第四章 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

1、1靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第四章 第三節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移 第一節(jié) 結(jié)構(gòu)位移和虛功原理 第二節(jié) 變形體系虛功原理和單位荷載法 第五節(jié) 互等定理 第四節(jié) 圖乘法2第一節(jié) 結(jié)構(gòu)位移和虛功原理一、靜定結(jié)構(gòu)的位移 靜定結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座移動(dòng)以及制造誤差等因素作用下，結(jié)構(gòu)的某個(gè)截面通常會(huì)產(chǎn)生水平線位移、豎向線位移以及角位移。1. 截面位移桁架受荷載作用剛架受荷載作用BuAPFBVBCABCPFcvcuc3ABAHBH ABAVBV qABAHBHABPFAVBVb)c) A、B截面相對(duì)豎向位移 A、B截面相對(duì)水平位移2. 相對(duì)位移4e)d)AVBVABlAlBAVBV 為AB桿轉(zhuǎn)角ABPFA

2、為A左、右截面相對(duì)轉(zhuǎn)角5次梁跨中撓度主梁跨中撓度樓蓋跨中撓度吊車梁跨中撓度二、位移計(jì)算的目的1）驗(yàn)算結(jié)構(gòu)的剛度11()200300l1400l11()200300l11()500600l62）為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移計(jì)算準(zhǔn)備條件 求解超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，只利用平衡條件不能求得內(nèi)力或位移的唯一解，還要補(bǔ)充位移條件。12kN7.5kN.m9kN.m2m2mABkNFyB75. 3 如右圖示超靜定單跨梁，若只滿足平衡條件，內(nèi)力可以由無窮多組解答，例如 可以取任意值。yBF7三、實(shí)功和虛功：1. 實(shí)功 力 在由該力引起的位移 上所作的功稱為實(shí)功。即1PF1 右圖中，外力是從零開始線性增大至 ，位移也從零線性

3、增大至 。 也稱為靜力實(shí)功。 1PF11112PWFFP111121PFW82. 虛功 力FP在由非該力引起的位移上所作的功叫作虛功。右圖簡(jiǎn)支梁，先加上 ，則兩截面1PF1、2之位移分別為 、 。然后加 122PF，則1、2截面產(chǎn)生新的位移 。12和FP1FP21212129實(shí)功：虛功：11221122PPFF11PF虛功強(qiáng)調(diào)作功的力與位移無關(guān)。FP1FP212121210第二節(jié) 變形體系的虛功原理和單位荷載法一、 變形體系的虛功原理 定義：設(shè)變形體在力系作用下處于平衡狀態(tài)，又設(shè)該變形體由于其它原因產(chǎn)生符合約束條件的微小連續(xù)變形，則外力在位移上做的外虛功W恒等于各微段應(yīng)力的合力在變形上作的內(nèi)虛

4、功Wi ，即W=Wi 。11下面討論W及Wi 的具體表達(dá)式。條件：1）存在兩種狀態(tài)： 第一狀態(tài)為作用有平衡力系； 第二狀態(tài)為給定位移及變形。 以上兩種狀態(tài)彼此無關(guān)。 2）力系是平衡的，給定的變形是符合 約束條件的微小連續(xù)變形。 3）上述虛功原理適用于彈性和非彈性 結(jié)構(gòu)。12ds1C2C( )w s123第二狀態(tài)（給定位移和變形）dsddsds0dds0ddsddsMMQFQFNFNFsd1RF2RF1PF2PF3PFq(s)q(s)dsds第一狀態(tài)（給定平衡力系）131122331122( ) ( )( ) ( )PPPRRPiiRKKiKWq s w s dsFFFF CF CWq s w

5、s dsFF C 外力虛功：微段ds的內(nèi)虛功dWi：00()iQNQNQNdWMdF dF dM dsFdsF dsMFFds整根桿件的內(nèi)虛功為：0()iiQNWdWMFFds14根據(jù)虛功方程W=Wi，所以有：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFFCMFFds 結(jié)構(gòu)通常有若干根桿件，則對(duì)全部桿件求總和得：0( ) ( ) ()PiiRKKiKQNq s w s dsFF CMFFds 15小結(jié)： 只要求兩個(gè)條件：力系是平衡的，給定的變形是符合約束條件的微小連續(xù)變形。 上述虛功原理適用于各類結(jié)構(gòu)（靜定、超靜定、桿系及非桿系結(jié)構(gòu)），適用于彈性或非彈性結(jié)構(gòu)。 考慮了桿件的

6、彎曲、剪切及軸向變形。1)2)3)16變形體虛功原理有兩種應(yīng)用形式，即虛力原理和虛位移原理。虛力原理：虛設(shè)平衡力系求位移; 虛位移原理：虛設(shè)位移求未知力。 用變形體虛力原理求靜定結(jié)構(gòu)的位移，是將求位移這一幾何問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。 01()RKKQNKF CMFFds所以01()QNRKKKMFFdsF C1=1PF 在變形體虛功方程中，若外力只是一個(gè)單位荷載 ，則虛功方程為 ：二、 單位荷載法17 下面以圖示剛架為例對(duì)位移計(jì)算的一般公式加以具體說明。給定位移、變形虛設(shè)平衡力系A(chǔ)BC1PF MMdsNFNFQFQF1RF2RFCV1. 欲求 ，則在C截面加上豎向單位載荷 ，則該靜定剛架就產(chǎn)生

7、了一組平衡力系。11PFABCPFcvcuc182. 位移計(jì)算一般公式 外力虛功 內(nèi)虛功 所求位移1CVRKKKWFC 0()iQNWMFFds01()CVQNRKKKMFFdsF CCV給定的位移和變形。力和位移無關(guān)。11PF3. 小結(jié)1） 單位載荷 在結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力和支座反力， 012dsdsdsCC、及QNRKM FFF、 、 、19=1CVW，則 與 同向；若求得的 ， 0CVCV1PF3）外力虛功 這一項(xiàng)前取正號(hào)。若求得的0CV則 與 反向。CV1PFMdds2）正負(fù)號(hào)規(guī)則： 若 及 使桿件同側(cè)纖維伸長(zhǎng)，則乘積為正，反之為負(fù)； 乘積 及 的正負(fù)號(hào)分別由力與應(yīng)變的正負(fù)號(hào)確定。 使隔離

8、體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)， 以順時(shí)針方向?yàn)檎?，反之為?fù)； 以拉力為正，壓力為負(fù)， 以拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?fù)； 若 與 同向，則乘積 為正，反之為負(fù)。0QFdsNFdsQF0NFRKFKCRKKF C204）根據(jù)所求位移的性質(zhì)虛設(shè)相應(yīng)的單位載荷。圖示單位荷載分別求位移 。CHCVC、ABC1115）求位移步驟如下：沿?cái)M求位移方向虛設(shè)性質(zhì)相應(yīng)的單位載荷；求結(jié)構(gòu)在單位載荷作用下的內(nèi)力和支座反力；利用位移計(jì)算一般公式求位移。 21第三節(jié) 靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移一、 基本公式虛設(shè)平衡力系CABDNQFFM,FP=1給定位移、變形 求下圖示結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移 。FPCABqD,0 , DH,D

9、V,D(MP,FQP,FNP )D2201()QNM dsFFds 若結(jié)構(gòu)只有荷載作用，則位移計(jì)算一般公式為：PMEI0QPkFGANPFEA 上式適用的條件是：小變形，材料服從虎克定律，即體系是線性彈性體。1QPNPPQNkFFMMdsFdsFdsEIGAEA 1QQPNNPPkF FF FMMdsdsdsEIGAEA 在荷載作用下，應(yīng)變 與內(nèi)力0、 、PQPMF、 的關(guān)系式如下：（式中k為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)）NPF23正負(fù)號(hào)規(guī)則：1） 不規(guī)定 和 的正負(fù)號(hào)，只規(guī)定乘積MPMPMM的正負(fù)號(hào)。若 和 使桿件同一側(cè)纖維受MPM拉伸長(zhǎng)，則乘積為正，反之為負(fù)；正MMP正MMP負(fù)MMP24 若結(jié)構(gòu)除荷載

10、外，還有支座移動(dòng)和溫度變化，則位移計(jì)算公式為：2） 和 以拉力為正，壓力為負(fù)；NFNPF3） 和 的正負(fù)號(hào)見下圖。QFQPFQFQFQFQF1QQPNNPPkF FF FMMdsdsdsEIGAEA dsFtdsMhtCFNKKRK0)(25二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式1. 梁和剛架 在梁和剛架中，由于軸向變形及剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略，故位移計(jì)算公式為：=PMMdsEI 在高層建筑中，柱的軸力很大，故軸向變形對(duì)位移的影響不容忽略。 對(duì)于深梁，即h/l 較大的梁，剪切變形的影響不容忽略。262. 桁架 桁架各桿只有軸力，所以位移計(jì)算公式為：=NNPF FdsEANNPNNPF FF F lds

11、EAEA4. 拱NNPPF FMMdsdsEIEA 拱軸截面軸向變形的影響通常不能忽略：3. 組合結(jié)構(gòu)NNPPF F lMMdsEIEA 用于彎曲桿 用于二力桿27例6-3-1 求簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)豎向位移 ，并討論剪切變CV形對(duì)位移的影響。qxAMPFQPql/2xAMQF0.5ABCl/2l/2FP=1ABqCl/2l/228解：CVCQCM /2/223004341112()()222115( )( ) ( )23242384llCMqxqx lx dxlxx dxEIEIqllqllEIEI )0(21)0()(21lxqxqlFlxxlqxMQPP)20(2121lxFxMQ/2/20022

12、1 112()()2 221( )( ) ( )22228llCQkkqqlqx dxlx dxGAGAkqlllkqlGAGA29 若桿截面為矩形，則k=1.2；又=1/3，則E/G=2(1+ )=8/3，I/A=h2/12。222242)(56. 21123852.111408 .460538482 . 1lhlhlAIGEqlEIGAqlCMCQ若h/l=1/10，則 h/l=1/2， 則%56. 2CMCQ%64CMCQ可見，剪切變形的影響不能忽略。例6-3-2 圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩 I 均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移BU, 和位移B 。qaaACBx

13、E I=常 數(shù) 解: (1) 作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎矩方程。橫梁BC 2P21)(qxxM)0(ax 豎柱CA 2P21)(qaxMACBql2MP0.5)0(ax (2)求B 點(diǎn)的豎向位移BVACaBMa1 寫出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁BC 豎柱CA xxM)(axM)(aoBxEIMMdPVEIxqaaEIxqxxaoaod21d2122)(85212141434EIqaxaxEIqao)0(ax )0(ax M(3) 求B點(diǎn)的水平位移BU 在B點(diǎn)加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程 BCM=a xxAaa-x1橫梁BC 0)(xM豎柱CA xxM

14、)(aBxEIMM0PUdEIxqaxad21)(02)(414EIqa注意：負(fù)號(hào)表示位移的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。 )0(ax )0(ax （4）求B點(diǎn)的線位移B 2U2VBBBEIqa482933第四節(jié) 圖乘法 圖乘法是一種求積分的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，它把求積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積與豎標(biāo)的乘積的運(yùn)算。一、圖乘法基本公式為方便討論起見，把積分 改寫成dsEIMMPdsEIMMki。340001)()(1)(1)(1)(11yEIxabEIxabEIdbxaEIdxMbxaEIdxMMEIdsEIMMBABAkBAkiBAki()EIconst)(bxaMi()kM d xd()BoA

15、xdx)(00bxayMi圖yxMk圖d=MkdxMk(x)xx0dxAByxMi(x)=ax+bxx0ABy035說明：1）條件：AB桿為常截面直桿，即EI等于常數(shù)；Mi與Mk圖形中有一個(gè)是直線圖形。2）y0與的取值： y0一定取自直線圖形， 則取自另一個(gè)圖形，且取的圖形的形心位置是已知的，不必另行求解。3）若y0與在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積y0取正號(hào)；若y0與不在桿軸或基線的同一側(cè)，則乘積y0取負(fù)號(hào)。4）取的圖形在AB上不變號(hào)。36二、 常見圖形的幾何性質(zhì)l/2l/2二次拋物線h23lhl二次拋物線h二次拋物線3l/4l/4hlh315l/83l/8二次拋物線hlh3237三 、 圖乘法

16、舉例 運(yùn)用圖乘法進(jìn)行計(jì)算時(shí),關(guān)鍵是對(duì)彎矩圖進(jìn)行分段和分塊,尤其是正確的進(jìn)行分塊。1203132MMy1203132MMyM1M2y02l/3l/3M1M2y02l/3l/338 分段 圖均應(yīng)分為對(duì)應(yīng)的若干段，然后進(jìn)行計(jì)算。PMM、DBCDPPPPAABCMMMMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABCDABCDMPM39分塊只對(duì) 或 中的一個(gè)圖形進(jìn)行 分塊，另一個(gè)圖形不分塊。PMM1212()BBBBPPPPPAAAAMMM MMMMMMdsdsdsdsEIEIEIEIABABMMP1MP240例6-4-1 求 。AV解：作 圖 圖，如上圖所示。MPM分段： ， 分為AC、CB兩段。分塊

17、： 圖的CB段分為兩塊。MPMM1122331211()AVyyyEIEIMPMACBEI1EI21231FPCBy1y2y3EI1EI2A41 此題還可以這樣處理：先認(rèn)為整個(gè)AB桿的剛度是 ，再加上剛度為 的AC段，再減去剛度為 的AC段即可。2EI1EI2EICBACACA122MPEI2EI2EI1EI2+-FPACBACACMEI2EI2EI1EI2y2y2+-y1111222211)11(yEIyEIEIAV42BCPCAPAVdsMMEIdsMMEI2111CAPBCPCAPCAPdsMMEIdsMMEIdsMMEIdsMMEI22211111BAPCAPdsMMEIdsMMEIE

18、I2211)11(數(shù)學(xué)解釋43例6-4-2 求 , EI等于常數(shù)。CV解：作 圖 圖，如右圖所示。MPM分段： ， 分為AC、CB兩段。分塊： 圖的AC段分為兩塊。MPMPM1242 133 212 222 11y 12336) 4311632(2y EIEIyyEICV167.22)122134(1)(12211ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB21MPM2y2y144 如果將AC段的 圖如下圖那樣分塊，就比較麻煩。 PM16A4C84PM圖例5-5-3 求 , EI等于常數(shù)。B作 圖 圖，如下頁(yè)圖所示。MPM4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4k

19、N.m4kN2kN/m2mAC451116 8642218 142 11/2y 22120(412)333y 32324433 313(1 1/2)24y 1122331112032 3()( 644)233418013.33( 328)()3ByyyEIEIEIEI1/21My12y381244MP圖13y2圖1ACBBAC（kN.m)46例6-4-3 求 , EI等于常數(shù)。B解： 作 圖及 圖，如右所示。MPM分段： ， 分為AB、BC兩段。分塊： 圖的BC段分為兩塊。MPMPM6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y1M圖2yPM圖1412613

20、（kN.m)47112212122 1414233912421224(146)233333yy 3324 1232313y 1122331()124221( 1432)933315617.33()9ByyyEIEIEIEI1/61/62/31/312y3y1M圖2yPM圖1412613（kN.m)48例6-4-4 求CH，EI等于常數(shù)。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP圖和 圖見下頁(yè)圖。分塊：MP圖的AB段分為兩塊。M491122331832 421.53342324 423312 48(124)42yyy 1122331()1832(1.528 4)3316.67( 25.

21、3332)()CHyyyEIEIEIEI 42y3=4121MP圖(kN.m)2m2y22y1M圖13ABC450第五節(jié) 互等定理一、 功的互等定理PbFPaFQFMNF狀態(tài)IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF狀態(tài)I定理 在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功W12等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的虛功W21。1221WW即51120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA MdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA令

22、狀態(tài)I的平衡力系在狀態(tài)II的位移上做虛功，得到：PbFPaFQFMNF狀態(tài)IIAB12ab21PaFPbFAB2PF1PF12abba2PF1PFQFMNF狀態(tài)I52 同樣，令狀態(tài)II的平衡力系在狀態(tài)I的位移上做虛功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA 所以PPFF 1122PPPaaPbbFFFF 1221WW即53二、 位移互等定理定理 在任一線性變形體系中，由荷載FP1引起的與荷載FP2相應(yīng)的位移影響系數(shù)21等于由荷載FP2引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移影響系數(shù)12。即 12= 21狀態(tài)II2PF122212狀態(tài)I1PF122111

23、54212121PPFF由功的互等定理可得： 在線性變形體系中，位移ij與力FPj的比值是一個(gè)常數(shù)，記作ij，即：i ji jP jF或2112112212PPijPjijFFF于是21121221PPPPFFFF所以2112狀態(tài)II2PF122212狀態(tài)I1PF1221115511PF12211121PF122212說明：1） ij也稱為柔度系數(shù)，即單位力產(chǎn)生的位移。 i 產(chǎn)生位移的方位； j 產(chǎn)生位移的原因。2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，則相應(yīng)的12和21就是線位移影響系數(shù)或角位移影響系數(shù)。即荷載可以是廣義荷載，而位移則是廣義位移。兩個(gè)廣義位移的量綱可能不等，但它們的影

24、響系數(shù)在數(shù)值和量綱 上仍然保持相等。12()PPW F F56例6-5-1 驗(yàn)證位移互等定理。EIMaMaaEIEIFaFaaEI162141211162141211212221解：a/2a/21EIFP1=F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/41/2M/257EIaMEIaF16/16/2121222121所以2112例6-5-2 驗(yàn)證位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.m2124m1m1EIFP2=3kN21258解：2121211212121111025 41/52333111223 41/3233EIEIEIEIEIEI 所以211215311159三、反力互等定理 反力互等定理只適用于超靜定結(jié)構(gòu)，因?yàn)殪o定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)時(shí)只產(chǎn)生剛體位移，其內(nèi)力和支座反力均等