特殊曲面及其方程--柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)面

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上引言 空間解析幾何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次特殊曲面。本論文中將利用直線或曲線適合某幾何特征來建立一些曲面的方程。主要討論由直線產(chǎn)生的柱面和錐面，曲線產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面這三大類。1.柱面圖1定義1：一直線平行于一個定方向且與一條定曲線相交而移動時(shí)所產(chǎn)生的曲面叫做柱面（圖1），曲線作叫做準(zhǔn)線。構(gòu)成柱面的每一條直線叫做母線。顯然，柱面的準(zhǔn)線不是唯一的，任何一條與柱面所有母線都相交的曲線都可以取做柱面的準(zhǔn)線，通常取一條平面曲線作為準(zhǔn)線。特別地，若取準(zhǔn)線為一條直線，則柱面為一平面，可見平面是柱面的特例。下面分幾種情形討論柱面的方程。1.1 母線平行于坐標(biāo)

2、軸的柱面方程選取合適的坐標(biāo)系，研究對象的方程可以大為化簡。設(shè)柱面的母線平行于軸，準(zhǔn)線為面上的一條曲線，其方程為： 圖2又設(shè)為柱面上一動點(diǎn)（圖2），則過點(diǎn)與軸平行的直線是柱面的一條母線，該母線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)記為，因點(diǎn)在準(zhǔn)線上，故其坐標(biāo)應(yīng)滿足準(zhǔn)線方程，這表明柱面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程 反過來，若一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，過作軸的平行線交面于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足準(zhǔn)線的方程，這表明點(diǎn)在準(zhǔn)線上，因此直線是柱面的母線 (因?yàn)橹本€的方向向量為)，所以點(diǎn)在柱面上。綜上所述，我們有如下結(jié)論：母線平行上于軸，且與面的交線為的柱面方程為： （1）它表示一個無限柱面。若加上限制條件，變得它的一平截段面。同理，母線平行于軸，且與

3、面的交線為的柱面方程為；母線平行于軸，且與面的交線為的柱面方程為。定理1：凡三元方程不含坐標(biāo)中任何一個時(shí)必表示一個柱面，它的母線平行于方程中不含那個坐標(biāo)的坐標(biāo)軸。應(yīng)該注意，如果母線不平行于坐標(biāo)，柱面方程就要包含所有的坐標(biāo)。例1：以面上的橢圓，雙曲線和拋物線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面方程分別為 圖3它們分別叫做橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面，由于它們的準(zhǔn)線是二次曲線，故又統(tǒng)稱為二次柱面，其圖形見（圖3）。例2：證明，若柱面的準(zhǔn)線為母線方向?yàn)椋瑒t柱面方程為 （2）證：設(shè)為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則過此點(diǎn)的柱面母線的參數(shù)方程為： （為叁數(shù)） 當(dāng)點(diǎn)遍歷準(zhǔn)線上的所有點(diǎn)，那么母線就推出柱面，消去參數(shù)，由式中最后一個式子

4、得，代入其余兩個式子，有因點(diǎn)在準(zhǔn)線上，代入，即得(2)式若柱面的準(zhǔn)線為 母線方向?yàn)?則柱面方程為： （3）若柱面的準(zhǔn)線為： 母線方向?yàn)?則柱面方程為 （4）1.2 柱面的一般方程設(shè)柱面的準(zhǔn)線是一條空間曲線，其方程為母線方向?yàn)?，在?zhǔn)線上任取一點(diǎn)，則過點(diǎn)的母線方程是： （為叁數(shù)）這里是母線上點(diǎn)的流動坐標(biāo)。因點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足：從上面這兩組式子中消去參數(shù)，最后得一個三元方程 (5)這就是以為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為的柱面方程。 例3：柱面的準(zhǔn)線是球面與平面的交線，母線方向是，求柱面的方向。解：設(shè)是準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則過這點(diǎn)的母線方程為由此得 代入準(zhǔn)線方程，得 消去參數(shù)，得 展開，化簡后得 這就是所求的柱面方程。

5、1.3 柱面的參數(shù)方程設(shè)柱面的準(zhǔn)線的參數(shù)方程為： ：母線方向?yàn)橛衷O(shè)是準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則過的母線方程為 （為參數(shù)）令在準(zhǔn)線上移動，即讓取所有可能的值，并讓取所有可能的值，則由上式?jīng)Q定的點(diǎn)的軌跡就是所求的柱面。因此，柱面的參數(shù)方程是： （6）例4：設(shè)柱面的準(zhǔn)線為： 母線方向?yàn)椋笾娴姆匠?。解：?6)式，柱面得參數(shù)方程為： 從上式中消去參數(shù)和，得住面的一般方程 1.4 由生成規(guī)律給出柱面的方程有時(shí)不給出柱面的準(zhǔn)線，只給出生成規(guī)律下面舉一例。 圖4例5：求以直線為軸，半徑為的圓柱面方程，其中直線通過點(diǎn),方向向量為。解：設(shè)為所求柱面上的一點(diǎn)（圖4），按題意到的距離為，設(shè)，按向量的定義有兩端平方即得所求

6、柱面的向量是方程： 寫成坐標(biāo)式，即 若利用公式 則式又可寫成 或= 特別地，若取直線為軸，令，則比時(shí)柱面方程為 。1.5 曲線的射影柱面圖5定義2：設(shè)是一條空間曲線，為一平面，經(jīng)過上每一點(diǎn)作平面的垂線，由這些垂線構(gòu)成的柱面叫做從到的射影柱面（圖5）顯然，在上的射影就是從到的射影柱面與的交線。通常我們將平面取為坐標(biāo)平面。給定空間曲線 那么怎樣求曲線到平面上的射影柱面方程？因?yàn)檫@個柱面的母線平行于軸，因此它的方程中不應(yīng)含變量，這樣只要消去即從的某一個方程中解出來，把它代入另一個方程中，就得到從向面的射影柱面方程： 同理，曲線在另外兩個坐標(biāo)平面上的射影柱面方程分別為：因?yàn)樯溆爸娣匠瘫纫话闳匠毯?/p>

7、單，所以常用兩個射影柱面方程來表示空間曲線。具體做法是：從曲線的方程中輪流消去變量與，就分別得到它在面，面和面上的射影柱面方程，然后于這三個柱面方程中選取兩個形式簡單的聯(lián)立起來，那么就得到了原曲線的形式較簡單的方程且便于作圖。例6：求曲線在面上的射影。解：欲求曲線在面上的射影，需先求出曲線到面上的射影柱面，這又須從曲線方程消去，由的第一個方程減去第二個方程并化簡得 或 將代入曲線的方程中的任何一個，得曲線到面的射影柱面：故兩球面交線在面的射影曲線方程是 這是一橢圓.2. 錐面圖6定義3：通過一定點(diǎn)且與一條曲線相交的一切直線所構(gòu)成的曲面叫做錐面（圖6），定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn)，定曲線叫做錐面的準(zhǔn)線，

8、構(gòu)成錐面的直線叫做錐面的母線。由定義3，可見，錐面有個顯著的特點(diǎn)：頂點(diǎn)與曲面上任意其它點(diǎn)的聯(lián)線全在曲面上。顯然，錐面的準(zhǔn)線不是唯一的，任何一條與所有母線相交的曲線都可以作為錐面的準(zhǔn)線。通常取一條平面曲線作為準(zhǔn)線。下面分幾種 情形討論錐面的方程：2.1 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為平面曲線的錐面方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線在平面上，其方程為 圖7又設(shè)為錐面上一動點(diǎn)（圖7），為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且、三點(diǎn)共線，則或即，于是。由于應(yīng)滿足，可見應(yīng)滿足方程： 反過來，若一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程(1)，則將上式逆推可知，點(diǎn)在過點(diǎn)與的直線上，因而在錐面的母線上，即點(diǎn)是錐面上的點(diǎn)。因此，以原點(diǎn)為錐頂，準(zhǔn)線為或的錐面方程分別為： 例7：采用上式易

9、知，以原點(diǎn)為錐頂，準(zhǔn)線為橢圓 雙曲線 和拋物線 的錐面方程分別是： 和 即 和 。圖8這三個二次方程都是關(guān)于、的二次齊次方程，因此統(tǒng)稱為二次錐面（圖8）。2.2 錐面的一般方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線為一空間曲線： 頂點(diǎn)的坐標(biāo)為。又設(shè)為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)的母線方程為：因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，故應(yīng)有 （7）從以上一組方程中消去可得 這就是以為準(zhǔn)線為頂點(diǎn)的錐面方程。例8：錐面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且準(zhǔn)線為 求錐面的方程。解：設(shè)為準(zhǔn)線上的任意點(diǎn)，那么過的母線為 且有 由、得 代入得所求的錐面方程為 這個錐面叫做二次錐面。定理2：關(guān)于的齊次方程表示以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面。證：設(shè)是關(guān)于的次齊次方程，點(diǎn)是方程所表示的曲面上的任意一點(diǎn)（

10、但不是原點(diǎn)），那么連結(jié)，在此直線上任取一點(diǎn)，因?yàn)?，故有把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲面的方程，利用是次齊次函數(shù)，有這表示直線上任何點(diǎn)都在曲面上，因而是由過原點(diǎn)的動直線構(gòu)成的，這就證明了它是一個以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面。推論：關(guān)于的齊次方程表示以為頂點(diǎn)的錐面。證：平移坐標(biāo)軸，以為新原點(diǎn)，利用定理(2)即得證明。例9：求頂點(diǎn)在，準(zhǔn)線為 的錐面方程。解：設(shè)是錐面上一動點(diǎn)，則母線的方程為 （為叁數(shù)）其中為母線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，從上式可解得交點(diǎn)的坐標(biāo)由此可解得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入準(zhǔn)線方程中，得 或 此即 這就是所求的錐面方程。2.3 錐面的參數(shù)方程設(shè)錐面的準(zhǔn)線的參數(shù)方程為 頂點(diǎn)為，又設(shè)為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則母線的參數(shù)方程為當(dāng)點(diǎn)在準(zhǔn)線上移

11、動時(shí)，母線的軌跡就是錐面，因此錐面的參數(shù)方程是 （8）從(8)式可見，錐面有兩葉，是一葉，是另一葉。例10：已知錐面的頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為求它的方程。解：由(8)式，所求錐面的參數(shù)方程是 （9）消去參數(shù)和，就得所求錐面的一般方程，它是二次錐面 （）2.4 由生成規(guī)律給出錐面的方程定義4：已知一定直線上的一定點(diǎn)，過空間一點(diǎn)與作直線使與所成銳角等于定角，則動點(diǎn)的軌跡叫做(直)圓錐面，叫做錐面的軸 ，銳角叫做半錐項(xiàng)角，定點(diǎn)叫做錐頂。圖9例11：求以為軸，半錐角為的圓錐面方程。解：設(shè)為所求圓錐面上的一點(diǎn)，為錐頂(圖9)。與的夾角為的條件是： （10）其中為直線的方向向量，。方程(10)即為所求圓錐面的向量式

12、方程，寫成坐標(biāo)形式是： （）它是關(guān)于的二次齊次式，因而是二次錐面。兩個特例是:以原點(diǎn)為錐項(xiàng)，且軸的方向?yàn)榈腻F面方程為 （11）若設(shè)、為方向余弦，則(11)式簡化為 （）直圓錐面：圖10以原點(diǎn)為錐頂，軸為軸，為半錐項(xiàng)角的圓錐面方程是（此時(shí)）： 或 此即 （12）其圖形見圖10例12：求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過三條坐標(biāo)軸的圓錐面方程。解：設(shè)將過原點(diǎn)且方向角為、的直線取作軸，因?yàn)樗髨A錐面包含三條坐標(biāo)軸，所以它的軸必與三條坐標(biāo)軸交成等角，因而有，但，故有，。根據(jù)不同的符號，的位置共有四種，且分別在八個封限內(nèi)，但圓錐的半錐頂角滿足（因?yàn)榇藭r(shí)）。設(shè)位于第、封限，則有 寫出母線方向與成角為的條件：由此出錐面的方程

13、為： 此時(shí)軸的方程是： 設(shè)位于第、封限內(nèi)，同理得錐面的方程為：此時(shí)軸的方程是： 設(shè)位于第、封限內(nèi)，則錐面方程為： 且軸的方程是： 設(shè)位于第、封限內(nèi)，則錐面方程為： 且軸的方程是： 3. 旋轉(zhuǎn)曲面緯線圓旋轉(zhuǎn)曲面圖11定義5：一條曲線繞一條定直線旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面（圖11），曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線叫做旋轉(zhuǎn)軸，上每一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過程中生成的圓叫做緯線圓或平行圓。當(dāng)為直線時(shí)，若與軸平行，則旋轉(zhuǎn)曲面是（直）圓柱面；若與軸相交時(shí)，旋轉(zhuǎn)曲面是（直）圓錐面；若與軸垂直，則旋轉(zhuǎn)曲面是平面（圖12），因此圓柱面、圓錐面，還有平面都可看作是旋轉(zhuǎn)曲面的例子。圖12下面分幾種 情形討論旋轉(zhuǎn)面的方程：3.1

14、旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線是一條空間曲線 旋轉(zhuǎn)軸是過點(diǎn)，方向?yàn)榈闹本€ 圖13又設(shè)是母線上任意一點(diǎn)，是過的緯線圓（它的圓心是上的一點(diǎn)）上的任意一點(diǎn)（圖13），則 且 ，所以有 式表示以為中心，以為半徑的球面，而式表示通過點(diǎn)且垂直于軸的平面。所以和聯(lián)立表示通過的緯線圓。又因點(diǎn)在母線上，故有 由三式、消去，即得旋轉(zhuǎn)曲面方程： （13）例13：求直線繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程。圖14解：設(shè)是旋轉(zhuǎn)曲面上的任意一點(diǎn)，過作軸的垂直平面，交母線于一點(diǎn)（圖14），因?yàn)樾D(zhuǎn)軸通過點(diǎn)，不妨取原點(diǎn)為，于是由上述，過點(diǎn)的緯線圓方程是：由于點(diǎn)在母線上，故 或 代入因此 上式代入，得 這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程。在

15、實(shí)際運(yùn)用中，我們常把旋轉(zhuǎn)軸取為坐標(biāo)軸。特別地，若母線是一條平面曲線，我們又常把母線所在的平面取作一坐標(biāo)面，旋轉(zhuǎn)軸取作該平面內(nèi)的某一坐標(biāo)軸，這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面的方程具有較簡形式。 圖15 3.2 平面曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)是坐標(biāo)平面上的曲線（圖15），它的方程是旋轉(zhuǎn)軸為軸：，如果為母線上的一點(diǎn)，那么過的緯線圓方程為：且有 從上面兩組式子消去參數(shù)，具體做法是：將代入，得將及代入即得 （14）同樣，把曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是： （15）同理可知，坐標(biāo)平面上的曲線 繞軸或軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別為：和面上的曲線 繞軸或軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別為：和因此，我們有如下結(jié)論：定理3

16、：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線繞此坐標(biāo)平面內(nèi)的一個坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，只要將曲線在坐標(biāo)平面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)同名的坐標(biāo)，而以其余兩個變量的平方和的平方根去替換方程中的另一坐標(biāo)，即得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。例14：將面上的圓繞軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：因?yàn)槔@軸旋轉(zhuǎn)，所以方程中保留不變，而用代替，即得旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，即，或 圖16這樣的曲面叫做圓環(huán)面（圖16），它的形狀象救生圈。3.3 旋轉(zhuǎn)二次曲面例15：圓繞軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面方程為：，即它是以原點(diǎn)為中心，為半徑的球面。例16：橢圓：分別繞長軸（即軸）與短軸（即軸）旋轉(zhuǎn)二的的旋轉(zhuǎn)曲面方程分別為： （16） （17）長形旋轉(zhuǎn)橢球面（圖17）扁形旋轉(zhuǎn)橢球面（圖18）

17、曲面（16）叫做長形旋轉(zhuǎn)橢球面（圖17），曲面（17）叫做扁形旋轉(zhuǎn)橢球面（圖18）。在研究地球時(shí)，常把地球的表面看成是扁形旋轉(zhuǎn)橢球面；有些鍋爐為了減輕蒸汽對爐壁的沖擊力，而把它做成旋轉(zhuǎn)橢球面的形狀。例17：將雙曲線，繞虛軸（即軸）旋轉(zhuǎn)的曲面方程為： （18） （圖19）繞實(shí)軸（即軸）旋轉(zhuǎn)的曲面方程為： （19） （圖20）旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面 圖20圖19旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面曲面（18）叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，曲面（19）叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面。旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面在工程技術(shù)中很有用。例如發(fā)電廠和水泥廠的冷卻塔多半建成旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面的形式。旋轉(zhuǎn)拋物面（圖21）例18：將拋物線，繞它得對稱軸（即軸）旋轉(zhuǎn)的曲面方程為： （20）它叫做旋轉(zhuǎn)拋物面。（圖21）旋轉(zhuǎn)拋物面有著廣泛的用途，如探照燈，車燈和太陽灶的反光面就是這種曲面。為了保持發(fā)射與接收電磁波的良好性能，雷達(dá)和射電望遠(yuǎn)鏡的天線多做成旋轉(zhuǎn)拋物面。參考文獻(xiàn)1 朱德祥，朱維宗. 新