要條件是：對稱矩陣的所有奇數(shù)階順序主子式為負(fù)，所有偶數(shù)階順序主子式為正。第十頁，共16頁。2022-3-2411AA 對稱矩陣 為半正定的充分必要條件是：的所有主子式非負(fù)。定義 如果方陣A的某一子式的主對角線完全位于A 的主對角線上，就

8、稱該子式為的主子式。定理第十一頁，共16頁。正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì);,A, . 1 1T定定矩矩陣陣均均為為正正則則為為正正定定實(shí)實(shí)對對稱稱陣陣設(shè)設(shè) AAA., . 2 矩陣矩陣也是正定也是正定則則階正定矩陣階正定矩陣均為均為若若BAnBA 第十二頁，共16頁。例 判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定.解 的的矩矩陣陣為為321,xxxf,524212425 它的順序主子式, 05 , 011225 , 01524212425 故上述二次型是正定的.第十三頁，共16頁。例 判別二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定.解二次型的矩陣為,502040202 A用特征值判別法.0 AIl l令令. 6, 4, 1321 l ll ll l故此二次型為正定二次型.即知 是正定矩陣，A第十四頁，共16頁。例 判別二次型xzxyzyxf44465222 的正定性.解的矩陣為的矩陣為f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.13為負(fù)定為負(fù)定知知根據(jù)定理根據(jù)定理f,402062225 A第十五頁，共16頁。2022-3-241622211 21 322 336222222fxx xx xxx xx例 、判斷的類型f 對應(yīng)的矩陣是