第12章 動能定理

1、2022-3-251第十二章第十二章動能定理動能定理2022-3-252第十二章第十二章 動能定理動能定理 121 力的功率力的功率 122 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 123 動能定理動能定理 124 功率功率 功率方程功率方程 機械效率機械效率 125 勢力場勢力場 勢能勢能 機械能守恒定理機械能守恒定理 126 普遍定理的綜合應(yīng)用普遍定理的綜合應(yīng)用2022-3-253功是代數(shù)量功是代數(shù)量12-1 力的功力的功 常力在直線運動中的功常力在直線運動中的功單位單位 J（焦耳）（焦耳） 1 J = 1 Nm 2022-3-254元功元功即即變力在曲線運動中的功變力在曲線運動中的功202

2、2-3-255力力 在在 路程上的功為路程上的功為記記則則2022-3-2561、重力的功、重力的功質(zhì)點系質(zhì)點系由由重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。重力的功只與始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。得得2022-3-2572、彈性力的功、彈性力的功彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)k(N/m)彈性力彈性力彈性力的功為彈性力的功為2022-3-258因因式中式中得得即即彈性力的功也與路徑無關(guān)彈性力的功也與路徑無關(guān)2022-3-2593. 定軸轉(zhuǎn)動剛物體上的功定軸轉(zhuǎn)動剛物體上的功則則若若 常量常量由由得得從角從角 轉(zhuǎn)動到角轉(zhuǎn)動到角 過程中力過程中力 的功為的功為2022-3-2510作用在作用在 點的力點的力

3、 的元功為的元功為力系全部力的元功之和為力系全部力的元功之和為4. 平面運動剛體上力系的功平面運動剛體上力系的功其中其中2022-3-2511其中其中: 為力系主失，為力系主失， 為力系對質(zhì)心的主矩。為力系對質(zhì)心的主矩。 當(dāng)質(zhì)心由當(dāng)質(zhì)心由 ，轉(zhuǎn)角由，轉(zhuǎn)角由 時，力系的功為時，力系的功為即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所即：平面運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化受各力作功的代數(shù)和，也等于力系向質(zhì)心簡化所得的力和力偶作功之和。所得的力和力偶作功之和。2022-3-2512說明：說明：1 1、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都適用；、對任何運動的剛體，上述結(jié)論都

4、適用；2 2、C C點不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點時，上點不是質(zhì)心，而是剛體上任意一點時，上述結(jié)論也成立；述結(jié)論也成立； 3 3、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作、計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。功的力。 2022-3-251312-2 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能質(zhì)點和質(zhì)點系的動能2、質(zhì)點系的動能、質(zhì)點系的動能1、質(zhì)點的動能、質(zhì)點的動能 單位：單位：J（焦耳）（焦耳）2022-3-2514（1）平移剛體的動能）平移剛體的動能（2）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能）定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 即即 即即 2022-3-2515即：平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移即：平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平移的動能與

5、繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。得得速度瞬心為速度瞬心為P（3）平面運動剛體的動能）平面運動剛體的動能上面結(jié)論也適用于剛體的任意運動。上面結(jié)論也適用于剛體的任意運動。2022-3-2516將將 兩端點乘兩端點乘 ，由于由于12-3 動能定理動能定理1、質(zhì)點的動能定理、質(zhì)點的動能定理因此因此得得上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。2022-3-2517稱質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的稱質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于某

6、個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。質(zhì)點的力作的功。積分之，有積分之，有2022-3-25182、質(zhì)點系的動能定理、質(zhì)點系的動能定理稱質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的稱質(zhì)點系動能定理的微分形式：質(zhì)點系動能的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的增量，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功的和。和。 由由求和求和得得2022-3-2519稱質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某稱質(zhì)點系動能定理的積分形式：質(zhì)點系在某一段運動過程中，起點和終點的動能改變量，一段運動過程中，起點和終點的動能改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功的和。作

7、功的和。積分之，有積分之，有2022-3-25203、理想約束、理想約束 1)光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類等光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、柔索類等約束的約束力作功等于零。約束的約束力作功等于零。稱約束力作功等于零的約束為理想約束。稱約束力作功等于零的約束為理想約束。 2)對理想約束，在動能定理中只計入主動力的功即可對理想約束，在動能定理中只計入主動力的功即可3)內(nèi)力作功之和不一定等于零。內(nèi)力作功之和不一定等于零。2022-3-2521 例例12-1 已知：已知：m,h,k,其它質(zhì)量不計。其它質(zhì)量不計。求：求：2022-3-2522解：解：2022-3-2523 例例12-2 已

8、知：輪已知：輪O的的R1、m1,質(zhì)量分布在輪緣上質(zhì)量分布在輪緣上; 均質(zhì)輪均質(zhì)輪C的的R2、m2純滾動純滾動, 初始靜止初始靜止 ;, M為常力偶。為常力偶。求：輪心求：輪心C走過路程走過路程S時的速度和加速度時的速度和加速度2022-3-2524輪輪C與輪與輪O共同作為一個質(zhì)點系共同作為一個質(zhì)點系解：解：2022-3-25252022-3-2526式式(a)是函數(shù)關(guān)系式，是函數(shù)關(guān)系式，兩端對兩端對t求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得2022-3-2527求：沖斷試件需用的能量求：沖斷試件需用的能量 例例12-3 沖擊試驗機沖擊試驗機m=18kg, l=840mm, 桿重不計，桿重不計，在在 時靜止釋放，沖斷試

9、件后擺至?xí)r靜止釋放，沖斷試件后擺至2022-3-2528得沖斷試件需要的能量為得沖斷試件需要的能量為解：解：2022-3-2529 例例12-5：已知：已知：r1 ， m1 均質(zhì)；桿均質(zhì)；桿m均質(zhì)，均質(zhì)，O1O2=l , M=常量，純滾動，處于水平面內(nèi)，初始靜止。常量，純滾動，處于水平面內(nèi)，初始靜止。 求：求：O1O2轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過角的角的、2022-3-2530研究整個系統(tǒng)研究整個系統(tǒng)解：解：2022-3-25312022-3-2532式式(a)對任何對任何均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得均成立，是函數(shù)關(guān)系，求導(dǎo)得注意注意：輪：輪、接觸點接觸點C不是不是理想約束，其摩擦力理想約束，其摩擦力Fs盡管盡管在

10、空間是移動的，但作用于在空間是移動的，但作用于速度瞬心，故不作功。速度瞬心，故不作功。2022-3-2533 例例12-6：均質(zhì)桿：均質(zhì)桿OB=AB=l, m在鉛垂面內(nèi)；在鉛垂面內(nèi)；M=常常量，初始靜止，不計摩擦。量，初始靜止，不計摩擦。解：解： 求：當(dāng)求：當(dāng)A運動到運動到O點時，點時，2022-3-25342022-3-253512-4 功率、功率方程、機械效率功率、功率方程、機械效率由由 ，得，得1、功率：單位時間力所作的功稱功率、功率：單位時間力所作的功稱功率即：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。即：功率等于切向力與力作用點速度的乘積。 2022-3-2536單位單位W（瓦特），（瓦特

11、），1W=1J/S作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力的功率為2022-3-25372、功率方程、功率方程稱功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等稱功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。于作用于質(zhì)點系的所有力的功率的代數(shù)和。或或2022-3-25383、機械效率、機械效率機械效率機械效率有效功率有效功率多級轉(zhuǎn)動系統(tǒng)多級轉(zhuǎn)動系統(tǒng)2022-3-2539例例12-7 已知：已知：若若 ，求，求F的最大值。的最大值。求：切削力求：切削力F的最大值的最大值2022-3-2540解解:當(dāng)當(dāng)時時2022-3-2541例例12-8: 已知已知 m .

12、l0 .k . R .J求：系統(tǒng)的運動微分方程。求：系統(tǒng)的運動微分方程。2022-3-2542解：解：2022-3-25432022-3-2544令令 為彈簧靜伸長，即為彈簧靜伸長，即mg=k ,以平衡位置為以平衡位置為原點原點2022-3-2545力場力場：為物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所為物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。在位置確定的力作用，則這部分空間稱為力場。勢力場勢力場：當(dāng)物體在某力場中運動時，若作用與物體上的力所作的當(dāng)物體在某力場中運動時，若作用與物體上的力所作的功只與該點的始末位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無

13、關(guān)，則該力功只與該點的始末位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，則該力場稱為勢力場，該力稱為有勢力。場稱為勢力場，該力稱為有勢力。勢能勢能：在勢力場中，任意選定某一位置作為基準(zhǔn)位置：在勢力場中，任意選定某一位置作為基準(zhǔn)位置零位置零位置( (零勢能面零勢能面) )，當(dāng)質(zhì)點，當(dāng)質(zhì)點從任意位置到達零位置從任意位置到達零位置時有勢時有勢力力所作所作的功的功稱為稱為質(zhì)點在給定位置的勢能。用質(zhì)點在給定位置的勢能。用V V表示。表示。12-5 勢力場勢力場.勢能勢能.機械能守恒定律機械能守恒定律1.勢力場勢力場 力場力場 稱勢能零點稱勢能零點2022-3-25461.勢力場勢力場勢力場：勢力場： 場力的功只與力

14、作用點的始、末位置有場力的功只與力作用點的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。關(guān)，與路徑無關(guān)。2.勢能勢能 稱勢能零點稱勢能零點 力場力場 2022-3-2547（1）重力場中心勢能）重力場中心勢能（2）彈性力場的勢能）彈性力場的勢能2022-3-2548（3）萬有引力場中的勢能）萬有引力場中的勢能2022-3-2549取零勢能點在無窮遠取零勢能點在無窮遠質(zhì)點質(zhì)點重力場重力場2022-3-2550 例如：例如： 已知已知:均質(zhì)桿均質(zhì)桿l, m 彈簧強度彈簧強度 k, AB水平時水平時平衡，彈簧變形平衡，彈簧變形 2022-3-2551取彈簧自然位置取彈簧自然位置O為零勢能點為零勢能點:由由得得2022

15、-3-2552取桿平衡位置為零勢能點取桿平衡位置為零勢能點:即即質(zhì)點系在勢力場中運動質(zhì)點系在勢力場中運動,有勢力功為有勢力功為2022-3-25533. 機械能守恒定律機械能守恒定律由由即：質(zhì)點系僅在有勢力作用下運動時，機械能守即：質(zhì)點系僅在有勢力作用下運動時，機械能守恒。此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)恒。此類系統(tǒng)稱保守系統(tǒng)及及得得2022-3-2554 例：已知：重物例：已知：重物m=250kg, 以以v=0.5m/s勻速勻速下降，鋼索下降，鋼索 k=3.35 N/m 求求: 輪輪D突然卡住時，鋼索的最大張力突然卡住時，鋼索的最大張力2022-3-2555卡住前卡住前 卡住時：卡住時：解：解：2022-

16、3-2556得得即即由由 有有2022-3-2557取水平位置為零勢能位置取水平位置為零勢能位置例：已知：例：已知：m, , k水平位置平衡水平位置平衡 OD=CD=b求：初速求：初速 時，時， =?解：解：2022-3-25584. 勢力場的其他性質(zhì)：勢力場的其他性質(zhì)：( 1 ) （2）勢能相等的點構(gòu)成等勢面）勢能相等的點構(gòu)成等勢面 （3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向能減小的方向2022-3-2559 2022-3-25602022-3-25612022-3-25622022-3-25632022-3-2564圓盤速度瞬心為圓盤速度瞬心為C,

17、 解：解：2022-3-2565均不作功。均不作功。2022-3-2566注意：注意：1、摩擦力、摩擦力Fd 的功的功 S 是力在空間的位移，是力在空間的位移，不是不是 受力作用點的位移。受力作用點的位移。將式將式(a)兩端對兩端對t求導(dǎo)，并利用求導(dǎo)，并利用得得2022-3-2567不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算：不作功的力可不考慮，因此亦可如下計算： 2、亦可將力系向點、亦可將力系向點O簡化，即簡化，即2022-3-2568例：已知例：已知 l, m求：桿由鉛直倒下，剛到達地面時的角速度和地面求：桿由鉛直倒下，剛到達地面時的角速度和地面約束力。約束力。2022-3-2569解：解：成成

18、 角時角時2022-3-2570（ a ）（ b）時時2022-3-2571由（由（ a ）,（ b ）,（ c ） 得得由由其中：其中： 鉛直鉛直 水平水平(c)2022-3-2572例：已知例：已知 均質(zhì)園輪均質(zhì)園輪m,r,R ，純滾動，純滾動求：輪心求：輪心的運動微分方程的運動微分方程2022-3-2573解解:重力的功率重力的功率2022-3-2574（ 很?。┖苄。?022-3-2575本題也可用機械能守恒定律求解。本題也可用機械能守恒定律求解。得得2022-3-2576 例：已知兩均質(zhì)輪例：已知兩均質(zhì)輪m,R;物塊物塊m, ，純滾動，于純滾動，于彈簧原長處無初速釋放。彈簧原長處無初速釋放。求：重物下降求：重物下降h時時 ，v、a及滾輪與地面的摩擦力。及滾輪與地面的摩擦力。2022-3-2577解：解：2022-3-2578將式（將式（a）對）對t 求導(dǎo)求導(dǎo)（a）2022-3-2579得得其中其中2022-3-2580 例：已知例：已知 輪輪I ：r, m1; 輪輪III :r，m3; 輪輪II ：R=2r, m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為為20度，物塊：度，物塊：mA；摩擦力不計。；摩擦力不計。求：求：O1 O2處的約束力。處的約束