量子力學(xué)作業(yè)答案

1、第一章量子理論基礎(chǔ)m與溫度T成反1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)比，即mT=b（常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式以及38hv3-c1.-vdv，e方1c,vdvvd,(1)(2)(3)dvdv()8hc15hce下1這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于入與入+d入之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是入取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求對(duì)入的一階導(dǎo)數(shù)為零,由此可求得相應(yīng)的入的值，記作m。但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)入的二階導(dǎo)數(shù)在處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具體如下：hc18hc16匹e71hc5(1

2、ekT)hckThc如果令x=，則上述方程為kT5(1這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：個(gè)解可以通過(guò)逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得:樣則有x=0,但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一x=4.97,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解正是所要求的，這mThcxk把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知mT2.9103mK1.4利用玻爾一一索末菲的量子化條件，求:(2)在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng)H=10T,玻爾磁子Mb91024JT1,試計(jì)算運(yùn)能的量子化問(wèn)隔,并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。解玻爾一一索末菲的量子化條件為pdqnh其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義

3、動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。(1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k,諧振子質(zhì)量為于是有kx22這樣，便有122(Ekx2)2這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好個(gè)來(lái)回，運(yùn)動(dòng)了一圈。止匕外，根據(jù)1.2E-kx2可解出這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾一一索末菲的量子化條件,有2(E；kx2)dx12()J2(E-kx)dxnhV22(E:kx2)dx2(E-kx2)dxnh22(E1kx2)dx為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換;x2Esink這樣,便有22Ecos2d22h這時(shí),這樣,這里22Ecos萬(wàn)22E萬(wàn)令上式左邊的積分為便

4、有=29,這樣，就有根據(jù)式（1）和（2）,便有2kEcosd2cosdA,此外再構(gòu)造一個(gè)積分22E萬(wàn)22E2E22E萬(wàn)sin2d一cos2dk(DE.卜cos2d(2)E,cosd,kEsin0(2)這樣，便有2hrh.k其中h2最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次,這量子化的能量是等間隔分布的。(2)當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有qBR這時(shí)，玻爾一一索末菲的量子化條件就為nh20qBRd(R)2_.qBR2nhqBR2nh2又因?yàn)閯?dòng)能耐Ep-,所以，有2(qBR)22q2B2R22qBn2nBNB,nB2其中，MB是玻爾磁子，這樣,發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的

5、，而且EBMB具體到本題，有根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí),1kK310eV1.6,c22.10J1.54_221.610J229.610J當(dāng)溫度T=100K時(shí),E1.51001.61022J2.41020J(2)21ikr-er從所得結(jié)果說(shuō)明1表示向外傳播的球面波,2表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。2.2由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度:1ikr(1)1er面波。解：J1和J2只有r分量在球坐標(biāo)中r0一rersin(1)Ji；(12mir1一Le2mr41(2mrk2r0mrikrr1-2rk3mr1）1ikr1

6、(e)-e11ik-)-(rrikr1ikr、(-e)orrik1)%r小與同向。表示向外傳播的球面波I*J2(222)2m1 1Ikr1Ikr1Ikr1Ikr-e(e)-e(-e)ro2mrrrrrrI111111-(-2Ik-)-(=Ik-)ro2mrrrrrrkk2 ro3rmrmr可見(jiàn)，J2與r反向。表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波補(bǔ)充：設(shè)（x）eIkx,粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化?*dxdx2、一一波函數(shù)不能按I（x）dx1方式歸一化。其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為2、.1表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng),x0U(x)0,0xa,xa中運(yùn)動(dòng)，求粒子

7、的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解：U(x)與t無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài)S一方程2dd2m：xa23(x)U(x)3(x)E3(x)2mdx2-2(x)U(x)(x)E(x)2mdx在各區(qū)域的具體形式為2d2I:x021(x)U(x)1(x)E1(x)2mdx22d2H:0xa22(x)E2(x)2mdx由于（1）、（3）方程中，由于U（x）,要等式成立，必須i(x)02（x）0即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。,2d2（x）2mE萬(wàn)程（2）可變?yōu)閷W(xué)2（x）0dx令k22mEd22(x)dx2k22(x)0其解為2(x)AsinkxBcoskx根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A,B,由連續(xù)性條件，得2(0)

8、i(0)2(a)3(a) B0A0sinka0kan(n1,2,3,)n2(x)Asinxa由歸一化條件2(x)dx1a得A2sin2xdx10aAsinkaasinbnsinxdxamn2a2(x)2.n、sin-xvaak22mEEn222_)可見(jiàn)E是量子化的o對(duì)應(yīng)于En的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為2.n-Entn(x,t)1-sinxe,aaa,x0,2.4.證明(2.6-14)式中的歸一化常數(shù)是A1,1aAsin(xa0,a),xa(2.6-14)由歸一化，得2dxa2.2nAsin(xa)dxaaA2A22a11a2acos-(xa)dxaancos(xaa)dxA2aA2a2nsinn/

9、(xaa)An(n1,2,3,2maa一歸一化常數(shù)A1a2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。解：(x)2xe2l(x)i(x)22x22會(huì)di(x)dx令d1(x)Vdx22x2xe%x0,得由i(x)的表達(dá)式可知,22x(223xe0,x時(shí)，1(x)0。顯然不是最大幾率的位置。2x(2x2232x2x)e442x)e1可見(jiàn)x1(x)dx2是所求幾率最大的位置。3.2.氫原子處在基態(tài)(r,)1ea0r/a0,求:(1)r的平均值;2勢(shì)能e-的平均值;r(3)最可幾半徑；(4)動(dòng)能的平均值;(5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：(1)Fr(r,1-3a00re2r/a0r2sindrdd2r/

10、a0dr4-3a。nax,n!xedxn10a3a042a0(2)U2(-)r2e3a04e2a34e23-a0(3)電子出現(xiàn)在(r)dr0,當(dāng)ri0,2ea30a02r/a0r2.sindrd2r/a0.e0rsin02r/a0rdrdrdaa。r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為22)rsindrd42r/a02.3erdr3a0(r)4-3ea02r/a02rd(r)dr5(2a02.2r/a0r)rea0ri0,3a0時(shí),(r)0為幾率最小位置d2(r)dr284一r二a0%r2)e2r/a0d2dr(r)2a08Fea0ra0是最可幾半徑。(4)T?21q2-P21z.21122(r)(sin

11、)22rrrsinsiner/a2(er/a)r2sindrdda0001-3aOr/ace-1r2(er/a0)r2sindrddr2drdr2a：aO(2r2)eaOr/a0dr(5)c(p)c(p)4aO2a。*p(r)(r,1(2產(chǎn)01er/a02rdr01prcosesinnaxn!xedxni0a2(2)3W2(2)3/2.a：(22、3/230).a01Prer/aor/a0J_prcosdrdreipr/-prr/a0(ed(cos)1prcos-pr)dr一(2)3/2.a；2(p)a01J匚(一p)a01,2a：3ip8a0352(%p2L2、一一H一，L為角動(dòng)量,2I3.

12、5一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,它的能量的經(jīng)典表示式是求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù):(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：(2) 轉(zhuǎn)子繞一周定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：解：(1)設(shè)該固定軸沿Z軸方向，則有LZ哈米頓算符H?2I2d22Id其本征方程為(H與t無(wú)關(guān),屬定態(tài)問(wèn)題)L22d22I取其解為2IEd2dAeim由波函數(shù)的單值性,應(yīng)有d2()d22IE2(m可正可負(fù)可為零im(2)imeei2mem=0,1,2,轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為Em2m2I(m=0,1,2,)可見(jiàn)能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為mAeimA為歸一化常數(shù)，由歸一化條件2*10mmd.1A22A22A.2轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)

13、為iimm:e2綜上所述，除m=0外，能級(jí)是二重簡(jiǎn)并的。(2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為彳與t無(wú)關(guān)，屬定態(tài)問(wèn)題，其本征方程為卡Y(,)EY(,)(式中Y(,)設(shè)為H?的本征函數(shù)，E為其本征值)仔丫(，)2IEY(,)令2IE2,則有?Y(,)2Y(,)此即為角動(dòng)量L?2的本征方程，其本征值為L(zhǎng)22(i)20,1,2,)其波函數(shù)為球諧函數(shù)Ym(,)轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為m、NmP(cos)eim可見(jiàn)，能量是分立的,且是(2i)重簡(jiǎn)并的。3.9.設(shè)氫原子處于狀態(tài)(r,.32R2i(r)Yio(,)yR2i(r)Yii(,)求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率

14、和這些力學(xué)量的平均值。解：在此能量中，氫原子能量有確定值2巳魚(yú)22n22es(n2)角動(dòng)量平方有確定值為22L(1)(1)角動(dòng)量Z分量的可能值為L(zhǎng)zi0Lz2其相應(yīng)的幾率分別為其平均值為1LZ43.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能為,ra;U(r)n0,ra求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。解：據(jù)題意，在ra的區(qū)域，U(r),所以粒子不可能運(yùn)動(dòng)到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)(ra)由于在ra的區(qū)域內(nèi)，U(r)00只求角動(dòng)量為零的情況，即0,這時(shí)在各個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是相同的即粒子的幾率分布與角度無(wú)關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與r有關(guān)，而與、無(wú)關(guān)。設(shè)為(r),則粒子的能量的本征方程為21d,2d(r2rdrdr令U(r)rEd2udr2k2u0其通解為Bsinkr