MATHEMATICA在高等代數(shù)與微積分中的應(yīng)用

1、MATHEMATICA在高等代數(shù)和微積分中的使用1高等代數(shù)運(yùn)算1.1矩陣的輸入 、表輸入：123例：輸入矩陣A=456J89命令：A=1,2,3,4,5,6,7,8,9A=1,2,3,4,56f7,6,9)Out1=1,2*3,4,5*6,7,8,9不過，我們看到輸出的結(jié)果不是矩陣形式，如果希望得到矩陣形式，可再使用函數(shù)MatrixForm，如:inm=A-1,2f3r4,5,6f8,9/MatrixFormOut2/MatrixForm=i123456門89丿或者:ln8:=A=1,2,3,4,5,6,8,9;MatrixFormAOut9/MatrixForm=147、二階方陣可直接用模板

2、輸入單擊輸入面板上的、二階方陣可直接用模板輸入單擊輸入面板上的輸入矩陣的元素即可，例如，求矩陣的逆:求矩陣逆的函數(shù)是：Inverse,Inverse(:Dot1=Oflflf0或:或:或:101'10-、菜單來輸入.操作：“輸入”宀“創(chuàng)建表單/矩陣/面板T=對話框t選擇“矩陣”宀=對話框t選擇“矩陣”宀輸入行數(shù)和列數(shù)-確定空白矩陣.計(jì)算結(jié)果如下圖示:例:fl0kiin3：=HatrixForminverse0101001JOutp/JTotatrixForm=、增加行和列按Ctrl+Shift+、輸入任意矩陣按Ctrl+Shift+、輸入任意矩陣增加行，Ctrl+“”增加列例：輸入任意

3、矩陣Aa,2，可用命令：Arraya,2,2/MatrixForm芒21、創(chuàng)建一個(gè)n階單位矩陣：IdentityMatrixn、創(chuàng)建一個(gè)對角線上為表list的元素的方陣:DiagonalMatrixlistArraya，m，n創(chuàng)建m行、n列的矩陣，元素為ai，j例:a1二123,4,5DiagonalMatrixa1/MatrixForm1.2MATHEMATICA的矩陣運(yùn)算命令(1)a=a1,a2,an功能：定義一個(gè)一維向量(a1,a2l,an),這里a1,a2l,an是數(shù)或字母.a=Tablefj,j,n例:hi)=TablejA2f厲41(3)a=aOut1)=1,4,9,162n,am

4、1,am2,amnfa11IIIamx1功能:定義一個(gè)mxti矩陣a=I14IV*lam1HIamnJ例：硝-以X/廠，匕叫a=Tablefi,j-:-'_功能：定義一個(gè)分量可以用一-：mli和j的函數(shù)，給出矩陣在第M231例：=一：1十i二訂：二m匚.；(5) MatrixForma功能：把a(bǔ)按通常的矩陣或向量形式輸出，其中a是矩陣或向量.(6) DiagonalMatrixlist功能：使用列表中l(wèi)ist的元素生成一個(gè)對角矩陣?yán)?7) IdentityMatrixnDiagonalliatrixaMatrixForm(8)A+Bfl00|020功能：求A和-B的和,這里A和B都是

5、矩陣或都是向量.(9) A-B功能：求A和B的差.這里A和B都是矩陣或都是向量.(10) k*A功能：求常數(shù)k和A的數(shù)乘，這里A是矩陣或向量.(11) A.B功能：求矩陣A和矩陣B的乘積，注意A和B之間的乘號“.”必須使用數(shù)字鍵盤上的小數(shù)點(diǎn).(12) a.b功能：求向量a和向量b的內(nèi)積，注意a和b之間的乘號“.”必須使用數(shù)字鍵盤上的小數(shù)點(diǎn).(13) A.b或b.A功能：求矩陣A和向量b的乘積，注意A和b之間的乘號“.”必須使用數(shù)字鍵盤上的小數(shù)點(diǎn).(14) .TransposeA功能：求矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣.(15) .InverseA功能：求矩陣A的逆矩陣(16) .MatrixPowerA，n功

6、能：計(jì)算方陣A的n次幕.(17) .DetA功能:求方陣A的行列式(18) ai,j功能：取矩陣a的位于第i行，第j列的元素.(19) .ai功能：取矩陣a的第i行的所有元素或取向量a的第i個(gè)分量.(20) Transposeaj功能：取矩陣a的第j列的所有元素.1.3多項(xiàng)式運(yùn)算命令 PolynomialGCDf,g功能：求多項(xiàng)式f、g的最大公因式。例：f=4xA4-2xA3-16xA2+5x+9;g=2xA3-xA2-5x+4;PolynomialGCDf,g PolynomialQuotientf,g,x功能：求g除f的商，x為變量。 PolynomialRemainderf,g,x功能：

7、求g除f的余式，x為變量。 Lengthq1功能：求表q1中元素的個(gè)數(shù)。 Expandu功能：Expandf把分式u的分子展開，分母不變且被看成單項(xiàng)。例：f=4xA4-2xA3-16xA2+5x+9;g=2xA3-xA2-5x+4;Expandf/gCollectexpr，x，y將expr表示成x的多項(xiàng)式，再把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)系數(shù)表示成y的多項(xiàng)式。PolynomialLCMpi,P2,.求多項(xiàng)式pi,P2，的最小公倍式。PowerExpandexpr將(xy)n分解成xnyn的形式。用mathematica進(jìn)行分式運(yùn)算Denominatorf提取分式f的分母Numeratorf提取分式f的分子E

8、xpandDenominatorf展開分式f的分母ExpandNumeratorf展開分式f的分子Expandf把分式f的分子展開,分母不變且被看成單項(xiàng)ExpandAllf把分式f的分母和分子全部展開ExpandAllf,x只展開分式f中和x匹配的項(xiàng)Togetherf把分式f的各項(xiàng)通分后再合并成一項(xiàng)Apartf把分式f拆分成多個(gè)分式的和的形式Apartf,x對指定的變量x(x以外的變量作為常數(shù)),把分式f拆分成多個(gè)分式的和的形式Cancelf把分式f的分子和分母約分Factorf把f因式分解。1.3使用舉例：例A求多項(xiàng)式的最大公因式及相應(yīng)的u(x)、v(x)。在高等代數(shù)中有以下結(jié)論：最大公因式

9、設(shè)F是一個(gè)數(shù)域，F(xiàn)ix1是F上一元多項(xiàng)式環(huán)。定義1令f(x)和g(x)是Fix啲兩個(gè)多項(xiàng)式若是Fix啲一個(gè)多項(xiàng)式h(x)同時(shí)整除f(x)和g(x),那么h(x)叫做f(x)和g(x)的一個(gè)公因式.定義2設(shè)d(x)是多項(xiàng)式f(x)和g(x)的一個(gè)公因式。若是d(x)能被f(x)和g(x)的每一個(gè)公因式整除，那么d(x)叫做f(x)和g(x)的一個(gè)最大公因式.最大公因式的求法一一輾轉(zhuǎn)相除法設(shè)f(x)和g(x)是FLx1的兩個(gè)多項(xiàng)式且g(x)=o,用g(x)除f(x)，得到商式qi(x)及余式ri(x)，如果ri(x)=0,那么再以ri(x)除g(x),得商式q2(x)及余式r2(x)，如果2(x)

10、-0,再以r2(x)除ri(x)，如此繼續(xù)下去，因?yàn)橛嗍降拇螖?shù)每次降低，所以此過程必在有限次后得到這樣一個(gè)余式rk(x):它整除前一個(gè)余式rk_i(x).這樣我們就得到一串等式：f(x)=g(x)qi(x)+ri(x)g(x)=ri(x)q2(x)+r2(x)ri(x)=r2(x)q3(x)+3(x)rr(x)=rr(x)qk<(x)+rk-i(x)rk/(x)二rk(x)qk(x)+rk(x)rkj(x)=rk(x)qk1(x)則rk(x)就是f(x)和g(x)的一個(gè)最大公因式.由(1)的倒數(shù)第二個(gè)等式得：k/(x)-k(x)qk(x)二k(x)令：Ui(x)二1，Vi(x)二-qk(

11、x)(2)則：k/(x)Ui(x)r2(x)Vi(x)二rk(x)(3)由(1)的倒數(shù)第三個(gè)等式得：rz(x)-rk,(x)qk_i(x)二rk_i(x)(4)把(4)代入(3)，并令U2(x)二Vi(x)，V2(x)=Ui(x)-Vi(x)qk_i(x)(5)即得：r(x)U2(x)-r2(x)V2(x)二g(x)(6)一直下去，最后可得到u(x)和V(x)，使得：f(x)u(x)g(x)V(x)=rk(x)=d(x)(7)算法描述：根據(jù)上述推導(dǎo)及結(jié)論，可以得到以下算法：io輸入f(x)和g(x);2°輾轉(zhuǎn)相除：定義數(shù)組qi:存儲每次帶余除法所得的商式。定義數(shù)組ri:存儲每次帶余除

12、法所得的余式。While(i)f(x)=g(x)q(x)+r(x);if(r(x)=0)Break;添加q(x)到q1,添加r(x)到r1;f(x)=g(x);g(x)=r(x);r1中的最后一個(gè)元素就是所求最大公因式.3°求u(x)和v(x)k=q1中元素的個(gè)數(shù)；u(x)=1;v(x)=-q1k;for(i=1,i<k,i+)w(x)=u(x);u(x)=v(x);v(x)=w(x)-v(x)*q1k-i;4o輸出結(jié)果；mathematic程序f=4xA4-2xA3-16xA2+5x+9;g=2xA3-xA2-5x+4;f1=f;g1=g;d=PolynomialGCDf,g

13、;(*求多項(xiàng)式f,g的最大公因式*)q1=;WhileTrue,q=PolynomialQuotientf,g,x;(*求g除f的商,x為變量*)r=PolynomialRemainderf,g,x;(*求g除f的余式,x為變量*)Ifr=0,Break;AppendToq1,q;f=g;g=r;k=Lengthq1;u=1;v=-q1k;Fori=1,i<k,i+,w=u;u=v;v=w-v*q1k-i;u=Expandu;v=Expandv;Print"當(dāng)："Print"f(x)=",f1;Print"g(x)=",g1;P

14、rint"時(shí)，f(x)和g(x)的最大公因式是：",d;Print"并且可取:"Print"u(x)=",u;Print"v(x)=",v;Print"使得：:"Print"f(x)u(x)計(jì)算結(jié)果Print"f(x)u(x)計(jì)算結(jié)果+g(x)v(x)二",d;當(dāng):例B求極大無關(guān)組問題°+5x-16X2-2X3+4X4(x)=4-5x-x2Mathematica中,沒有提供求向初等變換化簡矩陣的功能?。?2才艮大無關(guān)能，但是提供了用行行簡化矩陣行簡化矩陣X

15、RowReduce.A-33我們可以用我們可以用:大無關(guān)組，因?yàn)槲覀冇薪Y(jié)論：矩陣的行變3換不改變列的線,此功能來生關(guān)系，此結(jié)論書中很少給出證明，下面我們給出具體結(jié)論及證明，供大家參考f(x)u(x)+g(x)v(x)=-1+x定理對矩陣施行行的初等變換不改變其列的線性關(guān)系.即若:A=®,a2川Id)揪行初揪變換井B=(b1,b?,bn)則：3i1,ai2l,air線性相關(guān)？bi!,bi2|,bir線性相關(guān).at能由玄片砂2，|1|科線性表示?bt能由b»,",|l|鳥線性表示.a»砂2,|1|邑是a1,a2l（,an的極大無關(guān)組?,%是川,bn極大無推論

16、:設(shè)A=(a川,am),B=(6,川,bj，且(A,B)=(ai,HLam,bi川Lbt)揪行初等揪換?(ai，l,am,b1川，bt)(A,B)則有:b1I（,bt能（不能）由a1川,am線性表示=b1川，bt能（不能）由a1,|,am線性表示.由上述結(jié)論可知：要判定向量組ajli,an的線性關(guān)系.可令A(yù)=（a1川,an），對A進(jìn)行行變換使之化簡為B=(bi,IH，bn)，則可由bi,|l(,bn的線性關(guān)系來判定之;要判斷bi,|(,bt能(不能)由ajlWm線性表示，可令A(yù)=(aJH,am),B=(b川,bj,對(A,B)進(jìn)行行變換使之化簡為(A,B),則可由6川,bt能(不能)由川,am

17、線性表示來判斷之。例1：設(shè)ai=(1,11)，a2=(0,3,2)，a3=(1,4,3)，判斷a“，a?，83的線性關(guān)系.解法一(人工解)：驏驏01亍13 2032Stow14 303215 2032Stow16 3032以81,82,83為列作矩陣A=|34|對A作行變換，使之變?yōu)樽詈唵涡问剑鸿?3土010a/lA(b1,b2,b3)二B.則有下列結(jié)論:Tb3=b1+b2,a3a1+a2.Tb1,b3線性無關(guān)，a1,a3線性無關(guān).又b1,b2是b1,b2,b3的極大無關(guān)組，a1,a2是a1,a?,a3的極大無關(guān)組.解法二（Mathematica求解）：輸入以下命令：a=Transpose1,

18、1,1,0,3,2,1,4,3a/MatrixFormRowReducea/MatrixForm計(jì)算結(jié)果為：In17:=aTransposelrlf(0,3f2J,1,4,3a/MatrijffomRo誣educes/MatrlifomOut17=lr0*134z(1,23Oijt18/TVfetrixFonTi=r1O1'134d23Out19/4VtatrixForm-101Oilt00,可見，此化簡結(jié)果和解法一相同，故可得相同結(jié)論。例2設(shè)有兩組向量a1=(1,2,3),a2=(1,0,2)和向量組b1=(3,4,8),b2=(2,2,5),b3=(0,2,1)，判定這兩組向量是否

19、等價(jià).解：先以給定的向量為列作矩陣A=(ai,a2646)，對A作行初等變換，使ai,a?盡量化簡，輸入命令:a=Transpose1,2,3,1,0,2,3,4,8,2,2,5,0,2,1a/MatrixFormRowReducea/MatrixForm計(jì)算結(jié)果為：In20：=a=Transpoself231,0；2fJ；4川(2,2；5)；仙2f1)aMatriomRmiteduced/MatriiffomOiiffl112fUr2fOf422<>2,8；5；1)Outpi/WtrixForm=132Oi1 0422J285Outp2/flVfetrij(FonTi=/I021

20、110111-1L00000j于是，設(shè)：a/(一一Aa2S,b2,b3)=102。亠：一.一：一，一，一.r-.0212 253 48010-A11o-1 1o2 10?亠土-r.一.z2aa3b2bbi=2a1+a2b2ai+a2，b3=ai-a2bi=2ai+a2，b2=bi=2ai+a2，b2=ai+a2，b3=ai-a2bi，b2，b3能用abi，b2，b3能用aa2線性表示.再作矩陣B=(bi.b2.b3ai.a2），對B是施行行變換使b3,b2,bi盡量化簡,輸入命令:b=Transpose3,4,8,2,2,5,0,2,1,1,2,3,1,0,2b/MatrixFormRowRe

21、duceb/MatrixForm計(jì)算結(jié)果為:hp3:=>=Transpose(3s«8,2,2,5s0,2,1,(1,2,3s1,2b/MatrixFormR0vRedurel)/khtrixFoimOut畸3*S0,1,1,(4,2r2t2t0打他5flf3t2Outp4/AtatrixForm-/3201142220(85132)OLit25/MstrixForm=rl021-101-3-12L00000a/(-B<?琪一一21a3b2b?b._.-:_.z102123琪02i-i?ii-3-i2豐Io0000歹B=(b3,b2,b1,a1,a2)ai=b1-b2,a

22、2=2b?-bi,ai=b1-b2,a2=2b?-bi,二ai,a2能由bi,b2,線性表示.綜上即知這兩個(gè)向量組等價(jià).2微積分運(yùn)算2.1基本命令求極限命令有： 求極限的命令：Limitf,xx0其中f:函數(shù)表達(dá)式，x:自變量，x0:自變量的趨向值. 求左極限的命令：Limitf,x；xO,Direction-；+1其中f:函數(shù)表達(dá)式，x:自變量，xO：自變量的趨向值，+1:左極限. 求右極限的命令：Limitf,x；xO,Direction；1其中f:函數(shù)表達(dá)式，x:自變量，xO：自變量的趨向值，-1:左極限.求極值命令FindMinimumfx,x,xO找出fx在xO附近的極小值及極小值點(diǎn)

23、.解方程命令 求方程f（x）二g（x）的解：Solvefx=gx,x其中：fx=gx是方程，x:是未知數(shù). 求方程的數(shù)值解NSolve方程或方程組，變量或變量組（用法和Solve相同）求導(dǎo)數(shù)命令：求導(dǎo)數(shù)的命令“D”和求微分的命令“Dt”Df,x給出f關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)，而將表達(dá)式f中的其它變量看作常量.因此，如果f是多元函數(shù)，則給出f關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù).Df,x,n給出f關(guān)于x的n階導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù).Df,x,y,z,給出f關(guān)于x,y,z,的混合偏導(dǎo)數(shù).Dtf,x給出f關(guān)于x的全導(dǎo)數(shù)，將表達(dá)式f中的其它變量都看作x的函數(shù).Dtf給出f的微分.如果f是多元函數(shù)，則給出f的全微分.上述命令對表達(dá)式為抽象函數(shù)的

24、情形也適用，其結(jié)果也是一些抽象符命令D的選項(xiàng)NonConstants->指出內(nèi)的字母是x的函數(shù).命令Dt的選項(xiàng)Constants->指出內(nèi)的字母是常數(shù).求積分命令： 求不定積分的命令：Integratef,x其中f:被積函數(shù)表達(dá)式，x:積分變量，Mathematica對不定積分的計(jì)算完成后輸出的只是一個(gè)結(jié)果，而不定積分的結(jié)果應(yīng)是原函數(shù)族，因此需要自己加上積分常數(shù)C. 求定積分的命令：Intergratef,x,a,b其中f：被積函數(shù)表達(dá)式，x:積分變量，a：積分下限，b：積分上限. 數(shù)值積分：Nintegratef,x,a,b在a,b上求f數(shù)值積分Nintegratef,x,a,x

25、1,x2,b以x1,x2.為分割求a,b上的數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分是解決求定積分的另一種有效的方法，它可以給出一個(gè)近似解.特別是對于用Integrate命令無法求出的定積分，數(shù)值積分更是可以發(fā)揮巨大作用.2.2導(dǎo)數(shù)的求法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分例1求函數(shù)f(x)=sinaxcosbx的一階導(dǎo)數(shù).并求f說輸入:DSina*x*Cosb*x,x/.x->1/(a+b)計(jì)算結(jié)果：ini：=DSina*x«Cos|bx/.x->l/(a+b)Out1rarbrlQrbi&CosbSinSin1a+b1a+bJIa+b1a+bJ例2求函數(shù)y=x102(x10)9的1階到11階導(dǎo)數(shù).輸入

26、:fx_:=xA10+2(x-10)A9DoPrintDfx,x,n,n,1,11計(jì)算結(jié)果：In(21：-fx:=XA10+2(x-10)9DoPrintDfxhn,(n#1,1118(-10+x)S+lOx'144(-10+x)；+9OX51008(-10+x)&+720xT6048(-10+x)5+5040xe30240(-10+x)4+30240x5120960(-10+x)3+151200x4362880(-10+x)£+604800725760(-10+x)+1814400x1725760+3628800x36288000或輸入：TableDfx,x,n,n

27、,11則輸出集：in4：=TableDfx,k,n,仙11Out4=(18(-10+x)s+10x144(*10+x)7+90x1008(-10+xb+720x6048(-10+x)5+5040xbx30240(-10+x)ft+30240120960(-10+x)3+151200x4,362880(-10+x)£+604800X3,725760(-10+x)+1814400X2x725760+3628800xf3628800,0或輸入:fx:=x"0+2（x-10F9TableDfx,x,n,n,11/.x->1則輸出集：774840988,-688747446,5

28、35693248,-357123312,198434880,-88028640,29998080,-4717440,4354560,3628800,0注：此處用到“循環(huán)語句Do”Do表達(dá)式，循環(huán)變量的范圍其中，表達(dá)式中一般有循環(huán)變量，有多種方法說明循環(huán)變量的取值范圍.最完整的格式是：Do表達(dá)式,循環(huán)變量名，最小值，最大值，增量其中，當(dāng)省略增量時(shí)，默認(rèn)增量為1.省略最小值時(shí)，默認(rèn)最小值為1.例3求由方程2x2-2xyy2x2yT=0確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).方法1使用導(dǎo)數(shù)命令，輸入：d1=D2xA2-2x*yx+yxA2+x+2yx+1=0,x其中，輸入yx以表示y是x的函數(shù).輸出為對原方程兩邊求導(dǎo)數(shù)

29、后的方程：ini：=dl=D2xA2-2x*yx+yxA2+x+2yx|+1-0,xOutl=1+4x-2yx+2y'x-2xy'x+2y(x)y'lx=：0再解關(guān)于yx的方程，輸入:（此處的是單引號）Solved1,y'x則輸出所求結(jié)果：in(3j：=Solveldl,y*xl0irt(3)=0irt(3)=礦【幻t1+4x-2yx2(-1+x-yxl)方法2使用微分命令.輸入:Dt2xA2-2x*y+yA2+x+2y+1=0,xSolve%,Dty,x則輸出:Out(4=1+4x-2y+2Dty,x-2xDt(yfx)+2yDty,x«01+4x-

30、2y2+x-y)"注意：方法1是用y'x表示導(dǎo)數(shù)，而方法2是用Dty,x表示導(dǎo)數(shù).例4求由方程2x2-2xyy2x2yT=0確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)輸入：d1=D2xA2-2x*yx+yxF2+x+2yx+仁=0,xd2=Dd1,xSolved1,d2,y'x,y''x則輸出結(jié)果h階dl二D卩沁-加擱+yx|A2+x+2yx+1=0,期d2=DdUs(Mdi,叫們乩口繃Out0=l+4x-2yx+2yfx-2x/x+2yx|/x=0Out(lO=+-2xyfXjyfxly'jx:0&+3呼沖滬_仲山訕*卑坤巴j伺)肘呦小廠沖呦亦如閔lUx

31、-2yxnU5+2y|x2(-bx-yx)但結(jié)果是繁分式，對此，可用函數(shù)“Simplify”使其化簡，如下所示，輸入：d1=D2xA2-2x*yx+yxA2+x+2yx+1=0,xd2=Dd1,xSolved1,d2,y'x,y''x/Simplify則輸出結(jié)果ini2：=dl=D2iA2-2x*yx|+yxA2+x+2yx|+l=O,x芒二DdUSokeHdlMy-lxljx/SimplifyOut!2=1+4x-2yx+2y'x)-2xy'x+2yx)y'xn0Out13=4-4/x+2/x£+2/rx-2xywx+2yxy&quo

32、t;xt=00utl4=yJ,x13+4x+9xe-8(-Ux)TxUYxT4(-l+x-yx)5-2+Zx-2yxld2ydx2ddv'(t)'(t)-1'(t)”(t)()=dxdx例5求由參數(shù)方程x=gcost,y=£sint確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在數(shù)學(xué)分析中已有結(jié)果:若:.yr)于是求一階導(dǎo)數(shù)凹可輸入命令:dxdt/dtDEAt*Sint,t/DEAt*Cost,t則:'(t)3則得到:inH：=D|EAt*Sin(tt|/DEAt*Costt|代Co3t+(Et5intOut15=e*Cost-e*5int求二階導(dǎo)數(shù)，則再輸入：D%,t/DEAt

33、*Cost,t/Simplify則得到：inie：=D%,t|/DEAt*Cost|,t|/Sim)lify2護(hù)0ut16=(Cosft-Sinft)32.3求二元多項(xiàng)式函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)：在數(shù)學(xué)分析中有以下結(jié)論：極值和駐點(diǎn)極值：設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x°,y。)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對在此鄰域內(nèi)除點(diǎn)(xo,yo)外的任意點(diǎn)(x,y)，均有f(x,y)vf(xo,yo)(或者f(x,f(xo,yo)，則稱點(diǎn)(xo,yo)為函數(shù)z=f(xy)的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn))f(xo,yo)稱為極大值(或極小值)，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。駐點(diǎn)：使fx(x,y

34、)=0,fy(x,y)=0同時(shí)成立的實(shí)數(shù)點(diǎn)(x,y)稱為函數(shù)z=f(x,y)的駐點(diǎn).極值存在的必要條件設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且存在一階偏導(dǎo)數(shù)，如果(xo,yo)是極值點(diǎn)，則必有fx(xo,yo)7fy(xo,yo)=o.極值存在的充分條件設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xo,yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且(xo,yo)是駐點(diǎn)設(shè)A=fxx(xo,yo)，B=fxy(心yo),c=fyy(xo,yo)，貝S 當(dāng)B2-AC：o時(shí)，點(diǎn)(xo,yo)是極值點(diǎn)，且當(dāng)A：o時(shí)，點(diǎn)(xo,yo)是極大值點(diǎn)；當(dāng)Ao時(shí)，點(diǎn)(xo,yo)是極小值點(diǎn)； 當(dāng)B2-ACo時(shí)，點(diǎn)

35、(xo,yo)不是極值點(diǎn)； 當(dāng)B2-AC=o時(shí)，點(diǎn)(xo,yo)有可能是極值點(diǎn)也可能不是極值點(diǎn).算法描述：根據(jù)上述結(jié)論，可以得到以下算法：1o輸入z=f(x,y);2°求a(x,y)=fx(x,y)、b(x,y)=fy(x,y)和A(x,y)二fxx(x,y)、B(x,y)=fxy(x,y)、C(x,y)二fyy(x,y)；3°求P(x,y)二B(x,y)2-A(x,y)C(x,y);4°解方程組：fx(x,y)-0，取其實(shí)數(shù)解得到z=f(x,y)的駐點(diǎn)集S;fy(x,y)=05°依次取每個(gè)(xo,yo)S，計(jì)算P(xo,yo)，依照極值存在的充分條來判斷(xo,yo)是否為極值點(diǎn)：若P(xo,yo)0，則(xo,