量子物理基礎

1、第九章波動光學第九章波動光學本章提要1. 幾個基本概念 相干條件：參與疊加的兩束光滿足振動方向相同、頻率相同、相位差恒定的條件稱相干條件。只有滿足相干條件的光疊加時才能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象。 分波前法和分振幅法：利用普通光源獲得相干光的方法有分波前法和分振幅法。分波前法是在同一波前上通過波前的分割獲得相干光， 分振幅法是通過對同一束光進行振幅（光強）的分割獲得相干光的。 光程：光走過的幾何路程與路程上的介質(zhì)折射率的乘積稱為光程。2. 分波前法干涉 楊氏雙縫干涉是利用分波前法產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的，它是光具有波動性的經(jīng)典實驗，具有十分重要的意義。 楊氏雙縫干涉實驗的基本原理是：波長為 的自然光源通過一個狹縫后形

2、成狹縫光源，由狹縫光源發(fā)出的光通過間距為 d 的雙縫后形成兩束相干光， 這兩束相干光在屏上相遇就會形成等間距的干涉條紋。條紋間距為xDd其中， D 為雙縫與光屏的距離。 洛埃鏡實驗也是分波前法干涉實驗，其重要意義在于顯示了光的半波損失現(xiàn)象。即光在光疏媒質(zhì)和光密媒質(zhì)截面反射時，光要多走或少走2 的光程。3. 分振幅法干涉分振幅法干涉的典型例子是薄膜干涉，其又可分等厚干涉和等傾干涉兩種。（ 1）等厚條紋當光線垂直入射在膜表面時， 在薄膜表面等厚處形成相同的干涉條紋的現(xiàn)象稱等厚干涉。當膜兩側(cè)都是空氣時，定位于膜上表面的明紋滿足02nek 0k1,2,3,2對暗紋滿足2ne0(2k 1) 0k 0 ,

3、 1 , 2 , 3 ,22其中， n 為膜的折射率， e 為膜的厚度。等厚干涉的應用有：118第九章波動光學利用劈尖干涉測量微小角度、微小長度、檢驗工件的平整度等。制備增加透射或反射的增透膜或增反膜。利用牛頓環(huán)測量透鏡曲率半徑或光的波長。（2） 等傾條紋以相同傾角 i 入射到厚度均勻的平面膜上的光線，經(jīng)膜上、下表面反射后產(chǎn)生的相干光束有相等的光程差， 這樣形成的干涉條紋稱為等傾干涉。 等傾干涉條紋是同心圓形條紋。等傾干涉的一個重要的應用是邁克耳孫干涉儀。4. 光的衍射現(xiàn)象及其分類 光偏離直線傳播， 并且在光屏上形成光強度不均勻分布的現(xiàn)象稱光的衍射。 光的衍射現(xiàn)象可分為菲涅耳衍射（或近場衍射）

4、和夫瑯禾費衍射（或遠場衍射。 衍射現(xiàn)象可以通過惠更斯菲涅耳原理來定性解釋，其表述為：波前上的各點可以看成是相干的子波波源， 其后波場中的某點波的強度由各子波波源發(fā)出的子波在該點的相干疊加來決定。5. 夫瑯禾費衍射 夫瑯禾費單縫衍射。應用半波帶法可知，當單色光垂直入射時，衍射暗條紋中心位置滿足：a sinkk1,2,3明條紋中心滿足：a sin(2k 1)k 1,2,32其中， a 為縫寬， 為衍射角。a 的圓孔時， 夫瑯禾費圓孔衍射。當單色光垂直入射到通光孔半徑為設在光屏上所形成的中央亮斑（稱艾里斑）的角半徑為，其滿足sin0.61a中央亮斑（艾里斑）的半徑為R0.61 fa其中， f 為透鏡

5、的焦距。6. 光學儀器的分辨本領 根據(jù)圓孔衍射規(guī)律和瑞利判據(jù)得最小分辨角為min0.61 最小分辨角的倒數(shù)為分辨率。a生物顯微鏡的分辨本領由通過物鏡所能分辨的兩個物點的最小距離（稱最119第九章波動光學小分辨距離）來表示。理論計算得到的最小分辨距離為0.61yn sin u其中， n為物方的折射率， u 為孔徑對物點的半張角， n sin u 稱物徑的數(shù)值孔徑（縮寫 N.A.)。7. 光柵衍射 由許多等寬的狹縫等距離地排列起來形成的光學元件叫光柵。光柵每一條透光部分的寬度為 a，不透光部分的寬度為 b，(a+b)=d 稱為光柵常數(shù)。 光柵常數(shù)是光柵的特征量。 當用單色光入射到光柵上時，在黑暗的

6、背景上會出現(xiàn)窄細明亮的譜線?？p數(shù)越多，譜線越細越亮。譜線（主極大）的位置滿足d s i n kk 0,1,2,該式稱為光柵方程。 譜線強度要受單縫衍射調(diào)制，因而會出現(xiàn)缺級現(xiàn)象。 X 射線通過晶體時會產(chǎn)生衍射。若各原子層 (或晶面 )之間的距離為 d，當單色的平行 X 射線以掠射角 入射到晶面上時，表面層原子散射的反射光和內(nèi)部原子散射的反射光滿足下式時2d s i n kk 1,2,3在 方向上就會因各反射光相互干涉增強而出現(xiàn)亮點。 該式稱為晶體衍射的布喇格公式。8. 光的偏振 根據(jù)光矢量的振動情況，光可以分為非偏振光（無偏振）、偏振光（線偏振、橢圓偏振、圓偏振）和部分偏振光。自然光是非偏振光。

7、 可以通過具有二向色性的偏振片產(chǎn)生和檢驗偏振光。 偏振光通過檢偏器后，其光強服從如下的馬呂斯定律：II 0 cos2其中， I 為通過檢偏器后的光強，I 0 是通過檢偏器前的光強，是偏振光與檢偏器偏振化方向的夾角。 自然光通過雙折射晶體后會產(chǎn)生偏振的 o 光和 e 光，利用雙折射晶體制成的尼科耳棱鏡也可以產(chǎn)生偏振光。 當自然光在任意兩種各向同性的介質(zhì)分界面上反射和折射時，反射光和折射光都是部分偏振光，特別是，當光從折射率 n1 的介質(zhì)射向折射率為 n2 的介質(zhì)時，若入射角 i B 滿足下述關系taniBn2n1時，反射光成為振動方向垂直于入射面的完全偏振光。該關系式稱為布儒斯特定120第九章波

8、動光學律，式中的角 i B 稱布儒斯特角或起偏角。思考題9-1 在雙縫干涉實驗中 (1) 當縫間距不斷增大時，干涉條紋如何變化?為什么 ?(2) 當狹縫光源在垂直于軸線方向上向下或向上移動時，干涉條紋將如何變化 ?答：（1）根據(jù)雙縫干涉中相鄰條紋的間距公式可知，隨著縫間距的增大，干涉條紋的間距會變窄。（2）當狹縫光源在垂直于軸線方向上移動時，干涉條紋也會隨著在垂直軸線方向移動，方向與光源移動方向相反。9-2 將雙縫實驗裝置放進水中，條紋間距將發(fā)生什么變化?答：由于水的折射率大于空氣的折射率，所以，光在水中的波長變短。根據(jù)雙縫干涉中相鄰條紋的間距公式可知將雙縫實驗裝置放進水中，條紋間距會變小。9

9、-3 在雙縫干涉實驗中， 如果在上方的縫后面貼一片薄的透明云母片， 干涉條紋的間距有沒有變化 ?中央條紋的位置有沒有變化 ?答：如果在上方的縫后面貼一個云母片， 則從上方縫中出射的光線的光程會發(fā)生變化。設云母片的折射率為 n ，厚度為 h ，則兩束光的光程差為h(n1)d xD其中， d 為兩縫的距離，D 為縫與屏的距離，x 為屏上相鄰兩點的距離。當在屏上出現(xiàn)亮條紋時，滿足h( n1 ) dxk( k0,1,2,. )D從中可以看出，相鄰兩條紋的距離為Dxd即條紋間距沒有發(fā)生變化。令 k 等于零，由上式可知 x > 0，即中央亮條紋向上方移動。9-4 用兩塊玻璃片疊在一起形成空氣劈尖觀察

10、干涉條紋時， 如果發(fā)現(xiàn)條紋不是平行的直線，而是彎曲的線條，試說明兩個玻璃片相對的兩面有什么特殊之處 ?答：說明兩個玻璃片相對的兩面至少有一面不平整。9-5 在日常經(jīng)驗中，為什么容易發(fā)現(xiàn)聲波的衍射而難以發(fā)現(xiàn)光波的衍射 ? 答：根據(jù)衍射原理， 只有當狹縫或者障礙物的大小與波長可比時， 才會形成衍射現(xiàn)象。光波波長短， 日常的狹縫或障礙物的尺寸遠遠大于光波波長， 因而難以發(fā)現(xiàn)光波的衍射； 而聲波波長可與日常狹縫或障礙物的尺寸相比， 所以更容易發(fā)生衍射。121第九章波動光學9-6 在觀察夫瑯禾費衍射的實驗裝置中，透鏡的作用是什么?答：在實驗中使用了兩個透鏡， 一個用來將線光源擴束成平行光束， 另一個用來

11、將衍射后的光束會聚到觀察屏。9-7 在單縫夫瑯禾費衍射中， 如果將單縫逐漸加寬， 衍射圖樣會發(fā)生什么變化 ?答：隨著單縫的加寬，衍射條紋間距變小，衍射現(xiàn)象變得不明顯。當縫寬遠大于波長時，衍射條紋密集到無法分辨，只顯示出單一的明條紋。9-8 如何用實驗判斷光束是 (1) 線偏振光； (2) 部分偏振光； (3) 自然光 ?答：用一個偏振片（檢偏器）以光的傳播方向為軸轉(zhuǎn)動，若出射光強不發(fā)生任何變化，則該光束是自然光； 當將偏振片旋轉(zhuǎn)一周后， 若出射光強有兩次達到最大，有兩次完全消光， 則該光束是線偏振光； 若偏振片旋轉(zhuǎn)一周時出射光強發(fā)生了改變，但沒有出現(xiàn)消光現(xiàn)象，則該光束是部分偏振光。9-9 當一

12、束光入射到兩種透明介質(zhì)的分界面上時， 發(fā)現(xiàn)只有透射光而無反射光，試說明這束光是怎樣入射的 ?其偏振狀態(tài)如何 ?答：這束光是以布儒斯特角入射的，其偏振方向與入射面平行。練習題9-1 在楊氏實驗中，用波長為632.8nm 的氦氖激光束垂直照射到間距為1.14mm 的兩個小孔上，小孔至屏幕的垂直距離為 1.50m。試求在下列兩種情況下屏幕上干涉條紋的間距： (1)整個裝置放在空氣中； (2)整個裝置放在 n=1.33 的水中。解： 設兩孔間距為 d ，小孔至屏幕的距離為 D ，裝置所處介質(zhì)的折射率為 n ，則兩小孔出射的光到屏幕的光程差為n(r2r1 )nd xD所以相鄰干涉條紋的間距為xDdn（1

13、） 在空氣中時， n 1。于是條紋間距為xD1.5632.8 10 98.32 10 4 (m)d1.14 10 3（2） 在水中時， n 1.33。條紋間距為xD1.5632.810 96.26 10 4 (m)d n1.1410 31.339-2 在楊氏干涉裝置中，已知雙縫的間距為 0.342mm，雙縫至屏幕的垂直距離為 2.00m。測得第 10 級干涉亮紋至中央亮紋之間的距離為 3.44cm， 試求光源122第九章波動光學的單色光波長。解：在楊氏干涉裝置中，兩束相干光的光程差為d xD根據(jù)出現(xiàn)亮條紋的條件k0 ，對第 10 級亮條紋， k 取 10，于是有d x100D帶入數(shù)據(jù)得0.34

14、210 33.4410 21002由此解出0 588.24nm9-3 將很薄的云母片 (n=1.58)覆蓋在雙縫干涉實驗裝置的一條縫上，利用波長為 550.0 nm 的光源，觀察到干涉條紋移動了9 個條紋的距離，試求該云母片的厚度。解：設云母片厚度為 h ，覆蓋在雙縫中的 r1 光路上，此時兩束相干光的光程差為r2 (nh r1 h)h(n 1)d x kD當沒有覆蓋云母片，兩束相干光的光程差為r2r1dkx9 個，則D因為條紋移動了kk9由、兩式得h(n1)9由此可得云母片的厚度為h99550.010 98.5310 6 (m)n 11.5819-4 將兩塊平板玻璃疊合在一起，一端互相接觸。

15、在距離接觸線為 L=12.40cm 處將一金屬絲墊在兩板之間。 用波長為 546.0nm 的單色光垂直入射到玻璃板上， 測得條紋間距為 l=1.50mm， 試求該金屬細絲的直徑 D。解：如圖 9-1 所示，設相鄰兩條紋對應高度差為e ，則e546 10 92.73 10 7 (m)2n2123第九章波動光學根據(jù)由幾何關系易得eDDlLe于是DLe0.1242.73 107l1.5 10 3l2.2610 5 (m)9-5 （1）將一個平凸透鏡與一個平板玻璃完全接觸，兩者之間充滿空氣，構(gòu)成一個觀察牛頓環(huán)的裝L置。利用波長為 589nm 的單色光源，測得第 k 個暗環(huán)的直徑為 0.70圖 9-1m

16、m，第 k+15 個暗環(huán)的直徑為 2.20mm，試求透鏡凸面的曲率半徑； （2）如果間隙間充滿折射率為1.33 的水，則上述兩個暗環(huán)的直徑變?yōu)槎啻??解：（1）在牛頓環(huán)裝置中，暗環(huán)的半徑表示公式為rkR其中， 為真空波長。根據(jù)已知條件可得kRr12(k15)Rr2 2聯(lián)立上兩式可得r22r12(1.1 10 3 )2(0.35 10 3 )20.123(m)R1558910 915（2） 若間隙充滿折射率為1.33 的水，暗環(huán)的半徑為rkRn所以，第 k 和第 k15 級暗環(huán)的直徑分別為0.7Dk0.607(mm)1.33Dk 152.21.908(mm)1.339-6 波長范圍為 40070

17、0nm 的白光垂直入射到肥皂膜上， 已知肥皂膜的厚度為 0.55 m，折射率為 1.35，試問在反射光中哪些波長的光得到增強 ? 哪些波長124第九章波動光學的光干涉相消 ?解：設膜的厚度為 d ，折射率為 n。在肥皂膜第一個面和第二個面上的反射光的光程差為02nd2當反射光干涉增強時，滿足2nd0k 0k 1,2,3,2當干涉相消時，滿足2ne0(2k 1) 0k 0 , 1 , 2 , 3 ,22利用上述關系，分別取將 k=1、3、4，可以算出在 400 700nm 范圍內(nèi)，干涉增強的光為k 305 9 4 ( n m )k 404 2 4. 3 ( n m )干涉相消的光為k304 9

18、5 ( n m )9-7 在夫瑯禾費單縫衍射實驗中， 以波長為 589nm 的平行光垂直照射到單縫上。若縫寬為0.10m，試問第一級極小出現(xiàn)在多大的角度上?若要使第一級極小在 0.50o的方向上，則縫寬應多大 ?解：根據(jù)夫瑯禾費單縫衍射出現(xiàn)暗紋的條件a sinkk1,2,3令 k1 可得第一級暗紋的角位置。再考慮到小角度時sin，可得第一級極小的衍射角為58910 95.8910 6 (rad)a0.10若0.58.72 10 3(rad) ，則縫寬為180a58910936.7510 5 (m)8.72109-8 用水銀燈發(fā)出的波長為 546nm 的綠色平行光垂直入射到一個單縫上， 置于縫后

19、的透鏡的焦距為 40cm，測得第二極小至衍射圖樣中心的線距離為 0.30cm。當用未知波長的光作實驗時，測得第三極小至衍射圖樣中心的線距離為 0.42cm，試求該光的波長。解：根據(jù)夫瑯禾費單縫衍射出現(xiàn)暗紋的條件125第九章波動光學a sinkk1,2,3令 k2 得第二級暗條紋的衍射角滿足的條件為a sin2由此可知第二級暗紋與中心明紋的距離為2xf tanf sinfa其中， f 為透鏡的焦距。由上述關系可得單縫的寬度為a1.456 10 4 (m)同理，對第三級暗紋， k=3，第三級暗紋與中心明紋的距離為xf tanf sinf3a將 x=0.42cm 和 a1.456 10 4 m 等參

20、數(shù)帶入可得入射光的波長為xa0.4210 21.45610 43 f3 4010 2509.6(nm)9-9 氦氖激光器發(fā)出波長為 632.8 nm 的紅光，使其垂直入射到一個平面透射光柵上。今測得第一級極大出現(xiàn)在 38 角的方向上，試求這一平面透射光柵的光柵常量 d 為多少？該光柵在 1cm 內(nèi)有多少條狹縫？解：根據(jù)光柵方程d s i nk（ k0,1,2,. ）取 k=1 得光柵常量 d 為k632.89d1 06( m )s i n1. 0281 0s i n 3 8在 1cm 內(nèi)的狹縫數(shù)為N19.73103 (cm -1 )d9-10 用波長為 589.3 nm 的鈉黃光垂直入射到一個

21、平面透射光柵上，測得第三級譜線的衍射角為 10 11 。而用未知波長的單色光垂直入射時，測得第二級譜線的衍射角為 6 12 ，試求此光的波長。解：根據(jù)光柵方程d s i nk（ k 0,1,2,. ）當 k 3時，可得光柵常量為dk3 5 8 9. 3 91 01. 0 1 50 ( ，m )s i ns i n 1 0 1 1 '對于未知光源，已知第二級譜線衍射角為6 12 ，則入射光的波長126第九章波動光學d sin1.0 105 sin 6 12'k2540(nm)9-11 在迎面駛來的汽車上，兩盞前燈相距 1.2m。問汽車距離人多遠時，人的眼睛恰好能夠分辨這兩盞前燈 ?設夜間人眼瞳孔的直徑為 5.0mm，入射光波長為 550nm，而且僅考慮人眼瞳孔的衍射效應。解：由于人眼的最小分辨角為min1.22帶入數(shù)據(jù)可解得Dmin1.221.2255010 91.34210 4 (rad)D510 3設兩個車燈對人眼的張角為，兩盞前燈的間距為 l ，車燈到人的距離為 L ，llL按題意當min 時人眼恰好能分辨這兩盞燈，據(jù)此可解得LLl1.28.94 103(m)min1.342 10 49-12 一臺生物顯微鏡物鏡的數(shù)值孔徑為0.25。若光波的波長為 550nm，試問該生物顯微鏡可分辨的最小距離是多