乘法公式活用專題訓(xùn)練(整理)

1、乘法公式活用專題訓(xùn)練(整理)乘法公式的活用一、公式:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x

2、2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項變化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1已知，求的值。例2已知，求的值。例3：計算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)

3、2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判斷（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的個位數(shù)字是幾？例7運用公式簡便計算（1）1032 （2）1982例8計算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)例9解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。例10計算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2二、乘法公式的用

4、法(一)、套用:這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認和運用公式打下基礎(chǔ)，同時能提高學(xué)生的觀察能力。例1. 計算： 解：原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個以上公式解題。例2. 計算：例3. 計算：三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會正向運用，有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運用其解決問題。例4. 計算：四、變用: 題目變形后運用公式解題。例5. 計算：五、活用: 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：靈活運用這些公式，往往可以處理一些特殊的計算問題，

5、培養(yǎng)綜合運用知識的能力。例6. 已知，求的值。例7. 計算：例8. 已知實數(shù)x、y、z滿足，那么求的值三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題（一）、注意掌握公式的特征，認清公式中“兩數(shù)”例1 計算(-2x2-5)(2x2-5)例2 計算(-a2+4b)2（二）、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3 計算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)例4 計算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2例5 計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)（三）、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項

6、式的平方，等于各項的平方和，加上每兩項乘積的2倍例6 計算(2x+y-3)2（四）、注意公式的變換，靈活運用變形公式例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值例8 計算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c) 2+(b-a+c)2（五）、注意乘法公式的逆運用例9 計算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2例10 計算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2四、怎樣熟練運用公式：（一）、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相

7、乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)；等號右邊是乘式中兩項的平方差，且是相同項的平方減去相反項的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式（二）、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式如計算（x+2y3z）2，若視x+2y為公式中的a，3z為b，則就可用（ab）2=a22ab+b2來解了。（三）、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計算，此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點常見的幾種變化是：（四）、注意公式的靈活運用有些題目往往

8、可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂嬎愀啽闳缬嬎悖╝2+1）2·（a21）2，若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便即原式=（a2+1）（a21）2=（a41）2=a82a4+1對數(shù)學(xué)公式只會順向（從左到右）運用是遠遠不夠的，還要注意逆向（從右到左）運用如計算（1）（1）（1）（1）（1），若分別算出各因式的值后再行相乘，不僅計算繁難，而且容易出錯若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式，則可巧解本題即原式=（1）（1+）（1）（1+）××（1）（1+）=××××&#

9、215;× =×=有時有些問題不能直接用乘法公式解決，而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變式主要有：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效如已知m+n=7，mn=18，求m2+n2，m2mn+ n2的值面對這樣的問題就可用上述變式來解，即m2+n2=（m+n）22mn=722×（18）=49+36=85，m2mn+ n2= （m+n）23mn=723×（18）=1031、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232

10、+1）（264+1）+1的末位數(shù)字五、乘法公式應(yīng)用的五個層次乘法公式：(ab)(ab)=a2b2，(a±b)=a2±2abb2，(a±b)(a2±abb2)=a3±b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用例1計算 (2)(2xy)(2xy)第二層次逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用例2計算(1)199821998·399419972； 第三層次活用 ：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式；有時根據(jù)需要創(chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式例3化簡：(21)(221)(241)(281)1例4計算：(2x3y1

11、)(2x3y5)第四層次變用 ：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式，如a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(ab)等，則求解十分簡單、明快例5已知ab=9，ab=14，求2a22b2和a3b3值第五層次綜合后用 ：將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜合，可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2)；(ab)2(ab)2=4ab；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷 例6計算：(2xyz5)(2xyz5)六、正確認識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認識乘法公式：對于學(xué)習(xí)的兩種（三個）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)

12、=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖1，兩個矩形的面積之和（即陰影部分的面積）為(a+b)(a-b)，通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2，通過面積的計算方法，即可得到兩個完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧：提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免負

13、號多帶來的麻煩。例1、 運用乘法公式計算：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2改變順序：運用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項的排列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、 運用乘法公式計算：（1）()(); （2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時常會收到事半功倍的效果。例3、 計算：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; （2）(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2合理分組：對于只有

14、符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一. 先分組，再用公式 例1. 計算： 二. 先提公因式，再用公式 例2. 計算： 三. 先分項，再用公式例3. 計算：

15、 四. 先整體展開，再用公式例4. 計算： 五. 先補項，再用公式例5. 計算： 六. 先用公式，再展開例6. 計算： 七. 乘法公式交替用例7. 計算： 八、中考與乘法公式1. 結(jié)論開放例1. （濟南中考）請你觀察圖中的圖形，依據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是_。例2. （陜西中考）如圖，在長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（），把余下的部分剪成一個矩形，如圖3，通過計算兩個圖形的面積，驗證了一個等式，則這個等式是_。2. 條件開放例3. （四川中考）多項式加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，則加上的單項式可以是_（填上所有的可能情況）。3. 找規(guī)律例4. （武漢中考） 觀察下列各式：由猜想到的規(guī)律可得_。4. 推導(dǎo)新