三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理

1、三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理1、終邊相同的角所有與角”終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合 或 前者a用角度制表示，后者a用弧度制表示。2、弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式1 =,即弧長(zhǎng)等于。S 扇=o3、三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x, y),那么叫做a的正弦，記作 sin a ,即sin a=y；叫做a的余弦，記作 cos a ,即 cos a = x;叫做 a 的正切，記作 tan a ,即 tan a = 'y (x 0)o(1)三角函數(shù)值的符號(hào)各象限的三角函數(shù)值的符號(hào)，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦。(2)三角函數(shù)線下圖中

2、有向線段 MP, OM , AT分別表示, 和。4、特殊角的三角函數(shù)值角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角a的弧度數(shù)sin acos atan aXsin15° =# 4 位,sin75 ° = V6：V2, tan15° = 2 <3, tan75° =2 + 葉3,由余角公式 易求15° , 75°的余弦值和余切值。5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系： .(2)商數(shù)

3、關(guān)系： .變形有：, , .6.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一一三四五六角2k % + a (k C Z)兀+ a一 a兀一 a兀-2”兀-2+ “正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限7.誘導(dǎo)公式的作用是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般步驟為:上述過(guò)程體現(xiàn)了化歸的思想方法。8 .“五點(diǎn)法”作圖在確定正弦函數(shù) y=sinx在0,2兀上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是 ,1 , , .(2)在確定余弦函數(shù)y = cosx在0,2兀上的圖象形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)是 1 , , .9.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)丁、函數(shù)性質(zhì)y= sinxy= cosxy = tanx定義域圖

4、象1i7童£1&尸X口耨*值域R對(duì)稱性對(duì)稱軸：;對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：;對(duì)稱中心：無(wú)對(duì)稱軸；對(duì)稱中心：最小正周期單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間一；單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間一;單調(diào)增區(qū)間奇偶性11、函數(shù)y = Acos(x+4 )的最小正周期為 . y= Atan(x+4 )的最小正周期 為.12.用五點(diǎn)法畫(huà)y= Asin( cox+。)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖用五點(diǎn)法畫(huà)y = Asin( cox+4 )一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn).如下表所示.co x + （）xy = Asin( w x+()0A0-A013.圖象變換:路徑：先向左（4>0）或向右（4<0）平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，

5、得到函數(shù) y=sin（x+。）的圖象；然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍（縱坐標(biāo)不變）,得到函數(shù)y = sin（cox + 4）的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 彳（橫坐標(biāo)不變），這時(shí)的曲線就 是 y= Asin（ w x+（）的圖象.路徑：先將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin cox的圖象；然后把曲線向左 （力>0）或向右（。<0）平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) y =sin（cox+。）的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的 倍（橫坐標(biāo)不變），這時(shí) 的曲線就是y = Asin（ cox+（）的圖象.y>y=j4sin(wx+

6、 甲) (2)y=5iiiwx *y=sin(wx+14.函數(shù)y = Acos（ wx+（）的最小正周期為 . y = Atan（ co x+4 ）的最小正周期 為.15. （1）兩角和差公式sinsincoscossincoscoscossinsintantantano1 mtan tan(2)倍角公式sin 2cos2tan 22sin cos ；2. 222cos sin 2cos 1 1 2sin2 tan2 °1 tan（3）降哥公式2 sin1 cos 221 cos2；cos 2216、解三角形§ 1）正弦定理在一個(gè)三角形中，各邊的長(zhǎng)和它所對(duì)角的正弦的比相等，

7、即a- b- 2R（ Rsin A sin B sinC為ABC外接圓的半徑）。§ 2）正弦定理常見(jiàn)變形(1) - ba b ca sin Basin Aasin Ab sin Bc sin C,_ , ;sin Bc sin Ca sin Asin A sin B sinC ；bsinA, csin B bsinC , csin A asinC ；b ca b c o sin B sin C sin A sin B sin Cabc2Rsin A , b 2Rsin B , c 2RsinC , sin A ，sin B ,sin C 。 2R2R2R（R為三角形 ABC外接圓的半

8、徑）（3）三角形的面積公式：一 1 一 一 1S 底局 rabc （ r 是 ABC 內(nèi)切圓的半徑） 221 . . _1. .1. 一 abc一absinC - bcsin A 一acsinB （ R為 ABC外接圓的半徑）。2 224R§ 3正弦定理的應(yīng)用（1）已知兩角和一邊，求其他兩邊和另一角；（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角。§ 4三角形解的個(gè)數(shù)問(wèn)題圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)A為銳角Cca/ bb/aa/&，A/ 4， a=bsinAa> b一解C 6B AB1-，b2bsinAv a v b兩解C 心J A-B-a v bsinA無(wú)解A為鈍

9、角或直 角XbCXA 吊A/Ba> b一解CC溶A BA Ba< b無(wú)解在 ABC中，已知a, b和角A,以點(diǎn)C為圓心，以邊長(zhǎng) a為半徑畫(huà)弧，此弧與除去頂點(diǎn) A 的射線AB的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)，解的個(gè)數(shù)見(jiàn)下表：§ 5余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們的夾角的條弦的積的兩倍，即a2 b22, 2c 2bccosA, b22ac cos B , c2, 2 八，八a b 2ab cosC。余弦定理的變形:cos A.222b c a2bc,cosB2. 22八 a b ccosC 2ab點(diǎn)評(píng)(1)若 C 90 ,則 c2a2 b2,這

10、就是勾股定理，由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。(2)由定理知：若 A為銳角，則角，則cosA 0,從而b2 c22cosA 0, b2_12a 0 ,即 b2c2c2a2a0 ,即 b2 c2;若A為直角,a2;若A為鈍則 cos A 0 ,22b c2a。上述結(jié)論在解客觀題時(shí)使用較方便。將 a2 b2 c2 2bccos A 與 b2c2 2ac cos B一 22c 2bccosA 2 ac cos B 0,即c acosB bcosA ,這就是二角形中的射影定理。§ 6余弦定理的應(yīng)用(1)已知三邊，求三角；(2)已知兩邊及其夾角，求第三邊和其他兩角

11、。知能解讀：解三角形§7已知一邊和兩角(設(shè)為 b, A, B),解三角形的步驟(1) C 180 A B ;(2)由正弦定理得absin A(3)由正弦定理得cbsin Csin B§ 8已知兩邊及其夾角(設(shè)為 a, b , C),解三角形的步驟(1)由余弦定理得 c2 Va2b2_2abcosC ；(2)由正弦定理求邊 a , b中較小邊所對(duì)的銳角； (3)利用內(nèi)角和定理求第三個(gè)角。§ 9已知兩邊及其中一邊的對(duì)角(設(shè)為 a, b, A),解三角形的步驟(1)先判定解的情況；(2)由正弦定理得sin B bs"，求B ； a(3)由內(nèi)角和定理得C 180

12、 A B ,求C;(4)由正弦定理或余弦定理求邊c o§ 10已知三邊a , b , c ,解三角形的步驟(1)由余弦定理求最大邊所對(duì)的角；(2)由正弦定理求其余兩個(gè)銳角。17、實(shí)際應(yīng)用題 1坡角：坡面與水平面的夾角，如圖。h2坡比：坡面的鉛直局度與水平范度之比。即i - tan （I為坡比，為坡角），如圖。3仰角和俯角：與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水 平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角。如圖。4方位角：從指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角（如圖）5方向角：指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角。6基線：在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線。在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確