全國卷高考數(shù)學圓錐曲線大題集大全

1、高考二輪復習專項：圓錐曲線大題集1. 如圖，直線l1與l2是同一平面內(nèi)兩條互相垂直的直線，交點是A，點B、D在直線l1上(B、D 位于點A右側(cè))，且|AB|=4，|AD|=1，M是該平面上的一個動點，M在l1上的射影點是N，且|BN|=2|DM|.() 建立適當?shù)淖鴺讼?，求動點M的軌跡C的方程()過點D且不與l1、l2垂直的直線l交()中的軌跡C于E、F兩點；另外平面上的點G、H滿足：ADMBNl2l1求點G的橫坐標的取值范圍2. 設橢圓的中心是坐標原點，焦點在軸上，離心率，已知點到這個橢圓上的點的最遠距離是4，求這個橢圓的方程.3. 已知橢圓的一條準線方程是其左、右頂點分別是A、B；雙曲線的

2、一條漸近線方程為3x5y=0.（）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；（）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點P，連結(jié)AP交橢圓C1于點M，連結(jié)PB并延長交橢圓C1于點N，若. 求證：4. 橢圓的中心在坐標原點O,右焦點F（c,0）到相應準線的距離為1，傾斜角為45°的直線交橢圓于A，B兩點.設AB中點為M，直線AB與OM的夾角為a. （1）用半焦距c表示橢圓的方程及tan; （2）若2<tan<3，求橢圓率心率e的取值范圍.5. 已知橢圓（ab0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為 （1）求橢圓的方程 （2）已知定點E（-1，0），若直線ykx2

3、（k0）與橢圓交于C D兩點 問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由 6. 在直角坐標平面中，的兩個頂點的坐標分別為，平面內(nèi)兩點同時滿足下列條件：；（1）求的頂點的軌跡方程；（2）過點的直線與（1）中軌跡交于兩點，求的取值范圍7. 設，為直角坐標平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若，且（）求動點M(x,y)的軌跡C的方程；（）設曲線C上兩點AB，滿足(1)直線AB過點（0，3），(2)若，則OAPB為矩形，試求AB方程8. 已知拋物線C：的焦點為原點，C的準線與直線的交點M在x軸上，與C交于不同的兩點A、B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N（p，0）（）求拋物線C的方程；（）

4、求實數(shù)p的取值范圍；（）若C的焦點和準線為橢圓Q的一個焦點和一條準線，試求Q的短軸的端點的軌跡方程9. 如圖，橢圓的中心在原點，長軸AA1在x軸上.以A、A1為焦點的雙曲線交橢圓于C、D、D1、C1四點，且|CD|AA1|.橢圓的一條弦AC交雙曲線于E，設，當時，求雙曲線的離心率e的取值范圍.10. 已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）.若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程;若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程.11. 如圖，過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于兩點，點是點關于原點的對稱點.(1) 設點分有向線

5、段所成的比為，證明:;(2) 設直線的方程是，過兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程.12. 已知動點P（p，-1），Q（p，），過Q作斜率為的直線l，P Q中點M的軌跡為曲線C.（1）證明：l經(jīng)過一個定點而且與曲線C一定有兩個公共點； （2）若（1）中的其中一個公共點為A，證明：AP是曲線C的切線； （3）設直線AP的傾斜角為，AP與l的夾角為，證明：或是定值.13. 在平面直角坐標系內(nèi)有兩個定點和動點P，坐標分別為 、，動點滿足，動點的軌跡為曲線，曲線關于直線的對稱曲線為曲線，直線與曲線交于A、B兩點，O是坐標原點，ABO的面積為，（1）求曲線C的方程；（2）求的值。14. 已知

6、雙曲線的左右兩個焦點分別為,點P在雙曲線右支上.（）若當點P的坐標為時,求雙曲線的方程；（）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進線方程.15. 若F、F為雙曲線的左右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線的左支上，點M在右準線上，且滿足；.（1）求該雙曲線的離心率；（2）若該雙曲線過N（2，），求雙曲線的方程；（3）若過N（2，）的雙曲線的虛軸端點分別為B、B（B在y軸正半軸上），點A、B在雙曲線上，且時，直線AB的方程.16. 以O為原點，所在直線為軸，建立如 所示的坐標系。設，點F的坐標為，點G的坐標為。（1）求關于的函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的判斷；（2）設OFG的面積

7、，若以O為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點G，求當取最小值時橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，若點P的坐標為，C、D是橢圓上的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍。17. 已知點C為圓的圓心，點A（1，0），P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且 （）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程； （）若直線與（）中所求點Q的軌跡交于不同兩點F，H，O是坐標原點，且，求FOH的面積的取值范圍。 18. 如圖所示，O是線段AB的中點，|AB|2c，以點A為圓心，2a為半徑作一圓，其中。AOB（1）若圓A外的動點P到B的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當坐標系，求動點P的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線；（2）經(jīng)過點

8、O的直線l與直線AB成60°角，當c2，a1時，動點P的軌跡記為E，設過點B的直線m交曲線E于M、N兩點，且點M在直線AB的上方，求點M到直線l的距離d的取值范圍。19. 設O為坐標原點,曲線上有兩點P、Q滿足關于直線對稱，又以PQ為直徑的圓過O點.（1）求的值; （2）求直線PQ的方程.20. 在平面直角坐標系中，若，且，（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知定點，若斜率為的直線過點并與軌跡交于不同的兩點，且對于軌跡上任意一點，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實數(shù)的值。21. 已知雙曲線（a>0,b>0）的右準線一條漸近線交于兩點P、Q，F(xiàn)是雙曲線的右焦點。（I）求證：

9、PF；（II）若PQF為等邊三角形，且直線y=x+b交雙曲線于A，B兩點，且，求雙曲線的方程；（III）延長FP交雙曲線左準線和左支分別為點M、N，若M為PN的中點，求雙曲線的離心率e。22. 已知又曲線 在左右頂點分別是A，B，點P是其右準線上的一點，若點A關于點P的對稱點是M，點P關于點B的對稱點是N，且M、N都在此雙曲線上。（I）求此雙曲線的方程；（II）求直線MN的傾斜角。23. 如圖，在直角坐標系中，點A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。設與x軸正方向的夾角分別為、，若。 （I）求點P的軌跡G的方程； （II）設過點C（0，-1）的直線與軌跡G交于不同兩點M、N。問在x軸

10、上是否存在一點，使MNE為正三角形。若存在求出值；若不存在說明理由。24. 設橢圓過點，且焦點為。（1）求橢圓的方程；（2）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點A、B時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上。25. 平面直角坐標系中，O為坐標原點，給定兩點A（1，0）、B（0，2），點C滿足、（1）求點C的軌跡方程；（2）設點C的軌跡與雙曲線交于兩點M、N，且以MN為直徑的圓過原點，求證：.26. 設，、分別為軸、軸上的點，且，動點滿足：.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過定點任意作一條直線與曲線交與不同的兩點、，問在軸上是否存在一定點，使得直線、的傾斜角互補？若存在，求出點的坐標；若不存

11、在，請說明理由.27. 如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，AB=2，AD=，BC=橢圓F以A、B為焦點，且經(jīng)過點D， （）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，求橢圓F的方程；CBDA（）是否存在直線與兩點，且線段，若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.28. 如圖所示，B（ c，0），C（c，0），AHBC，垂足為H，且（1）若= 0，求以B、C為焦點并且經(jīng)過點A的橢圓的離心率；（2）D分有向線段的比為，A、D同在以B、C為焦點的橢圓上，當 5 時，求橢圓的離心率e的取值范圍29. 在直角坐標平面中，的兩個頂點的坐標分別為，平面內(nèi)兩點同時滿足下列條件：；（1）求的頂點的軌跡方程；（2）過點的直線與（1

12、）中軌跡交于兩點，求的取值范圍答案：1.解：() 以A點為坐標原點，l1為x軸，建立如圖所示的坐標系，則D(1，0)，B(4，0)，設M（x，y），則N（x，0）. |BN|=2|DM|，|4x|=2,整理得3x2+4y2=12,動點M的軌跡方程為. ()A、D、G三點共線，即點G在x軸上；又H點為線段EF的中點；又點G是線段EF的垂直平分線GH與x軸的交點。 設l：y=k(x1)(k0)，代入3x2+4y2=12得(3+4k2)x28k2x+4k212=0，由于l過點D(1，0)是橢圓的焦點，l與橢圓必有兩個交點，設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，EF的中點H的坐標為（x0，y0），x1

13、+x2= ，x1x2= ， x0= = ，y0=k(x01)= ， 線段EF的垂直平分線為y y0 = (xx0)，令y=0得，點G的橫坐標xG = ky0+x0 = + = = ，k0，k2>0，3+4k2>3，0<<，<<0，xG= (0，）點G的橫坐標的取值范圍為(0，）. 2.解：， 由得 設橢圓的方程為（）即（）設是橢圓上任意一點，則 （）若即，則當時， 由已知有，得； 若即，則當時， 由已知有，得（舍去）. 綜上所述，. 所以，橢圓的方程為. 3.解：（I）由已知橢圓的方程為，雙曲線的方程.又 雙曲線的離心率（）由（）A（5，0），B（5，0）

14、設M得M為AP的中點P點坐標為 將M、p坐標代入c1、c2方程得消去y0得 解之得由此可得P（10，當P為（10， 時 PB： 即代入 MNx軸 即4.解：（1）由題意可知所以橢圓方程為 設，將其代入橢圓方程相減，將代入 可化得 （2）若2<tan<3，則5.解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab0 依題意解得橢圓方程為 （2）假若存在這樣的k值，由得 設， ，則而 要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CEDE時，則，即 將式代入整理解得 經(jīng)驗證，使成立 綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E 6.解：（1）設 ， 點在線段的中垂線上由已知；又，又 ，頂點的軌跡

15、方程為 .(2)設直線方程為：，由 消去得： ， 而由方程知 ， .7.解：解：令 則 即 即 又 所求軌跡方程為（）解：由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在 設AB方程為 則 OAPB為矩形，OAOB 得 所求直線方程為8.解：（I）由題意，拋物線頂點為（n，0），又焦點為原點m0 準線方程且有m=4n. 準線與直線交點在x軸上，交點為 又與x軸交于（2，0），m=4，n=1 拋物線方程為y2=4（x+1） （II）由 1k1且k0 AB的中垂線方程為 得 p（2，+） （III）拋物線焦點F（0，0），準線x=2 x=2是Q的左準線 設Q的中心為O（x，0），則短軸端點為（&

16、#177;x，y） 若F為左焦點，則c=x0，b=|y|a2=b2+c2=x2+y2依左準線方程有 即y2=2x （x0） 若F為右焦點，則x0，故c=x，b=|y|a2=b2+c2=x2+y2 依左準線方程有即 化簡得2x2+2x+y2=0即 （x0，y0） 9.解：建立如原題圖所示的坐標系，則AB的方程為由于點P在AB上，可設P點的坐標為 則長方形面積化簡得易知，當（21）解：設A（c,0）,A1(c,0)，則（其中c為雙曲線的半焦距，h為C、D到x軸的距離）即E點坐標為設雙曲線的方程為，將代入方程，得將代入式，整理得消去由于10.解：1）設B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0)

17、則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得 （2）設直線BC方程為，得， 代入（2）式得，解得或直線過定點（0，設D（x,y）則即所以所求點D的軌跡方程是。11.解：(1) 依題意，可設直線的方程為 代入拋物線方程得 設兩點的坐標分別是 、是方程的兩根.所以 由點分有向線段所成的比為，得又點與點關于原點對稱，故點的坐標是，從而. 所以 (2) 由 得點的坐標分別是（6，9）、（4，4）, 由 得 所以拋物線 在點處切線的斜率為, 設圓的圓心為, 方程是則解得 則圓的方程是 (或)12.解：（1）直線l的方程是：，即，經(jīng)過定點（0

18、，1）；又M（p，），設x= p，y=，消去p，得到的軌跡方程為：.由有，其中=4p2+16，所以l經(jīng)過一個定點而且與曲線C一定有兩個公共點.（2）由，設A（），則=，又函數(shù)的導函數(shù)為，故A處的切線的斜率也是，從而AP是曲線C的切線.對于另一個解同樣可證.（3）當A（）時，tan=，tan=，tantan=1，又易知與都是銳角，所以=90°；當A（）時，tan=，tan=， tantan=-1，又易知是鈍角，都是銳角，所以=90°.總之或是定值.13.解：（1）設P點坐標為，則 ，化簡得，所以曲線C的方程為；（2）曲線C是以為圓心，為半徑的圓 ，曲線也應該是一個半徑為的圓，

19、點關于直線的對稱點的坐標為，所以曲線的方程為，該圓的圓心到直線的距離為 ，或，所以，或。14.解：（）(法一)由題意知, , （1分）解得 . 由雙曲線定義得: , 所求雙曲線的方程為: (法二) 因,由斜率之積為,可得解.（）設, (法一)設P的坐標為, 由焦半徑公式得,， 的最大值為2,無最小值. 此時,此時雙曲線的漸進線方程為 (法二)設,.(1)當時, , 此時 .(2)當,由余弦定理得:,綜上,的最大值為2,但無最小值. (以下法一)15.解：（1）由知四邊形PF為平行四邊形，（OP平分，平行四邊形PFOM 為菱形，又.（2）雙曲線的方程為所求雙曲線的方程為（3）依題意得、B、B共線

20、，不妨設直線AB為：y=kx-3,A(x則有，得，因為的漸進線為，當時，AB與雙曲線只有一個交點，不合題意，當，又，所求的直線AB的方程為.16.解：（1）由題意知，則函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)。（證明略）（4分）（2）由，點G，因在上是增函數(shù)，當時，取最小值，此時，依題意橢圓的中心在原點，一個焦點F（3，0），設橢圓方程為，由G點坐標代入與焦點F（3，0），可得橢圓方程為： （9分）（3）設，則，由，因點C、D在橢圓上，代入橢圓方程得，消去，得，又，則實數(shù)的取值范圍為。17.解：（1）由題意MQ是線段AP的垂直平分線，于是|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于

21、是點 Q的軌跡是以點C，A為焦點，半焦距c=1，長半軸a=的橢圓，短半軸點Q的軌跡E方程是：. （2）設（x1，y1）H（x2，y2），則由， 消去y得 又點O到直線FH的距離d=1， 18.解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則A（c，0），B（c，0）依題意：點P的軌跡為以A、B為焦點，實半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支軌跡方程為：。（2）法一：設M（，），N（，）依題意知曲線E的方程為，l的方程為設直線m的方程為由方程組，消去y得 直線與雙曲線右支交于不同的兩點及，從而由得解得且當x2時，直線m垂直于x軸，符合條件，又設M到l的距離為d，則設，由于函數(shù)與均

22、為區(qū)間的增函數(shù)在單調(diào)遞減的最大值又而M的橫坐標，法二：為一條漸近線m位于時，m在無窮遠，此時m位于時，d較大由點M 故 19.解：(1) 曲線表示以為圓心,以3為半徑的圓, 圓上兩點P、Q滿足關于直線對稱,則圓心在直線上,代入解得 (2)直線PQ與直線垂直,所以設PQ方程為,.將直線與圓的方程聯(lián)立得由解得.又以PQ為直徑的圓過O點解得故所求直線方程為20.解：（1），且，動點到兩個定點的距離的和為4，軌跡是以為焦點的橢圓，方程為 （2）設，直線的方程為，代入， 消去得 ， 由得 ， 且， 設點，由可得 點在上， ，又因為的任意性， ，又， 得 ， 代入檢驗，滿足條件，故的值是。21.解：(1) 不妨設., F.(c,0)設k2= k1k2=1.即PF. （2）由題. x2bxb2=0, a=1, 雙曲線方程為（3） y= M( N（）.又N在雙曲線上。e= 22.解：（I）點A、B的坐標為A（-3，0），B（3，0），設點P、M、N的坐標依次為 則有 4-得 ，解得c=5 故所求方程是 （II）由得， 所以，M、N的坐標