廣東省汕頭市潮南實(shí)驗(yàn)學(xué)校人教版高中必修四數(shù)學(xué)課件：2.3.1-2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

1、2.3 2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示示2.3.1 2.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理2.3.2 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示問(wèn)題提出問(wèn)題提出t57301p2 1. 1. 向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算向量加法與減法有哪幾種幾何運(yùn)算法則？法則？ 2. 2.怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算怎樣理解向量的數(shù)乘運(yùn)算a？ （1 1）| |a a|=|=|a a| |；（2 2）0 0時(shí)，時(shí)，a與與a方向相同；方向相同；0 0時(shí)，時(shí)，a與與a方向相反；方向相反；=0=0時(shí)，時(shí)，a=0.=0.3.3.平面向量共線定理是什么？平面向量共

2、線定理是什么？ 4.4.如圖，光滑斜面上一個(gè)木塊受到的重如圖，光滑斜面上一個(gè)木塊受到的重力為力為G G，下滑力為，下滑力為F F1 1，木塊對(duì)斜面的壓，木塊對(duì)斜面的壓力為力為F F2 2，這三個(gè)力的方向分別如何？，這三個(gè)力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？三者有何相互關(guān)系？G GF F1 1F F2 2非零向量非零向量a與向量與向量b共線共線 存在唯存在唯一實(shí)數(shù)一實(shí)數(shù)，使，使ba. . 5.5.在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成在物理中，力是一個(gè)向量，力的合成就是向量的加法運(yùn)算就是向量的加法運(yùn)算. .力也可以分解，力也可以分解，任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解任何一個(gè)大小不為零的力，都可以分解

3、成兩個(gè)不同方向的分力之和成兩個(gè)不同方向的分力之和. .將這種力將這種力的分解拓展到向量中來(lái)，就會(huì)形成一個(gè)的分解拓展到向量中來(lái)，就會(huì)形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)理論新的數(shù)學(xué)理論. .探究（一）：探究（一）：平面向量基本定理平面向量基本定理 思考思考1 1：給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量給定平面內(nèi)任意兩個(gè)向量e1 1，e2 2，如何求作向量如何求作向量3 3e1 12 2e2 2和和e1 12 2e2 2？ e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2思考思考2 2：如圖，設(shè)如圖，設(shè)OAOA，OBOB，OCOC為三條共為三條共點(diǎn)

4、射線，點(diǎn)射線，P P為為OCOC上一點(diǎn)，能否在上一點(diǎn)，能否在OAOA、OBOB上分別找一點(diǎn)上分別找一點(diǎn)M M、N N，使四邊形，使四邊形OMPNOMPN為平為平行四邊形？行四邊形？M MN NO OA AB BC CP P思考思考3 3：在下列兩圖中，向量在下列兩圖中，向量不共線，能否在直線不共線，能否在直線OAOA、OBOB上分別找一上分別找一點(diǎn)點(diǎn)M M、N N，使，使 ？OA,OB,OC O MO NO C+=uuuruuu ruuu rO OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N思考思考4 4：在上圖中，設(shè)在上圖中，設(shè) = =e1 1， = =e2 2， =

5、=a，則向量，則向量 分別與分別與e1 1，e2 2的的關(guān)系如何？從而向量關(guān)系如何？從而向量a與與e1 1，e2 2的關(guān)系如的關(guān)系如何？何？OAOB OC OM,ON 1 12 2.aeeO OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N1 12 2OM, ON.ee O M=uuurO N=uuu r1 1221 122OMe ,ONe ,aee 思考思考5 5：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a都為定向量，都為定向量，且且e1 1，e2 2不共線，則實(shí)數(shù)不共線，則實(shí)數(shù)1 1，2 2是否存在？是否存在？是否唯一？是否唯一？O OA AB BC CM MN NO

6、OA AB BC CM MN N思考思考6 6：若向量若向量a與與e1 1或或e2 2共線，共線，a還能用還能用1 1e1 12 2e2 2表示嗎？表示嗎？e1 1aa=1 1e1 1+0+0e2 2e2 2aa=0 0e1 1+ +2 2e2 2思考思考7 7：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量量a都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的都可以由這個(gè)平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量向量e1 1，e2 2表示出來(lái)，從而可形成一個(gè)表示出來(lái)，從而可形成一個(gè)定理定理. .你能完整地描述這個(gè)定理的內(nèi)容你能完整地描述這個(gè)定理的內(nèi)容嗎？嗎？若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，是同一平面內(nèi)的

7、兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)一對(duì)實(shí)數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2.思考思考8 8：上述定理稱為上述定理稱為平面向量基本定理平面向量基本定理，不共線向量不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組有向量的一組基底基底. . 那么同一平面內(nèi)可那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對(duì)以作基底的向量有多少組？不同基底對(duì)應(yīng)向量應(yīng)向量a的表示式是否相同？的表示式是否相同？若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量則對(duì)于這一平面

8、內(nèi)的任意向量a，有且只有，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)一對(duì)實(shí)數(shù)1 1，2 2，使，使a1e12e2.探究探究( (二二):):平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 00，180180 思考思考1 1：不共線的向量有不同的方向，對(duì)不共線的向量有不同的方向，對(duì)于兩個(gè)非零向量于兩個(gè)非零向量a和和b，作，作 a， b，如圖如圖. .為了反映這兩個(gè)向量的位置關(guān)系，為了反映這兩個(gè)向量的位置關(guān)系，稱稱AOBAOB為向量為向量a與與b的的夾角夾角. .你認(rèn)為向量你認(rèn)為向量的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？的夾角的取值范圍應(yīng)如何約定為宜？OAOB baabA AB BO O思考思考2 2：如果向量如果向量

9、a與與b的夾角是的夾角是9090，則，則稱稱向量向量a與與b垂直垂直，記作，記作ab. . 互相垂直互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？一組基底？ba思考思考3 3：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量正交分解正交分解. .如圖，向如圖，向量量i、j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a與與i的夾角是的夾角是3030，且，且| |a|=4|=4，以向量，以向量i、j為基底，向量為基底，向量a如何表示？如何表示？B BaiO OjA AP P2 32aij思考思考4

10、4：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x x軸、軸、y y軸方向相同的兩個(gè)單位向量軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x x、y y，使得，使得 ax xiy yj. .我們把我們把有序數(shù)對(duì)（有序數(shù)對(duì)（x x，y y）叫做向量）叫做向量a的坐標(biāo)，記作的坐標(biāo)，記作a(x(x，y).y).其中其中x x叫做叫做a在在x x軸上軸上的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，y y叫做叫做a在在y y軸軸上的坐標(biāo)，上式叫做向量上的坐標(biāo)，上式叫做向量的的坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示.

11、.那么那么x x、y y的的幾何意義如何？幾何意義如何？aix xy yO Ojx xy y思考思考5 5：相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向相等向量的坐標(biāo)必然相等，作向量量 a，則，則 (x(x，y)y)，此時(shí)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A A是坐是坐標(biāo)是什么？標(biāo)是什么？OA OA A Aaix xy yO OjA(x,yA(x,y) )理論遷移理論遷移 例例1 1 如圖，已知向量如圖，已知向量e1 1、e2 2，求作向，求作向量量2.52.5e1 13 3e2 2. .e1e2C CO OA A2.52.5e1 1B B3 3e2 2例例2 2 如圖，寫出向量如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標(biāo)的坐標(biāo). .2452

12、abcd4 252xyOa=(2,3)=(2,3)b=(-2,3)=(-2,3)c=(-2,-3)=(-2,-3)d=(2,-3)=(2,-3)AB 例例3 3 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中，中， =a， =b，E E、M M分別是分別是ADAD、DCDC的中的中點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)F F在在BCBC上，且上，且BC=3BFBC=3BF，以，以a，b為為基底分別表示向量基底分別表示向量 和和 . .2ABAC3 AD AM EFA AB BE ED DC CF FM M12AMab 16EFab 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè) 1. 1.平面向量基本定理是建立在向量加平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理，法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時(shí)又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是同時(shí)又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個(gè)承前起后的重要知識(shí)點(diǎn)一個(gè)承前起后的重要知識(shí)點(diǎn). .2.2.向量的夾角是反映兩個(gè)向量相對(duì)位置向量的夾角是反映兩個(gè)向量相對(duì)位置關(guān)系的一個(gè)幾何量，平行向量的夾角是關(guān)系的一個(gè)幾何量，平行向量的夾角是0 0或或180180，垂直向