拉普拉斯變換及其應用

1、式中的式中的 s s 被稱為是被稱為是jsdttfLsFetfst0)()()(定義：已知有實函數)(tf，其j這個平面就被這個平面就被我們稱為是我們稱為是S S域或復數域域或復數域條件是式中等號右邊的積分存在(收斂)。 )(tf0)(dtetfstt)(sFss)(tf)(sF)(sF)(tf在自動控制原理中，單位階躍函數是一個突加作用信在自動控制原理中，單位階躍函數是一個突加作用信號，相當一個開關的閉合號，相當一個開關的閉合( (或斷開或斷開) )。在求它的象函數前，首先應給出單位階躍函數的定義在求它的象函數前，首先應給出單位階躍函數的定義式。式。在自動控制系統(tǒng)中，單位階躍函數相當一個突加

2、作在自動控制系統(tǒng)中，單位階躍函數相當一個突加作用信號。它的拉氏式由定義式有：用信號。它的拉氏式由定義式有： 常用函數的拉氏變換對照表常用函數的拉氏變換對照表)()()()()()(212121sFsFtfLtfLtftfL)()()(sKFtfKLtKfL1.疊加定理兩個函數代數和的拉氏變換等于兩個函數拉氏變換的代數和。即:2.比例定理K倍原函數的拉氏變換等于原函數拉氏變換的K倍。即:0)0()0()0(1nfff3.微分定理在零初始條件下，即： )()(sFstfLnn則：上式表明，在初始條件為零的前提下，原函數的 階導數的拉氏式等于其象函數乘以 。 nns4.積分定理在零初始條件下，即：

3、0)()()(01020 tnttdttfdttfdttf則：nnssFdttfL)()( 上式表明，在零初始條件下，原函數的 重積分的拉氏式等于其象函數除以 nns5.延遲定理 當原函數 延遲 時間，成為 時，它的拉氏式為：)(tf)(tf)()(sFetfLs上式表明，當原函數 延遲 ，即成 時，相應的象函數 應乘以因子 。 )(tf)(tf)(tFse6.終值定理 )(lim)(lim0ssFtfst上式表明原函數在 時的數值(穩(wěn)態(tài)值)，可以通過將象函數 乘以 后，再求 的極限值來求得。條件是當 和 時，等式兩邊各有極限存在。 )(tf)(tFs0s0st終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能

4、時終值定理在分析研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能時( (例如分析系統(tǒng)例如分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等的穩(wěn)態(tài)誤差，求取系統(tǒng)輸出量的穩(wěn)態(tài)值等) )有著很多的有著很多的應用。因此終值定理也是一個經常用到的運算定理。應用。因此終值定理也是一個經常用到的運算定理。 jcjcstdsesFjsFLtf)(21)()(1拉氏變換和反變換是一一對應的，所以通常拉氏變換和反變換是一一對應的，所以通?？梢酝ㄟ^查表來求取原函數?？梢酝ㄟ^查表來求取原函數。 atetf 2)()(tfstLL2)( 122aseLat1解：由比例定理可知：)(23122)(assasasseLtFat通過查表可知：再根據疊加定理，可

5、求得 的象函數為：) 1(12sss解：首先用部分分式展開法，將所給的象函數展開：1) 1(12sBsAsss其中，A、B是待定系數，將上式進行通分后可得：) 1()() 1() 1(1ssAsBAssBssAsBsA比較以上兩式的分子，可得：112BAABA通過查表，可求得：tessLsssLtf1111) 1(12()(11S (t=0)+-RC+-UC這是一個一階電路，我們取電容兩端的電壓為輸出電壓，設開關S閉合前，電路處于零初始狀態(tài)，即：0)0(cu在t=0時，開關S閉合，電路接入直流電源Us。則根據KVL定理，有：scRUuus代入電路，可得到電路的RiuRdtduCicc把和微分方

6、程：sccUudtduRC現在，我們就來解這個微分方程0sccUudtduRCdtduRCUucscRCdtUuduscc分離變量，有：1)ln(cRCtUusc兩邊同時積分：兩邊再同時取指數：1)()ln(cRCtUueesc1)(cRCtsceeUu2)(ceUuRCtscsUc 2)1 (RCtsceUu整理得：并令：12cec則有：將初始條件：t=0時，c(0-)=0代入上式，可得：所以最后求得該微分方程的解為：現在對于上面的微分方程，我們有sccUudtduRC由題可知sUsURCssc1)() 1()()()(sRUsUsRCsUscc單位階躍函數的單位階躍函數的Laplace變換變換利用待定系數法可求得)1 ()()1 ()1 ()1 ()1()1 (1)(RCsssBARCAURCssBsRCssRCAU