初一上冊(cè)數(shù)學(xué)直升班培優(yōu)講義學(xué)生版一元一次方程的應(yīng)用(學(xué)生版)

1、一元一次方程的應(yīng)用元一次方程的應(yīng)用專題1知識(shí)框架2一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)2知識(shí)點(diǎn)1列方程解應(yīng)用題的合理性2知識(shí)點(diǎn)2建立書寫模型常見的數(shù)量關(guān)系2知識(shí)點(diǎn)3分析數(shù)量關(guān)系的常用方法3二、典型題型5題型1和差倍分問題5題型2總（分）量問題5題型3調(diào)配問題5題型4配套問題5題型5分段計(jì)費(fèi)問題6題型6方案優(yōu)化問題6題型7利潤問題、打折問題、盈虧問題6題型8儲(chǔ)蓄問題7題型9行程問題7題型10工程問題7題型11等積問題8題型12數(shù)字問題8題型13積分問題8三、培優(yōu)題型10題型1設(shè)輔助未知數(shù)10題型2商品銷售問題（復(fù)雜）10題型3行程問題（復(fù)雜）10題型4工程問題（多個(gè)未知數(shù)）10題型5濃度問題（列方程解應(yīng)用題的合理性基

2、礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)蚯書寫模型常見的數(shù)量關(guān)系S 析愛數(shù)量關(guān)系的常用萬法祁差侶汁問題總妙量 HA 越調(diào)配問題分段計(jì)費(fèi)問題方秦優(yōu)化問題利潤問題，打折問題箕型題型彳儲(chǔ)畜問題行程問題工程I魂等積問題敷字問題I 積分問題假輔助未舸數(shù)商品銷售問題（麥胡難點(diǎn)題型行程問題（復(fù)雜）工程問題（參個(gè)未知數(shù)）必度問題一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)框架知識(shí)點(diǎn)1列方程解應(yīng)用題的合理性列方程解實(shí)際問題，對(duì)于方程的解轉(zhuǎn)為為實(shí)際問題的解答，一定要注意檢驗(yàn)它是否符合實(shí)際情況。若不符合，必須舍去。有時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題的區(qū)別，對(duì)實(shí)際問題的解進(jìn)行修正。同時(shí)，在設(shè)與答時(shí)，單位要同一例1=隊(duì)學(xué)生去校外進(jìn)行軍事訓(xùn)練，他們以5千米/小時(shí)的速度行進(jìn)，走了18

3、分鐘，學(xué)校要將一緊急通知傳達(dá)給隊(duì)長，通訊員從學(xué)校出發(fā)，騎自行車以14千米每小時(shí)的速度按原路追上去，通訊員用多少分鐘可以追上學(xué)生隊(duì)伍?知識(shí)點(diǎn)2建立書寫模型常見的數(shù)量關(guān)系）公式形數(shù)量關(guān)系生活中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時(shí)，必須通過情景中的信息關(guān)公式直接建立等式方程。準(zhǔn)確聯(lián)想有關(guān)的公式，利用有長方形面積=長x寬長方形周長=2（長+寬）正方形面積=邊長X邊長正方形周長=4邊長2）約定型數(shù)量關(guān)系利息問題，利潤問題，質(zhì)量分?jǐn)?shù)問題，比例尺問題等涉及的數(shù)量關(guān)系，像數(shù)學(xué)中的公式，但常常又不算數(shù)學(xué)公式。我們稱這類關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。3）基本數(shù)量關(guān)系在簡單應(yīng)用情景中，與其他數(shù)量關(guān)

4、系沒有什么差別，但在較復(fù)雜的應(yīng)用情景中，應(yīng)用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關(guān)系稱為基本數(shù)量關(guān)系。單價(jià)X數(shù)量=總價(jià)速度X時(shí)=路程工作效率X時(shí)間=總工作量等。例1.一只船在逆水中航行，船上一只救生圈掉入水中，5分鐘后船員發(fā)現(xiàn)救生圈落水，船掉頭追趕救生圈，幾分鐘能夠追上救生圈（調(diào)轉(zhuǎn)船頭時(shí)間不計(jì)）？知識(shí)點(diǎn)3分析數(shù)量關(guān)系的常用方法1）譯式法分析數(shù)量關(guān)系將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。例1.一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1,個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字的3倍少2,若將個(gè)位與百位數(shù)字調(diào)換位置后，所得的三位數(shù)與原來三位數(shù)的和是1171

5、,求這個(gè)三位數(shù)。2）列表分析數(shù)量關(guān)系當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對(duì)號(hào)入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。例2.超市以每支4元的價(jià)格購進(jìn)100支鋼筆，賣出時(shí)每支的標(biāo)價(jià)為6元，當(dāng)賣出一部分鋼筆后，剩余的以9折出售，賣完時(shí)超市盈利188元，其中打9折的鋼筆有幾支？3）圖解法分析數(shù)量關(guān)系用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會(huì)題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。例3.甲、乙兩人相距285m，相向而行，甲從A地除法每秒走8米，乙從B地出發(fā)每秒走6米。如果甲先走12

6、米，那么甲出發(fā)幾秒后與乙相遇？、典型題型題型1和差倍分問題解題技巧：此類題型，需要弄清楚“倍數(shù)”“多”“少”等關(guān)系。(1)甲是乙的a倍：甲=乙xa(2)甲比乙多-:甲=乙乂(1+)am(3)甲比乙少-甲=乙乂(1?)aa例1?今年收入比去年提高20%，今年人均收入比去年的1.5倍少1200元，求去年的人均收入是多少？例2?一根長100cm的木棍據(jù)成兩段，使其中一段長比另一段的2倍少5cm,求分成的兩段木棍的長度。題型2總(分)量問題解題技巧：此類題型，總量始終是不變的量，類似與工程問題，多利用這個(gè)不變量來列寫等式方程。例1?一批圖書分給同學(xué)，若每人分3本，則剩下20本；若每人分4本，則還差25

7、本。問有多少同學(xué)？例2?用A型機(jī)器和B型機(jī)器生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，5臺(tái)A型機(jī)器生產(chǎn)一天的產(chǎn)品裝滿8箱后還剩4個(gè)；7臺(tái)B型機(jī)器生產(chǎn)一天的產(chǎn)品裝滿11箱后還剩1個(gè)，每臺(tái)A型機(jī)器比B型機(jī)器一天多生產(chǎn)1個(gè)產(chǎn)品，求每箱產(chǎn)品有多少個(gè)產(chǎn)品？題型3調(diào)配問題解題技巧：調(diào)配問題中，調(diào)配前后總量始終保持不變，可利用這個(gè)關(guān)系列寫等式方程，有時(shí)又在調(diào)配前后的變化中找等量關(guān)系。調(diào)出者的數(shù)量=原有的數(shù)量一調(diào)出的數(shù)量調(diào)進(jìn)者的數(shù)量=原有的數(shù)量+調(diào)入的數(shù)量例1?第一組有36人，第二組有24人。因工作需要，從第二組調(diào)了幾個(gè)人到第一組，結(jié)果第一組的人數(shù)是第二組的2倍，求從第二組調(diào)了幾人到第一組。例2浩二組比第一組人數(shù)的二少30人，從第二組

8、調(diào)出10人到第一組，那么第一組的人數(shù)比第二組多60人求第一組原來有多少人？題型4配套問題解題技巧：因工藝上的特點(diǎn)，某幾個(gè)工序之間存在比例關(guān)系，需這幾道工序的成對(duì)應(yīng)比例才能完全配套完成，這類題型為配套問題。配套問題，主要利用配套的比例來列寫等式方程。例1.某水利工程派35人去挖土和運(yùn)土，如果每人每天挖2方或運(yùn)3方土，那么應(yīng)該怎么安排人員，正好使挖出的土能及時(shí)運(yùn)走？例2.某車間有工人68人，平均每人每天可以加工大齒輪8個(gè)或小齒輪10個(gè)，又知一個(gè)大齒輪和三個(gè)小齒輪配為一套，問應(yīng)該如何安排勞力使生產(chǎn)的產(chǎn)品剛好配套？題型5分段計(jì)費(fèi)問題解題技巧：此類題型，收費(fèi)往往因?yàn)椴煌姆侄?，?biāo)準(zhǔn)會(huì)不一樣。因此，在列寫

9、此類問題的等式方程時(shí)，需要先依據(jù)題意將路程進(jìn)行合理分段，然后在按照不同分段中的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)列寫等式方程。例1.某種出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)7元(即行駛距離不超過3千米需付7元車費(fèi))，超過3千米后，每增加1千米加收2.4元(不足1千米按1千米計(jì)算)，某人乘坐這種出租車從甲地到乙地共支付車費(fèi)19元，則此人從甲地到乙地經(jīng)過的路程是多少千米？例2.一出租車起步價(jià)是5元，8公里內(nèi)按起步價(jià)收費(fèi)，8公里以上20公里以內(nèi)按每增加1公里另收費(fèi)0.5;20公里以上按每增加1公里另收費(fèi)1元，一乘客付出車費(fèi)21元，問他乘坐多少公里？例3.某市居民用電基本價(jià)格為每度0.4元，若每月用電量超過a度，超過部分按基本電價(jià)的70

10、%收費(fèi)。(1)某戶5月份用電84度，共交電費(fèi)30.72元，求a.(2)若該戶6月份的電費(fèi)平均每度0.36元，求6月份共用電多少度？應(yīng)交電費(fèi)多少元？題型6方案優(yōu)化問題解題技巧：此類題型，一般會(huì)提供多種方案供選擇，要求我們選出最合算的方案。解此類題型，有2種思路。思路1:分別求解出每種方案的最終費(fèi)用，在比較優(yōu)劣思路2:求解出每種方案費(fèi)用相同時(shí)的臨界點(diǎn)，在根據(jù)臨界點(diǎn)進(jìn)行討論分析。例1.某單位急需用車，但又不需買車，他們準(zhǔn)備和一個(gè)個(gè)體車主或一國營出租公司中的一家簽定月租車合同，個(gè)體車主的收費(fèi)是3元/千米，國營出租公司的月租費(fèi)為2000元，另外每行駛1千米收2元,(1)這個(gè)單位若每月平均跑1500千米，

11、租用哪個(gè)公司的車比較合算？(2)每月跑多少千米兩家公司的費(fèi)用一樣？例2運(yùn)送一批木材，甲公司收費(fèi)是3000元起步，每公里另收5元；乙公司起步價(jià)位1000元，每公里另收8元。(1)當(dāng)路程為100千米時(shí)，選用哪家公司？(2)什么情況下，兩家公司的收費(fèi)一樣？題型7利潤問題、打折問題、盈虧問題(P77;P90)解題技巧：此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關(guān)系來列寫等式方程。利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)利潤率=售價(jià)=標(biāo)價(jià)X銷售折扣例1.七年級(jí)社會(huì)實(shí)踐小組調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某襯衫進(jìn)價(jià)為80元，購進(jìn)了500件，并以每件120元的價(jià)格銷售了400件。剩下襯衫，準(zhǔn)備降價(jià)銷售。請(qǐng)你幫忙計(jì)算一下，每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，銷售完這批襯

12、衫正好盈利45%的預(yù)期目標(biāo)？例2.書店舉行購書優(yōu)惠活動(dòng)：(1)一次性購書不超過100元，不享受優(yōu)惠；(2)一次性購書超過100元，但不超過200元，一律九折；(3)一次性購書200元或以上，一律七折小林在這次活動(dòng)中，兩次購書總共付費(fèi)229.4元，第二次購書原價(jià)是第一次購書原價(jià)的3倍，那么小林兩次購書原價(jià)的總和是多少？題型8儲(chǔ)蓄問題解題技巧：本金、禾利息、年利率、禾利息稅稅率和實(shí)得本利和之間的相等關(guān)系：本金X利率=利息利息乂稅率=利息稅本金+利息一利息稅=實(shí)得本利和例1.小明把壓歲錢按定期一年存入銀行。當(dāng)時(shí)一年期存款的年利率為1.98%，禾惶稅的稅率為20%.到期支取時(shí)，扣除利息稅后小明實(shí)得本利

13、和為507.92元。問小明存入銀行的壓歲錢有多少元？例2.老王把5000元按一年期的定期儲(chǔ)蓄存入銀行。到期支取時(shí)，扣去利息稅后實(shí)得本利和為知利息稅稅率為20%,問當(dāng)時(shí)一年期定期儲(chǔ)蓄的年利率為多少?題型9行程問題解題技巧：行程問題總公式為：路程=速度X時(shí)間。行程問題可分為3大類，不同類型的問題，在求解速度時(shí)有所不同，具體如下:逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水（風(fēng)）速2小時(shí)相遇，小張和小王的速度分別是多少?例2.一列火車勻速行駛，完全通過一條長300米的隧道需要20秒的時(shí)間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是10秒，求火車的速度。例3?一輛慢車從A地開往300千米的B地，一

14、輛快車同時(shí)從B地開往A地，若慢車速度為40千米每小時(shí)，快車速度是慢車速度的1.5倍，他們出發(fā)多久后相距100千米？題型10工程問題解題技巧：我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題中，常常用“不同的對(duì)象所完成的工作量之和等于總工作量”這個(gè)關(guān)系來列寫等式方程。例1?件工程單獨(dú)甲做20小時(shí)，乙要12小時(shí)，現(xiàn)由甲先單獨(dú)做4小時(shí)，然后乙加入合做，一共需要合做5080元。已（1）相遇問題:總速度=甲的速度+乙的速度（2）追擊問題:總速度=追擊者速度-被追擊者速度（快-慢）（3）航行問題:順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水（風(fēng)）速例1.甲、乙兩地相距100千米，小張與小王分別

15、從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，小張的速度比小王的速度每小時(shí)快10千米，經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)？例2助口工一批零件，由一人做需要100小時(shí)，現(xiàn)在計(jì)劃先由若干人做2小時(shí)，再增加5人做9小時(shí)，恰好完成任務(wù)，先安排多少人做2小時(shí)？題型11等積問題解題技巧：圖形無論如何切割或邊形，其面積或體積始終不變，利用這個(gè)不變的特點(diǎn)，列寫等式方程。例1?某工廠鍛造直徑為60毫米，高20毫米的圓柱形零件毛坯，需要截取直徑40毫米的圓鋼多長？例2?如圖一個(gè)鐵片長30cm,寬20cm,打算從四個(gè)角各截去一個(gè)小正方形,8倍還要大5,求這個(gè)兩位數(shù)。的新數(shù)比原來的數(shù)大63,求原來的兩位數(shù)。然后把四邊折起來做一個(gè)無蓋的鐵盒，鐵盒的底面周

16、長為60cm，問鐵盒的高是多少？20cm30cm題型12數(shù)字問題解題技巧：任何一個(gè)正數(shù)N=C也-都可以表示為心卑5谿+匚黑餐i：卜./-。利用這個(gè)特點(diǎn)和題干中的關(guān)系，尋找等式方程。例1?個(gè)兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,并且這個(gè)兩位數(shù)比它的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和的例2?一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)字之和為11,如果十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，則所得題型13積分問題解題技巧：此類問題，主要是通過積分來列寫等式方程。需要注意，有些比賽結(jié)果只有勝負(fù)；有的比賽結(jié)果又勝負(fù)和平局。比賽總場(chǎng)數(shù)=勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)數(shù)比賽積分=勝場(chǎng)積分+負(fù)場(chǎng)積分+平場(chǎng)積分例1.足球賽8輪，勝一場(chǎng)記3分，平

17、一場(chǎng)記1分，輸一場(chǎng)不得分。在這次足球比賽中，猛虎隊(duì)平的場(chǎng)次是賽共得17分，該隊(duì)共勝多少場(chǎng)?例2.足球比賽，勝一場(chǎng)記3分，平一場(chǎng)記1分，輸一場(chǎng)不得分。一支足球隊(duì)在某個(gè)賽季中共比賽14場(chǎng)，現(xiàn)在已比8場(chǎng)，輸了1場(chǎng),共得17分。問：(1)前8場(chǎng)比賽中，這支球隊(duì)共勝多少場(chǎng)？(2)打滿14場(chǎng)，最高能得多少分？(3)通過比賽分析，到比賽結(jié)束，得分不低于29分，則后面的6場(chǎng)比賽至少要?jiǎng)賻讏?chǎng)才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)？負(fù)的場(chǎng)次的2倍，且8場(chǎng)比三、培優(yōu)題型題型1設(shè)輔助未知數(shù)解題技巧：我們解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，增設(shè)一些輔助未知數(shù)，其目的不是要具體地求出它們的值，而是以此作為橋梁，溝通數(shù)量之間的關(guān)系，架起連接以質(zhì)

18、量和未知量。例1.從下午3點(diǎn)步行到晚上8點(diǎn)，先走平路，然后上山，到達(dá)山頂后就按原路下山，再走平路返回出發(fā)地。若他走平路每小時(shí)4千米，上山每小時(shí)3小時(shí)，下山每小時(shí)6千米，問這個(gè)人一共走了多少千米？例2.一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干粗細(xì)相同的進(jìn)水管，打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)注滿水池。打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池。現(xiàn)在要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？題型2商品銷售問題（復(fù)雜）解題技巧：在解決復(fù)雜商品銷售問題時(shí)，通常會(huì)多設(shè)原價(jià)為a這個(gè)未知數(shù)，雖然在解題過程中，這個(gè)未知數(shù)會(huì)被消掉。但是，若不設(shè)這個(gè)未知數(shù)，許多關(guān)系就不好表達(dá)了。例1.某商品的標(biāo)價(jià)比成本

19、高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)的折扣（即降價(jià)的百分?jǐn)?shù)）不得超過d%，試用p表示do例2.商店一種商品的進(jìn)價(jià)降低了8%,而售價(jià)保持不變，可使得商品的利潤提高10%，問原來的利潤是多少？例3.某商場(chǎng)經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原價(jià)降低了6.4%，使得利潤增加了8%,求經(jīng)銷這種商品原來的利潤率。題型3行程問題（復(fù)雜）解題技巧：行程問題時(shí)基本的數(shù)學(xué)模型，我們需要找到合適的數(shù)學(xué)模型，建立等量關(guān)系。在行程問題中，最常見的方式是通過對(duì)速度的疊加與分解來建立等量關(guān)系。例1.甲、乙分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，若同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過36分鐘相遇；若甲比乙提前15分鐘出發(fā)，乙出發(fā)后30分鐘相遇,求甲由A地到B地、乙由B地到A地所用的時(shí)間。例2.某商場(chǎng)有一部自動(dòng)扶梯勻速由下至上運(yùn)動(dòng)，甲、乙都急于上樓辦事，因此在乘自動(dòng)扶梯的同時(shí)勻速登樓，甲登55級(jí)后達(dá)到樓上，乙登樓速度是甲的2倍，他登了60級(jí)后到達(dá)樓上，那么，由樓下到樓上自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)為多少級(jí)？例3.某人勻速走在馬路上，馬路的前后兩端都有公共汽車站，每間隔相同時(shí)間發(fā)出一輛公共汽車，他發(fā)現(xiàn)每隔15分鐘有一輛汽車追上他；每隔10分鐘有一輛公共汽車迎面駛來。問公共汽車每隔多少分鐘發(fā)車一輛（設(shè)每輛公共汽車速度相同）。題型4工程問題（多個(gè)未知數(shù)）解題技巧：工程問題關(guān)鍵是把“一項(xiàng)工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時(shí)間的倒數(shù)來