有限元6-動(dòng)力有限元

1、土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-1/70有限單元法有限單元法第六章 結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析有限元法土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-2/70 此前述及的問題屬于靜力分析問題，即作用在結(jié)構(gòu)上的荷載是與時(shí)間無關(guān)的靜力。由此求得的位移、應(yīng)力等均與時(shí)間無關(guān)。實(shí)際工程中的大部分都可簡(jiǎn)化成靜力問題。 當(dāng)動(dòng)載與靜載相比不容忽略時(shí)，一般應(yīng)進(jìn)行動(dòng)力分析。如地震作用下的房屋建筑，風(fēng)荷載作用下的高層建筑等，爆炸作用下的建筑結(jié)構(gòu)，船舶受海浪沖擊，都應(yīng)計(jì)算動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力反應(yīng)。研究課題中以動(dòng)力問題為主。 解決動(dòng)力問題有兩大工作要做：一是動(dòng)荷載的模擬和計(jì)算，二是結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析。本章將討論如何用有限元來解決動(dòng)力計(jì)算問題。土木工

2、程學(xué)院有限單元法有限單元法P-3/706.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程一、單元的位移、速度和加速度函數(shù) 設(shè)單元的位移函數(shù)為 efNd式中：?jiǎn)卧灰坪瘮?shù)列陣f，結(jié)點(diǎn)位移函數(shù)列陣de均是時(shí)間 t 的函數(shù)。由(6-1-1)可求得單元的速度、加速度函數(shù): (6-1-1) efNd efNd(6-1-2) (6-1-3) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-4/70二單元的受力分析 設(shè)圖示三角形單元，當(dāng)它處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，其上的荷載一般應(yīng)包括：1）其他單元對(duì)其結(jié)點(diǎn)的作用力2）單元內(nèi)部的單位體積的慣性力和阻尼力（設(shè)正比于運(yùn)動(dòng)速度）： emdNfF ecdNfcF11慣性力： 阻尼力：3）干擾力（已知的荷載）：(6-1-

3、4) (6-1-5) pFF 根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，這些力構(gòu)成一瞬時(shí)平衡力系，使單元處于動(dòng)平衡狀態(tài)。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-5/70三結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移、速度和加速度之間的關(guān)系用虛功原理推導(dǎo)，令單元結(jié)點(diǎn)發(fā)生任意可能的虛位移 d*，它滿足單元所定義的位移場(chǎng)，即虛位移場(chǎng)成立。作用在單元上的外力所作的外力虛功： *dNf dVFfdVFfdVFfFdTpTVcTVmTV* 單元內(nèi)部應(yīng)力在由于虛位移所引起的虛應(yīng)變上所做的內(nèi)力虛功：dVdBDdBdVWVTVT *虛實(shí)土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-6/70根據(jù)虛功原理（T=W），若將慣性力Fm，阻尼力Fc用上面的(6-1-4)，(6-1-5)

4、代替，得： *TPvvTvVdFNdFdvNdNd dvNdNd dvBdD Bd dvTTT（）（）（）（）由于虛位移的任意性，可從等式兩邊各項(xiàng)中消去d*T ，得： TTpvvvvFBDB dv dNN dv dNN dv dNFdvTT簡(jiǎn)寫為： eFkdcdmdR土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-7/70式中：?jiǎn)卧枘峋仃嚕ǖ诙?xiàng)為阻尼力) 包括由作用在單元上的干擾力轉(zhuǎn)化成的等效結(jié)點(diǎn)荷載(6-1-6)即為單元結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系式。 eFkdcdmdR(6-1-6) VTdVBDBk單剛（第一項(xiàng)為彈性恢復(fù)力）質(zhì)量矩陣（第三項(xiàng)為慣性力）VTdVNNc11VTdVNNmVPTedVFNR土木工程

5、學(xué)院有限單元法有限單元法P-8/70四、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程四、結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程 有了上述單元力關(guān)系式，象在靜力問題中對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)建立平衡方程一樣，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)建立動(dòng)平衡方程后，即可得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程組： MDCDKDR(6-1-7) 式中：M、C、K分別為總質(zhì)量、總阻尼、總剛度矩陣。 R為外力（結(jié)點(diǎn)力），實(shí)為干擾力（當(dāng)不考慮靜載時(shí)） 當(dāng)不計(jì)阻尼影響時(shí)，上式成為： MDKDR(6-1-8) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-9/70若干擾力為零，得： 0MDKD(6-1-9) 即結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動(dòng)微分方程組。由此可求得結(jié)構(gòu)的自振特性（頻率，振型）。 由上可見，動(dòng)力問題首先要解決如下問

6、題1)M、C、K 及R形成2)方程組的求解 時(shí)域解法、頻域解法、振型分解法土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-10/706.2 單元質(zhì)量矩陣和單元阻尼矩陣單元質(zhì)量矩陣和單元阻尼矩陣單元質(zhì)量矩陣可分為：1）協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣mC（或一致質(zhì)量矩陣）。單元質(zhì)量矩陣表達(dá)式為：2）集中質(zhì)量矩陣mL認(rèn)為質(zhì)量集中在節(jié)點(diǎn)，因此單元質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣。也有的采用上述兩種質(zhì)量矩陣的線性組合（h一般取0.5）。VTCdVNNmLCmmm)1 (hh土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-11/70一、協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣（Consistent mass ）VTCdVNNm 由于單元質(zhì)量矩陣表達(dá)式為 式中包含了推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)相同的

7、形函數(shù)N，因此常將按此式形成的m稱為協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣（或一致質(zhì)量矩陣）。幾種常見的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣1.梁?jiǎn)卧?設(shè)梁?jiǎn)卧灰坪瘮?shù)： 1234 iijjwfNdN N N Nw土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-12/70式中形函數(shù) 231234wxxx（） 23232323232232322321xxxxxxxxNxllllllll（）（）（）（）設(shè)單元的質(zhì)量沿梁的長(zhǎng)度方向均勻分布，則有： 20221562245413156420133224lllsymmetricWmNN AdxlgllllT(6-2-1) W=mg單元重量，g為重力加速度 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-13/70考慮軸力的梁?jiǎn)?/p>

8、元協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣2222)(42203130221560135400014000703130422013540221560007000140420llllllllllllgGme式中G為梁?jiǎn)卧闹亓客聊竟こ虒W(xué)院有限單元法有限單元法P-14/70 vuivuvum 0 j 0 i 0 0 m 0 j 0 ),(mjiimNNNNNNvufiyx2. 平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元5 . 0025. 0025. 0005 . 0025. 0025. 025. 005 . 0025. 00025. 005 . 0025. 025. 0025. 005 . 00025. 0025. 005 . 03)(gGme1

9、()2iiiiNabx c yA( , , )i jm 形函數(shù)設(shè)單元的質(zhì)量均勻分布，則有單元位移函數(shù)式中： 為三角形單元的重量。vgdvG土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-15/70二、集中質(zhì)量矩陣（Lumped Mass ） 單元的協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣和單剛具有相同的階數(shù)，因此，總質(zhì)量矩陣M的階數(shù)也與總剛K相同?；蛘哒f采用協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣后，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)自由度和結(jié)構(gòu)的靜力自由度是相同的。動(dòng)力問題的這種做法，其求解是很費(fèi)時(shí)的：(1)形成質(zhì)量矩陣的工作量等同于總剛 (2)特征值的求解 工程實(shí)際和試驗(yàn)證明，在某種干擾力作用下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)是有明顯主次之分的。工程上通常把單元的分布質(zhì)量集中到各結(jié)點(diǎn)而成為集中堆

10、聚質(zhì)量，這樣可使問題得到很大簡(jiǎn)化，且計(jì)算經(jīng)驗(yàn)表明，二者給出的計(jì)算精度相差無幾。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-16/70如果非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的質(zhì)量占較大的比例，則兩種質(zhì)量矩陣的差別將更小質(zhì)量集中按靜力等效原則，且常忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，上述各單元的質(zhì)量矩陣簡(jiǎn)化為： 10000120000symmetricWmg梁?jiǎn)卧?常應(yīng)變?nèi)菃卧?1010010001300001000001symmetricWmg土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-17/70矩形薄板單元： 100100104000100Wmg 由此可見，采用集中質(zhì)量時(shí)，集中質(zhì)量即采用“就近堆積”的原則。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-1

11、8/70對(duì)于具有中間節(jié)點(diǎn)的高次單元，質(zhì)量集中的方式常有1）按靜力等效原則VTPdVNF根據(jù)等效節(jié)點(diǎn)力公式得集中質(zhì)量矩陣各對(duì)角元素為ViLidVNm與協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣mC的關(guān)系為jCijLimm缺點(diǎn)：角節(jié)點(diǎn)可能出現(xiàn)負(fù)值2）按協(xié)調(diào)質(zhì)量矩陣的對(duì)角線元素的比例gWmmmjCjjCiiLi土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-19/70三、阻尼矩陣 在土木結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問題中，結(jié)構(gòu)振動(dòng)耗能是客觀存在著的，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動(dòng)耗能的原因，阻尼可被分為外部阻尼和內(nèi)部阻尼。 外部阻尼是指結(jié)構(gòu)周圍介質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量的消耗。它可分為介質(zhì)阻尼、外摩擦阻尼和輻射阻尼。 內(nèi)部阻尼是指結(jié)構(gòu)自身對(duì)振動(dòng)能量的耗散性能，可分為材料阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼

12、。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-20/70 土木結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，需要將結(jié)構(gòu)的阻尼作用抽象為既能夠合理反映結(jié)構(gòu)主要阻尼機(jī)制，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型。由于實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)阻尼是多方面因素共同形成的，其綜合作用機(jī)理相當(dāng)復(fù)雜， 迄今尚未有既具方便數(shù)學(xué)處理， 又能很好體現(xiàn)其物理意義的計(jì)算方法。一百多年來，人們已提出了多種阻尼模型，目前在工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算中常用的阻尼計(jì)算模型有：粘滯阻尼模型、滯變阻尼模型、庫倫阻尼模型、比例阻尼模型和非比例阻尼模型。 其中用得最多的粘滯阻尼模型和比例阻尼模型。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-21/70比例阻尼 在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中，較多采用的是粘滯阻尼理論，即假定阻尼

13、力與速度成正比，由此得到單元的阻尼矩陣： 11mdVNNcVT這樣做，可給方程組的求解帶來方便。但這個(gè)假定并不能很好的符合結(jié)構(gòu)的實(shí)際情況。因此在實(shí)際應(yīng)用中也常采用M和K的線性組合。kmc或 (1) (2) (3) kc即瑞利(Rayleigh)阻尼模型。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-22/70也可寫成更一般的形式: 10nsssCMMK(4) 即柯西(Caughey)阻尼模型。這樣處理的阻尼矩陣可以通過模態(tài)向量正交化完全解耦為對(duì)角陣。 由于阻尼矩陣依賴于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，故可通過M、K而獲得C 第i階振型的阻尼比 xi 與（4）式中各系數(shù)的關(guān)系為12321021niniiiix土木工程

14、學(xué)院有限單元法有限單元法P-23/70當(dāng)取S=0、1兩項(xiàng)時(shí)，即為式（2）kmc如果已知某2階振型的頻率與阻尼比，則式中系數(shù)由下式確定： 22ijjiijjijijjiijijixx x xi第i個(gè)固有頻率, i阻尼比, 是實(shí)際阻尼與臨界阻尼的比值, 當(dāng)i=j=時(shí), 上式簡(jiǎn)化為 )(2,)(2jijijixx土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-24/706.3 結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)和特征值問題結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)和特征值問題 一、特征值方程 這是一個(gè)大家都很熟悉的問題，故著重討論程序設(shè)計(jì)上的一些處理方法。 結(jié)構(gòu)作無阻尼自由振動(dòng)的微分方程(6-1-9) ： 0MDKD設(shè)結(jié)構(gòu)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)： 0sinDDt將其代回

15、(6-1-9)得： 200KMD求解特征方程即可獲得幾個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度所對(duì)應(yīng)的頻率和振型。 20KM(6-3-1) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-25/70另一種求特征值的頻率方程： 由結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，如果從質(zhì)點(diǎn)的位移方程出發(fā)，建立運(yùn)動(dòng)方程（柔度法），則n階自振方程： 0FMDD相應(yīng)頻率方程： 0FME(6-3-2) 式中：F柔度矩陣； En階單位矩陣。解此方程亦得到上述相同結(jié)果。 21土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-26/70結(jié)構(gòu)固有頻率與振型的特點(diǎn)1）結(jié)構(gòu)的固有頻率都是正實(shí)數(shù) 如果存在剛體位移，則固有頻率為“0”2）結(jié)構(gòu)的固有頻率的分離性，即 12.n3）振型的正交性土木工程學(xué)院有限單

16、元法有限單元法P-27/70二、特征值方程求解方法 特征方程的解法很多，可分為1）迭代法2）雅可比法3）能量法 瑞利法、里茲法3）子空間迭代法 無論哪種方法，也不管是6-3-1或6-3-2，對(duì)一個(gè)大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)來說，如果它的運(yùn)動(dòng)自由度與靜力自由度一致的話，其求解是很費(fèi)時(shí)的。工程實(shí)際應(yīng)用中，所要求的運(yùn)動(dòng)自由度遠(yuǎn)小于靜力自由度。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-28/70自由度的縮減 如圖示剛架，在水平地震力作用下，我們通常只取各樓層的水平位移為運(yùn)動(dòng)自由度，即對(duì)該結(jié)構(gòu)來說靜力自由度為72，而運(yùn)動(dòng)自由度僅6(不考慮軸向變形)。 在運(yùn)動(dòng)方程6-1-7里，如果只取與運(yùn)動(dòng)自由度有關(guān)的位移分量，則可使求解

17、大為簡(jiǎn)化。此時(shí), 可將n階自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程改為 EEEEMDCDKDR(6-3-3) 式中下標(biāo)E代表只與振動(dòng)自由度有關(guān)的位移分量。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-29/70 從包含運(yùn)動(dòng)全部自由度的運(yùn)動(dòng)方程6-1-7中分離出運(yùn)動(dòng)自由度的運(yùn)動(dòng)方程6-3-3，常稱為凝聚或縮減。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-30/70土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-31/70 從包含運(yùn)動(dòng)全部自由度的運(yùn)動(dòng)方程6-1-7中分離出運(yùn)動(dòng)自由度的運(yùn)動(dòng)方程6-3-3，常稱為凝聚或縮減。凝聚可采用多種辦法：1.自由度編號(hào)分塊法（王志楷高等結(jié)構(gòu)力學(xué)) 在形成總剛時(shí)，人為地將與運(yùn)動(dòng)自由度相應(yīng)的位移分量排在一起，而將其

18、余自由度另放一起，設(shè)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)自由度有關(guān)的位移分量為D2，則總剛可寫成如下分塊形式： 111112212222DPKKKKDP土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-32/702112222K DK DP(1) (2) 因 P10，由（1）得1111122DKK D (3) 將（3）代入（2）得12111122222()K KKKDP 22EKDP簡(jiǎn)寫為 122211112EKKK K K式中1212111PDKDK 在房屋建筑抗震問題中，KE又稱為抗側(cè)剛度矩陣（只含樓層的水平位移），此法缺點(diǎn)：帶寬大，存多矩陣、多個(gè)矩陣乘、K11-1甚大，只限于研究性、小問題。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-

19、33/702. 根據(jù)質(zhì)量矩陣M中主元為零的信息，在解方程中直接加以處理（特殊的解頻率方程的方法，通常只用于自由振動(dòng)）3模態(tài)綜合法（子結(jié)構(gòu)法用于動(dòng)力計(jì)算）4直接形成與KE相應(yīng)的柔度矩陣F 這是較好的一種方法，在結(jié)構(gòu)抗震的彈性分析中較多采用。 其思路是，根據(jù)柔度中柔度系數(shù)的物理意義（單位力作用下的位移）可分別在各質(zhì)點(diǎn)加水平單位力，逐一求出其與運(yùn)動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)的位移，從而獲得F。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-34/70式中fij表示當(dāng)質(zhì)點(diǎn)j作用一單位水平力時(shí)，質(zhì)點(diǎn)i所在結(jié)點(diǎn)的水平位移。由于求F時(shí)，總剛已經(jīng)分解，將每個(gè)單位力Pi=1作為一組獨(dú)立工況，可很快解出其位移列陣D 。從中挑出與質(zhì)點(diǎn)水平位移

20、有關(guān)的分量即可組成F。計(jì)算工作量小，不需附加數(shù)組，程序簡(jiǎn)單。可由F直接代入頻率方程求解，也可對(duì)F求逆得出抗側(cè)總剛 KE。 1591317211111111121314151616 6PPPPPPfffFfff159131721土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-35/70形成柔度矩陣的程序段： DO 30 I=1,MA 動(dòng)力自由度數(shù) DO 10 J=1,NN未知量總數(shù)10 P（J）0右端項(xiàng) P（JW（I）1只分解加相應(yīng)單位力 CALLJFC（NN，LD，2）解方程DO20J1，MA20 A（J，I）P（JW（I）柔度矩陣30 CONTINUE 1591317211111111121314151

21、616 6PPPPPPfffFfff桿系層模型土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-36/70層剪切模型抗側(cè)剛度矩陣KE的形成方法層間剛度由各個(gè)豎向構(gòu)件的抗側(cè)剛度合成nnEKKKKKKKKKK.3322221土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-37/706.4 地震反應(yīng)分析的計(jì)算機(jī)方法地震反應(yīng)分析的計(jì)算機(jī)方法-振型分解反振型分解反應(yīng)譜法應(yīng)譜法 求解結(jié)構(gòu)自振特性是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中很重要的一步。但在工程應(yīng)用中常需動(dòng)力反應(yīng)分析，如地震反應(yīng)分析。地震反應(yīng)分析通常采用兩種方法：反應(yīng)譜法和和時(shí)程分析法（直接積分法）。 我國抗震規(guī)范提供了三種計(jì)算動(dòng)力反應(yīng)的方法：底部剪力法、振型分解反應(yīng)譜法和時(shí)程分析法。底部剪力

22、法是一種簡(jiǎn)化的手算方法。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-38/70、振型分解法概念、振型分解法概念 振型分解法是利用振型的正交性，將原來的n階聯(lián)立方程 ( )gMDCDKDMI D t 分解成相互獨(dú)立的振動(dòng)方程，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動(dòng)，分解成按各個(gè)振型的獨(dú)立振動(dòng)的疊加，也可理解成把結(jié)構(gòu)結(jié)點(diǎn)位移列矢量D(t)表達(dá)成： ( )( )D tY t 式中 為上節(jié)求得的振型矩陣， 稱為振型坐標(biāo)，或廣義坐標(biāo)。 1.n ( )Y t(1) (6-4-1)(2) (6-4-2)土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-39/70 11( )y t 22( )y t土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-40/70)()(

23、)()(2)2(1)1(tqXtqXtqXxnn 11( )y t 22( )y t 33( )y t( )ny t n ( )( )D tY t 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-41/70將(2)代入(1)并利用振型的正交條件： 0()0()0()TjiTjiTjiMijKijCij（設(shè)：阻尼亦滿足正交條件）便可將式(1)化為n個(gè)獨(dú)立非耦聯(lián)的微分方程： ( )( )( )( )TTTTgjjjjjjjMy tCy tKy tMI D t (3) (6-4-3)兩個(gè)不同的主振型的對(duì)應(yīng)位置上的位移相乘，再乘以該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，然后將各質(zhì)點(diǎn)所求出的上述乘積作代數(shù)和，其值等于零。土木工程學(xué)院有限單元

24、法有限單元法P-42/70第j振型的廣義剛度系數(shù) 第j振型的廣義阻尼系數(shù) 則可化成一般形式的單質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)力方程：2( )2( )( )( )jjjjjjgy ty ty tD tx (4) (6-4-4) jTjjjjKKM*2若引入記號(hào)： *TjjjMM第j振型的廣義質(zhì)量 jTjjjjjCCMx*2 ( )( )( )( )TTTTgjjjjjjjMy tCy tKy tMI D t 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-43/70省去上式中的下標(biāo)j，并將右端項(xiàng)換成P(t)，便得常見單質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)微分方程形式。2( )2( )( )( )y ty ty tP tx它的解可用杜哈美積分表示：()01(

25、 )( )sin()tty tPetdmx(6-4-5)式中 TjjTjjMIM為第j振型的振型參與系數(shù) jx為第j振型阻尼比 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-44/70二、地震反應(yīng)譜概念（思路）二、地震反應(yīng)譜概念（思路） 反應(yīng)譜理論創(chuàng)立于1940年代，它考慮了結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性與地震動(dòng)特性之間的動(dòng)力關(guān)系。通過反應(yīng)譜來計(jì)算由結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性（周期、振型和阻尼）所產(chǎn)生的動(dòng)力效應(yīng)。 反應(yīng)譜方法基于以下假定(水平振動(dòng))（1）假定地震時(shí)建筑物的地基只作平行于地面的剛體運(yùn)動(dòng)；（2）假定地面運(yùn)動(dòng)過程可以用強(qiáng)震儀記錄來表示；（3）假定建筑物是彈性體系。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-45/70 利用儀器所記錄

26、的地面加速度時(shí)程曲線，按振型分解的方法將建筑物在地震作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)化為一系列單自由度體系問題。 由杜哈美積分(6-4-5式)，通過數(shù)值積分方法便可計(jì)算出任何一個(gè)頻率為，阻尼比為的單質(zhì)點(diǎn)體系在給定加速度 影響下的相對(duì)位移反應(yīng)曲線。( )gD t土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-46/70 在相同地震加速度記錄作用下，不同的單質(zhì)點(diǎn)反應(yīng)各不相同，即各自反應(yīng)曲線的峰值和頻率特性也各不相同。設(shè)計(jì)中最關(guān)心的往往是最大反應(yīng)。阻尼比一定時(shí)，對(duì)于不同的自振周期T（頻率 ）都可以找出相應(yīng)最大位移反應(yīng)ymax。于是，對(duì)于每一個(gè)地震加速度記錄，都可以算出一組以為參數(shù)的ymax與周期T之間的關(guān)系曲線，這就是我們常說

27、的位移反應(yīng)譜。 此外，還有加速度反應(yīng)譜等。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-47/70土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-48/70不同地震波輸入計(jì)算出來的加速度反應(yīng)譜土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-49/70 工程設(shè)計(jì)中，一般都采用地震作用（荷載）的概念也就是通過荷載來計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。 為了計(jì)算地震荷載，還要涉及到速度和加速度反應(yīng)譜，以及這些反應(yīng)譜之間的關(guān)系。 最后可以計(jì)算出地震作用時(shí)在單質(zhì)點(diǎn)體系上的最大慣性力，即地震作用力。()FK GorG式中： max|( )|gD tKg地震系數(shù)，即以重力加速度g為單位的地面運(yùn)動(dòng)最大加速度。 maxmax| ( )( )|( )|ggy tD

28、 tD t動(dòng)力系數(shù)，即以地面最大加速度為單位的加速度反應(yīng)譜。 K地震影響系數(shù) 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-50/70我國抗震規(guī)范提供了地震影響系數(shù)曲線。規(guī)范規(guī)定， 與自振周期、場(chǎng)地類別等有關(guān)。 對(duì)于多自由度體系，即可利用反應(yīng)譜，查得對(duì)應(yīng)于各振型的絕對(duì)最大值的地震反應(yīng)，得到簡(jiǎn)化的地震作用計(jì)算公式。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-51/70水平地震影響系數(shù)max地震影響6度7度8度9度多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震0.50（0.72）0.90（1.20）1.40設(shè)計(jì)地震分組場(chǎng) 地 類 別第一組0.250.350.450.65第二組0.300.

29、400.550.75第三組0.350.450.650.90 特征周期Tg應(yīng)根據(jù)場(chǎng)地類別和設(shè)計(jì)地震分組按下表采用：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-52/70關(guān)于阻尼調(diào)整系數(shù)和形狀參數(shù)應(yīng)符合下列規(guī)定：(1) 曲線下降段的衰減指數(shù)應(yīng)按下式確定： 式中：曲線下降段的衰減指數(shù); 阻尼比。(2) 直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定： 式中：1直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù)，小于0 時(shí)取0。55 . 005. 09 . 08/05. 002. 01h55 . 005. 09 . 0土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-53/70(3) (3) 阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定：阻尼調(diào)整系數(shù)應(yīng)按下式確定： 式中

30、： 2阻尼調(diào)整系數(shù)，當(dāng)小于0.55 時(shí)，應(yīng)取0.55 。 除有專門規(guī)定外，建筑結(jié)構(gòu)的阻尼比應(yīng)取0.05。這時(shí) 。對(duì)于周期大于6.0秒的結(jié)構(gòu)，地震影響系數(shù)應(yīng)專門研究。 設(shè)計(jì)分組參見附錄我國主要城鎮(zhèn)抗震設(shè)防烈度、設(shè)計(jì)基本地震加速度和設(shè)計(jì)地震分組。h7 . 106. 005. 0120 . 1,02. 0, 9 . 021hh土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-54/70三、地震作用計(jì)算三、地震作用計(jì)算 對(duì)于多自由度體系，可利用反應(yīng)譜，查得對(duì)應(yīng)于各振型的絕對(duì)最大值的地震反應(yīng)，從而得到簡(jiǎn)化的地震作用計(jì)算公式（規(guī)范公式）。jijjjiiFx G 式中： j -地震影響系數(shù)； j -振型參與系數(shù)；211/

31、nnjjiijiiiix Gx G1.不進(jìn)行扭轉(zhuǎn)耦連計(jì)算的結(jié)構(gòu) 規(guī)范給出第j振型i質(zhì)點(diǎn)上的水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-55/70 xji振型向量 中的元素i（j振型i質(zhì)點(diǎn)的水平相對(duì)位移）Gi 質(zhì)點(diǎn)i的重量（重力荷載代表值 ） 對(duì)于第j振型對(duì)結(jié)構(gòu)的地震作用效應(yīng)，可將當(dāng)作一組靜載施加于結(jié)構(gòu)，計(jì)算其內(nèi)力、位移（地震作用效應(yīng)）。對(duì)于各振型的總作用效應(yīng)： j(1 )jiFin21njjSS 上式稱為平方和開方法（SRSS法），適用于平面問題的計(jì)算，當(dāng)用振型分解反應(yīng)譜法對(duì)結(jié)構(gòu)物作空間分析，也即考慮結(jié)構(gòu)物的空間扭轉(zhuǎn)效應(yīng)時(shí)，采用完整二次項(xiàng)組合法（CQC法） 土木工程學(xué)院有限單元法有限

32、單元法P-56/702.按扭轉(zhuǎn)耦連振型分解法計(jì)算按扭轉(zhuǎn)耦連振型分解法計(jì)算1）單向水平地震的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)： 式中：SEK ：地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)； Sj、Sk：分別為j、k振型地震作用標(biāo)準(zhǔn)值的效應(yīng)，可取前915個(gè)振型； j、k分別為j、k振型的阻尼比； jk第j振型與k振型的耦聯(lián)系數(shù)； T：k振型與j振型自振周期比。11mmEKjkjkjkSS S1.522281141jkTTjkTjkTT 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-57/70 按扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)振型分解法計(jì)算，可取兩個(gè)正交水平位移和一個(gè)轉(zhuǎn)角，共三個(gè)自由度計(jì)算。 j振型i層水平地震作用標(biāo)準(zhǔn)值xjijtjjiiFX G yjijtjjiiFY

33、G 2tjijtj ijiiFrG 式中：Fxji、Fyji、Ftji分別為j振型i層的x方向、y方向和轉(zhuǎn)角方向的地震作用標(biāo)準(zhǔn)值；Xji、Yji分別為j振型i層質(zhì)心在x、y方向的水平相對(duì)位移； 2）雙向水平地震的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)：土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-58/70jij振型i層的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角； rii層轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，可取i層繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量除以該層質(zhì)量的商的正二次方根；tj計(jì)入扭轉(zhuǎn)的j振型的參與系數(shù)。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-59/706.5 時(shí)程分析法時(shí)程分析法 （直接積分法、步步積分、逐步積分） 反應(yīng)譜理論盡管考慮了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，然而它仍然是把地震慣性力當(dāng)作靜力來對(duì)待，所求的是一

34、個(gè)綜合的最大值，所以還只是一種準(zhǔn)動(dòng)力方法。 時(shí)程分析法是采用地震加速度時(shí)程曲線作為輸入?yún)?shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行地震反應(yīng)的時(shí)間歷程分析，是一種完整的動(dòng)力分析方法。 可以用于:（1）地震反應(yīng)分析（2）擬動(dòng)力試驗(yàn)土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-60/70優(yōu)點(diǎn)：（1）全面考慮了強(qiáng)震中震動(dòng)的振幅、頻譜和持時(shí)振幅、頻譜和持時(shí)三要素。（2）全面考慮了長(zhǎng)周期分量對(duì)高層建筑的不利影響。（3）可了解到地震過程中結(jié)構(gòu)物的屈服機(jī)制和較準(zhǔn)確地找出結(jié)構(gòu)的薄弱部位。土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-61/70土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-62/70塑性鉸發(fā)展過程土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-63/70 MDCDK

35、DR(子結(jié)構(gòu))擬動(dòng)力試驗(yàn)計(jì)算子結(jié)構(gòu)試驗(yàn)子結(jié)構(gòu)土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-64/70基本思想：將本來應(yīng)在任何時(shí)刻都應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程 MDCDKDR的位移矢量D簡(jiǎn)化為只要在時(shí)間離散點(diǎn)上滿足方程。而在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，對(duì)位移、速度、加速度的關(guān)系則采用某種假定。 依所取假定不同而有各種不同的積分方法。如假定在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)加速度按線性變化的線加速度法，以線加速度法為基礎(chǔ)的wilson-法，以及Newmark-法等。 土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-65/70一、線加速度法的基本原理一、線加速度法的基本原理 因?yàn)閣ilson-法是以線加速度法為基礎(chǔ)的，故首先介紹其基本原理。 在時(shí)刻ti到ti+

36、1（ti+1=ti+t）之間，假定ti時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)的地震響應(yīng)( )是已知的，ti+1時(shí)刻的質(zhì)點(diǎn)的地震響應(yīng)（ ）是待求量。 線加速度法假定在每個(gè)時(shí)間間隔t內(nèi)的加速度呈線性變化。因此，位移對(duì)時(shí)間的三階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為常數(shù)，即： 1 iiiyyyytt常數(shù)(a),iiiy y y 111,iiiyyy在時(shí)段t內(nèi)，剛度、阻尼都不變化土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-66/70對(duì)求導(dǎo)得： 22iiyyyyt當(dāng)=t時(shí)，即時(shí)程由ti變化到ti+1時(shí)，由式（c）得： 23126iiiitytyyytyt (d)或?qū)懗桑?22126iiiittyyyytyy (e)將時(shí)刻的位移反應(yīng)y （即前面的D）在時(shí)刻ti開始時(shí)展開

37、成泰勒級(jí)數(shù)： 231!2!3!iiiiyyyyy(b)將式（a）代入式（b）得： 2326iiiyyyyyt(c)土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-67/70由式（e）得： 2663iiyyyytt (g)將式（g）代入式（f）可得： 332iityyyyt (h)由式（d）得： 12iiityyyty 或?qū)懗桑?2ityyty (f)加速度增量和位移增量的關(guān)系速度增量和位移增量的關(guān)系土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-68/70在t+t時(shí)，式（i）同樣成立： ()()()()my ttcy ttky ttp tt(j)將速度增量的表達(dá)式（h）和加速度增量表達(dá)式（g）代入上式并整理得： ( )( )( )( )m y tc y tk y tp t (k)*( )*( )ky tpt (l)從式（g）和式（h）可看出，速度增量、加速度增量都可以通過位移增量y算出，為了求y ，我們先討論單自由度的情況，然后再擴(kuò)展到多自由度。 單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程為： ( )( )( )( )my tcy tky tp t(i)土木工程學(xué)院有限單元法有限單元法P-69/70式（l）叫增量擬靜力平衡方程，據(jù)此可算出y （因?yàn)椴介L(zhǎng)t及 、 等均為已知），再由式（h）、（g）計(jì)算出 、 ，于是得到了 、 和 。重復(fù)以上過程便可以得到各時(shí)刻的地震反應(yīng)。(為減少誤