2018版高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.2.1平面的基本性質(zhì)與推論學案新人教B版必修2

1、11. 2.1平面的基本性質(zhì)與推論【學習目標】1.1.理解平面的基本性質(zhì)與推論， 能運用平面的基本性質(zhì)及推論去解決有關(guān)問題.2.2.會用集合語言來描述點、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì)3 3 理解異面直線的概念.ET問題導(dǎo)學-知識點一平面的基本性質(zhì)與推論思考 1 1 直線l與平面a有且僅有一個公共點P直線I是否在平面a內(nèi)？有兩個公共點呢？思考 2 2 觀察圖中的三腳架，你能得出什么結(jié)論?思考 3 3 觀察正方體ABCABCD（如圖所示），平面ABCDf平面BCC有且只有兩個公共點B、C嗎？梳理（1 1）平面的基本性質(zhì)平面內(nèi)容作用圖形基本性質(zhì) 1 1如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線

2、上的所有點判斷直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)/2都在這個平面內(nèi)（即直線在或經(jīng)過直線）基本性質(zhì) 2 2經(jīng)過不在同一條直線上的，有且只有一個 平面（即 確定一 個平面）確定平面及兩個平面重合的依據(jù)/rl基本性質(zhì) 3 3如果不重合的兩個平面有公共點，那么它們有且只有一條過這個點的公共直線判斷兩平面相 交，線共點，點 共線的依據(jù)（2 2）平面基本性質(zhì)的推論推論 1 1 經(jīng)過一條直線和直線外的一點， _平面.推論 2 2:經(jīng)過兩條 _ 直線，有且只有一個平面.推論 3 3:經(jīng)過兩條 _ 直線，有且只有一個平面.知識點二 點、直線、平面之間的關(guān)系及表示思考 直線和平面都是由點組成的，聯(lián)系集合的觀點，點和直線、平面

3、的位置關(guān)系，如何用 符號來表示？直線和平面呢？梳理 點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及表示文字語言付號語言圖形語言A在1上AlA在1夕卜A? ?l AIA在a內(nèi)A a/ .沖/A在a外A? ?a/7l在a內(nèi)1? ?al在a外l? ?ai、/載人3I,m相交于AInm= AI-前I,a相交于AIn a =A1A*八乂a,3相交于1a n 3 =I5*知識點三共面與異面直線反思與感悟 (1)(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示.(2)(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的

4、區(qū)別.跟蹤訓練 1 1 根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖思考如圖，直線AB與平面a相交于點B,點A在a外，那么直線I與直線AB能不能在同一個平面內(nèi)？為什么？直線I與直線AB的位置關(guān)系是怎樣的?梳理共面與異面直線(1)(1) 共面1概念：空間中的幾個點或幾條直線，都在 _ 內(nèi).2特征：共面的直線 _或者_ .(2)(2) 異面直線1概念：既不_又不_ 的直線.2判斷方法：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi) _題型探究-的 直 線 是 異 面 直類型一 點、直線、平面之間的位置關(guān)系的符號表示例 i i 如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.(

5、1)4形：AC a ,B? ?a；(2)(2)l? ?a,mA a=A,A? ?l; (3)(3)平面ABDT平面BDC= BD,平面AB平面AD&AC類型二平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用 命題角度 1 1 點、線共面問題 例 2 2 如圖，已知：a? ?a，b? ?a，aAb=A, PCb,PQ/ a,求證：PC? ?a. .引申探究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi).反思與感悟證明多線共面的兩種方法(1)(1) 納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi).(2)(2) 重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線也在另一個

6、平面內(nèi)，再證明兩個平面重合.跟蹤訓練2已知：如圖所示，l1AI2=A, l2Al3=B, l1Al3=C.求證：直線l1，l2，l3在同 一平面內(nèi).命題角度 2 2 點共線與線共點問題 例 3 3 如圖所示，在正方體ABCBABGD中，E為AB的中點，F(xiàn)為AA的中點.求證：CE5DF,DA三線交于一點.反思與感悟(1)(1)點共線：證明多點共線通常利用基本性質(zhì)3 3,即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直 線，然后證明其他點也在其上.(2)(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線， 然

7、后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線， 證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點.跟蹤訓練 3 3 已知ABC在平面a夕卜，其三邊所在的直線滿足ABAa=P,BCTla=Q, ACTla=R,如圖所示求證：P, Q R三點共線.類型三異面直線的判定例 4 4 如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么段所在的直線是異面直線的有多少對？試以其中一對為例進行證明.DC M/2 A8X?反思與感悟判定兩條直線是異面直線的方法NC DE AF BM這四條線6（1 1）證明兩條直線既不平行又不相交.（2 2）重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點

8、與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為A? ?a,Ba,l? ?a,B? ?l? ?AB與I是異面直線（如圖）.跟蹤訓練 4 4 分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是A A.異面D.D.以上都有可能甌當堂訓練A A.ABD. B1C1B.B.平行C.C.相交1 1 .若A平面a,B平面a,C直線AB則（）A A.C aB.B.C? ?aC. AB? ?aD. ABAa =C2 2 .平行六面體ABCA1B1C1D中，既與AB共面也與CC共面的棱的條數(shù)為（）A A. 3 3B.B. 4 4C.C. 5 5D.D. 6 63 3.如圖所示，在長方體A

9、BCD- ABCD中，與AA異面的是（刁./ 1C. DD4 4 .線段AB在平面內(nèi)，則直線AB與平面a的位置關(guān)系是5 5.如圖，已E分別是ABC的邊AC BC上的點，平面a經(jīng)過D, E兩點，若直線AB與平面a的交點是P,則點P與直線DE的位置關(guān)系是B. BB7規(guī)律與方法81 1解決立體幾何問題首先應(yīng)過好三大語言關(guān)， 即實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)換， 正確理解集合 符號所表示的幾何圖形的實際意義，恰當?shù)赜梅栒Z言描述圖形語言，將圖形語言用文字語 言描述出來，再轉(zhuǎn)換為符號語言文字語言和符號語言在轉(zhuǎn)換的時候，要注意符號語言所代 表的含義，作直觀圖時，要注意線的實虛2 2在處理點線共面、 三點共線及三線

10、共點問題時初步體會三個公理的作用， 突出先部分再整 體的思想3 3異面直線是既不平行也不相交的直線9合案精析問題導(dǎo)學知識點一思考 1 1 前者不在，后者在.思考 2 2 不共線的三點可以確定一個平面.思考 3 3 不是，平面ABCDf平面BCCB相交于直線BC梳理(1)(1)兩點平面內(nèi)平面三點不共線的三點一個(2)(2)有且只有一個相交平行知識點二思考 點和直線、平面的位置關(guān)系可用數(shù)字符號“ ”或“？”表示，直線和平面的位置關(guān)系，可用數(shù)學符號“ ？ ”或“？”表示.知識點三思考 不可能在同一個平面內(nèi)，因為如果在同一個平面內(nèi)，點A就在a內(nèi)，這與點A在a外矛盾由圖知，直線I與直線AB沒有公共點，所

11、以它們不相交，直線l與直線AB不可能 平行，否則它們就會同在平面a內(nèi)，所以直線I與直線AB既不相交也不平行.梳理(1)(1)同一平面 相交平行(2)(2)平行相交不經(jīng)過交點題型探究例 1 1 解 在(1)(1)中，aQB=I,an a =A,aQB=B在中，a n 3=I,a? ?a,b? ?3,anI=P,bnI=p.跟蹤訓練 1 1 解(1)(1)點A在平面a內(nèi)，點B不在平面a內(nèi)，如圖.直線I在平面a內(nèi)，直線m與平面a相交于點A,且點A不在直線I上，如圖.平面ABD與平面BDC相交于BD平面ABC與平面ADC相交于AC如圖.例 2 2 解 因為PQ/ a，所以PQ與a確定一個平面3. .所

12、以直線a? ?3，點P3. .因為Pb, b? ?a，所以Pa. .又因為a? ?a，所以a與3重合，所以PQa. .引申探究解已知：a/b/c，Ina=A，Inb=B, Inc=C求證：a，b，c和I共面.10證明：如圖，a/b, a與b確定一個平面a.lAa=A lClb=B,.A a ,B a .又Al,Bl, l? ?a. b/c,.b與c確定一個平面3,同理I? ?3. .平面a與3都包含I和b,且bAl=B,由推論 2 2 知：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面， 平面a與平面3重合，二a,b, c和I共面. 跟蹤訓練 2 2 證明方法一（納入平面法）/llAl2=A,.I1和I2確

13、定一個平面a. .TI2Al3=B,.B12. .又T l2? ?a,Ba. .同理可證Ca. .TB13,Cl3,l3? ?a. . 直線l1,l2,l3在同一平面內(nèi).方法二（輔助平面法）TliAl2=A,.I1和l2確定一個平面a. .Tl2AI3=B,.I2,I3確定一個平面3. .TA12,I2? ?a , A a. .TA12,I2? ?3 , A 3. .同理可證Ba,B3,Ca,C3. .不共線的三個點A, B, C既在平面a內(nèi)，又在平面3內(nèi).平面a和3重合，即直線I1,丨2,I3在同一平面內(nèi).TE為AB的中點，F(xiàn)為AA的中點,EF綊*AB.又AB綊DC,1 111 EF綊 2

14、2DC, E,F,D,C四點共面，DF與CE相交，設(shè)交點為P.又DF? ?平面ADDACE?平面ABCDP為平面ADDA與平面ABC啲公共點.又平面ADDAP平面ABCD= DA根據(jù)基本性質(zhì) 3 3,可得PDA即CE DF、DA相交于一點.跟蹤訓練 3 3 證明 方法一 /ABAa=P,PAB P 平面a. .又AB? ?平面ABC - P平面ABC由基本性質(zhì) 3 3 可知：點P在平面ABC與平面a的交線上，同理可證Q R也在平面ABC與平面a的交線上.P、Q R三點共線.方法二 /APA AR= A,直線AP與直線AR確定平面APR又ABHa=P, ACA a=R,平面APRA平面a=PR / B 平面APR C 平面APRBC? ?平面APR Q BCQ平面APR又Qa,Q PRP、Q R三點共線.例 4 4 解 將展開圖還原為正方體（如圖）.NC與DE NC與AF, NC與BM DE與AF,DE與BM AF與BM都是異面直線，共有 6 6 對.以NC與AF是異面直線為例證明如下: 方法一連接BE若NC/ AF,則由NC/ BE可知AF/BE這與AF與BE相交矛盾.故NC與AF不平行.12若NC與AF相交，則平面ABFE與平面CDNM有公共點，這與正方體的性質(zhì)矛盾故NC與AF不相交.所以NC與A