[理學(xué)]第八章 第6節(jié)空間直線及其方程ppt課件

1、1空間直線及其方程第六節(jié)一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角平面束平面束五五六、小結(jié)及作業(yè)2xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程2562123zyxzyx如如00yx3xyzo直線的方向向量：直線的方向向量： 假如一非零向量平行于假如一非零向量平行于一條直線，這個向量稱為這一條直線，這個向量稱為這條直線的條直線的方向向量方向向量sL

2、,),(上一點上一點為為設(shè)設(shè)LzyxM00000M M ),(zyxML上上一一點點任任取取sMM0則則/,的的方方向向向向量量為為Lpnms ,0000zzyyxxMM而而二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.的直線方程的直線方程求求L、對稱式方程、對稱式方程14pzznyymxx000稱為直線的對稱式方程稱為直線的對稱式方程標(biāo)準(zhǔn)式標(biāo)準(zhǔn)式,的的方方向向向向量量為為Lpnms 為直線的方向數(shù)。為直線的方向數(shù)。、pnm:說明說明01000zznyymxx)(000zznyymxx5pzzyyxx0000000yyxx),(00yx00222221111DzCyBxADzCyBxAL若若)(的的方方

3、向向向向量量則則L22211121CBACBAkjinnS6ptzzntyymtxx000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程、參數(shù)式方程、參數(shù)式方程2pzznyymxx000令令t71例例:解解,10PM 取取21PPS ,121212zzyyxx由對稱式由對稱式121121121zzzzyyyyxxxx兩點式方程兩點式方程.,),(),(2122221111的的直直線線方方程程求求過過是是空空間間兩兩點點設(shè)設(shè)PPzyxPzyxP8例例2 2 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點在直線上任取一點),(000zyx取取10 x,0

4、63020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標(biāo)點坐標(biāo)),2, 0 , 1( 9因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx312111kji10例例 3 3 一一直直線線過過點點)4 , 3, 2( A，且且和和 y軸軸垂垂直直相相 交交，求求其其方方程程. 解解因因為為直直線線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點為所以交點為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx114例例.),(的的

5、交交線線平平行行的的直直線線方方程程和和且且與與兩兩平平面面求求過過點點15234523zyxzx:解解),(5230M21nns 512401kji,134直線方程直線方程153243zyx125例例.的交點的交點和平面和平面求直線求直線052231211zyxzyx:解解直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程tztytx2321代入平面方程得代入平面方程得0523212)()()(ttt4t交點交點),(56313定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL

6、兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.銳角銳角兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角14兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即156例例134111zyxL :設(shè)設(shè)12222zyxL :.求兩直線的夾角求兩直線的夾角:解解222222122141112421)()()()()()(cos 224 16例例 7 7 求求過過點點)3 , 1 , 2(M

7、且且與與直直線線12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直線線方方程程. 解解先作一過點先作一過點M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求直線與該平面的交點再求直線與該平面的交點N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx17代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交點交點)73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx18定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平

8、面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角 0.2 19222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 20例例 8 8 設(shè)設(shè)直直線線:L21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直線線與與平平面面的的夾夾角角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 9

9、6|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角21平面束平面束五五:L設(shè)設(shè))()(201022221111DzCyBxADzCyBxA建立方程建立方程)()()(3022221111DzCyBxADzCyBxA 是參數(shù)是參數(shù) 021212121)()()()(DDzCCyBBxAA ),)()(外外除除的任一平面的任一平面表示通過表示通過23L.)(的的平平面面束束方方程程為為通通過過稱稱L3229例例上上的的投投影影直直線線方方程程在在平平面面求求直直線線00101zyxzyxzyxL: :解解為為設(shè)過直線的平面束方程設(shè)過直線的平面束方程011)()(zyxz

10、yx 01111)()()()( zyx垂直垂直要使與要使與 0111111)()()( 1 23投影平面方程投影平面方程0222 zy投影直線方程投影直線方程001zyxzy2410例例且垂直且垂直已知平面過直線已知平面過直線42113zyx.,:求求其其方方程程于于平平面面0552zyx :解解直線可寫成一般式方程直線可寫成一般式方程423113zxyx0634033zxyx即即作平面束作平面束063433)()(zxyx 0633341)()( zyx25垂垂直直待待求求平平面面與與 05313241)()()( 71 平面方程平面方程057zyx2611例例.,:),(求求該該直直線線

11、方方程程相相交交又又和和直直線線且且垂垂直直直直線線一一直直線線過過點點121123112121zyxLzyxLA:解解,S設(shè)設(shè)待待求求直直線線方方向向向向量量為為,21nLASSS的平面的法線點及又垂直于過且則,nLA的的平平面面的的法法向向量量點點及及先先求求過過2),(00022ML 上一點上一點任取任取,1212AMAMSn22121112kjikji33327待求直線的方向向量待求直線的方向向量nSS1333123kjikji523直線方程直線方程512231zyx:另解另解),(000zyxB設(shè)設(shè)交交點點12000zyx00002yzyx,即即281000121LzyxAB,而待求

12、直線上而待求直線上012213000)()()(zyx7871678000zxy,代代入入將將00002yzyx,由兩點式由兩點式7151762791zyx29空間直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.注意兩直線的位置關(guān)系注意兩直線的位置關(guān)系注意直線與平面的位置關(guān)系注意直線與平面的位置關(guān)系六、小結(jié)304968P習(xí)習(xí)題題1511876543,總習(xí)題八 P502,3,6,7,9,13,1412,16,17,18,2031考慮題考慮題 在直線方程在直線方程pznymx 6224中，中

13、，m、n、p各怎樣取值時，直線與坐標(biāo)面各怎樣取值時，直線與坐標(biāo)面xoy、yoz都平行都平行.32考慮題解答考慮題解答,6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故當(dāng)故當(dāng) 時結(jié)論成立時結(jié)論成立, 0 m6 p, 0 n33一、一、 填空題：填空題：1 1、 通過點通過點)3,1,4( 且平行于直線且平行于直線5123 zyx的直線方程為的直線方程為_；2 2、 直線直線 012309335zyxzyx與直線與直線 0188302322zyxzyx的夾角的余弦為的夾角的余弦為_；3 3、 直線直線 003zyxzyx和平面和平面0

14、1 zyx在平在平面面012 zyx上的夾角為上的夾角為_；4 4、點點)0,2,1( 在在平平面面012 zyx上上的的投投影影為為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題345 5、 直線直線723zyx 和平面和平面8723 zyx的關(guān)系是的關(guān)系是_；6 6、 直線直線431232 zyx和平面和平面3 zyx的關(guān)的關(guān)系是系是_ . .二二、 用用 對對 稱稱 式式 方方 程程 及及 參參 數(shù)數(shù) 方方 程程 表表 示示 直直 線線L： 421zyxzyx . .三三、 求求過過點點)2,1,3( 且且通通過過直直線線12354zyx 的的平平面面方方

15、程程 . .35四、四、 求直線求直線 0923042zyxzyx在平面在平面14 zyx上上的投影直線的方程的投影直線的方程 . .五、五、 求與已知直線求與已知直線1L：13523zyx 及及2L： 147510zyx 都相交且和都相交且和3L： 137182 zyx平行的直線平行的直線L . .六、設(shè)一平面垂直于平面六、設(shè)一平面垂直于平面0 z, ,并通過從點并通過從點)1,1,1( A 到直線到直線L： 001xzy的垂線， 求此平面的方程的垂線， 求此平面的方程 . .36七、七、 求兩直線求兩直線1L：1101zyx 和和2L：0212 zyx的公垂線的公垂線L的方程，及公垂線段的長的方程，及公垂線段的長 . .八、求過點八、求過點)4,0,1( 且平行于平面且平行于平面01043 zyx又與直線又與直線31311zyx 相交相交的直線方程的直線方程 . .九、九、 求點求點)2,1,3( P到直線到直線 04201zyxzyx的距的距離離 . .37一、一、1 1、531124 zyx； 2 2、0 0； 3 3、0 0； 4 4、)32,32