新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍

1、新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍1 / 5已知三角形的一邊與對(duì)角求最值或取值范圍的題型的探究一、探究該問(wèn)題所用到的定理或解論：1、在 ABC 中，角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c:正弦定理： b C2R（R 為 ABC 外接圓的半徑）；sin A sin B sinC結(jié)論：a =2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC；結(jié)論：1 1 1S.ABC寸bsinC9bcsinA寸CsinB；2、在.ABC 中，角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c:2 卄 22余弦定理：d2；3、a,b R, a2 b2_ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)“=”號(hào)成

2、立）；4、a,b R , a b _ 2 . ab（當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)“=”號(hào)成立）；5、2a,bR, a9也（當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)“=”號(hào)成立）；46、輔助角公式：a sinv bcosr a2b2sin（v -;:）,其中tan，一般地,0tan一.3;tan 1;tan3二2343、具體問(wèn)題探究:例在 ABC 中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若C ,8。3（1） MBC 面積的最大值；（2） AABC 周長(zhǎng)的最大值；（3）2a - b 的取值范圍。解析：（1）因?yàn)橐蟮氖?ABC 的面積，題設(shè)中知道C=】，c = 8，所以，要用到3三角形的面積公式SABC=labsi nC

3、,接下來(lái)用余弦定理求出 ab 的最大值即可。2詳解：在 ABC 中，C, c = 8，3求:所以c2二a2b22abcosC二64二a2b2ab= 64 ab二a2b2_ 2ab=64 ab - 2ab= ab空64 SABCabsin C2新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍2 / 5新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍3 / 5( a 0,b 0)當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)“=”號(hào)成立，即該三角形為等邊三角形時(shí), 所以，AABC面積的最大值是16、.3。(2)法 1:在 ABC 中，C ,8，3所以c2二a2b22abcosC二64

4、二a2b2ab二64= (a b)23ab( a 0,b 0)當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)“=”號(hào)成立，即該三角形為等邊三角形時(shí)(ab)max6。所以 ABC 周長(zhǎng)的最大值是 24.3 .v 3兀= 2R(si nA cos A) =16si n(A-)2 2 6兀2 兀兀兀 兀C 0：AA,33662所以，一 8：16si n(A ) 16，即- 8：2ab：16.6所以，2a -b 的取值范圍是(-8,16)。2=(a b) -64 =3ab _32(a b)42(a b)42-64二(a b) - 4 64二a b _ 16法 2:在. ABC 中,a b=2RsinA 2RsinB=2R(si

5、nA sinB)=2RsinA sin(A IL3=2R(si nAs in A仝cos A) J6(? si nA三cosA)=16si n(A )2 23 2 2 6兀2 兀兀兀2兀C0AA -3366JIJTJI16sin 16sin(A ) 16sinJI8：16sin(A -16，(a b)max=16， c= 8，所以三角形ABC 的周長(zhǎng)最大值為 24.(3)在 ABC 中，2R -csin C1632a b =4Rs in A 2Rsi n B=二 2R(2sin A 丄 sin A - 仝cosA)2 2sin C16新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最

6、值或范圍4 / 5變式訓(xùn)練 1:在銳角:ABC 中，角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若 C ,c = 83求：2a -b 的取值范圍。分析：注意該變式中是在銳角厶 ABC 中研究解決問(wèn)題。2a-b =4Rs in A-2Rsi nB=2R 2si nA si n( A 二)=2R(2si nA si nA-cosA)322= 2R(3Sin A-仝cosA)=16s in (A)2 2 6nJI. n_ . n nCA 0 ；： A,3626 3所以，0：16s in (A )：8.3，即0：2a-b：8、3.6所以，2a -b 的取值范圍是（08.3）o變式訓(xùn)練 2:在 ABC 中，角

7、代B,C的對(duì)邊分別為a, b,c，若 C,8，a_c3求：2a -b 的取值范圍。分析：注意，該變式中也不一定是銳角三角形了，而是a_co3 .3.:= 2R(si nAcos A) =16si n(A)2 2 6二 二2 :-：.: .:CAA,333662所以，8：16sin(A_)：16，即 8：2ab：16.6所以，2a -b 的取值范圍是(8,16)o三、結(jié)論探究: 在 ABC 中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若已知c邊與 C 角。求:解析：在銳角丄 ABC 中，2R =csi nC16解析：在 ABC 中,2R二sin C16、32ab =4Rs in A -2Rsi n

8、B = 2R2sin A-sin(A)13 J= 2R(2sin A *sin AcosA)新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍5 / 5（1） ABC 面積的最大值；（2） UBC 周長(zhǎng)的最大值。 分析：由三角形中的余弦定理與基本不等式解決處理問(wèn)題。新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍6 / 5解析：(1)在 AC 中，c2二a2b2_2abcosC=c22abcosC = a2b2_ 2ab(當(dāng)且僅當(dāng) a =b 時(shí)“=”成立）所以，c22 2 2 c 2abcosC _ 2ab= 2ab -2abcosC _ c = 2ab(

9、1 -cosC) _ c = 2ab - 1 cosC c c2 sin cos2 2S.ABC1 1 absin C -22(1 -cosC). c2sin C sin C4 1 -cosCccos-2.csin24ta n222c_(5 ?)所以,SABC4 ta n2-2即(S.ABC)max(2)在 ABC 中,2b2abcosC二因?yàn)?2ab，3所以,(a b)2-c21 cosC因?yàn)?所以,所以,4ta n242 2 c (a b)2ab2abcosC =（當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)“=”成立）= 2ab(1 - cosC)乞2(1 cosC)(a b)2_c2= (a b)2a，b,c

10、R，sinf0a bc，即，(a b)max.Csin2周長(zhǎng)的最大值為:c. C。sin2四、結(jié)論體驗(yàn):(a b)21 cosC2 2(a b)c二2ab(1 cosC)1 cosC(a b)21-cos2C2.2Csin 2.C0sin21、在 ABC 中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若 C3 宀 6。則該三角形面積的最大值為;周長(zhǎng)的最大值為新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍7 / 5新課標(biāo)人教 A 版高中數(shù)學(xué)必修五：已知三角形的一邊和對(duì)角求最值或范圍8 / 52、 在 ABC 中，角A, B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若 C,c = 4。則該三角形面6積的最大值為_(kāi);周長(zhǎng)的最大值為_(kāi) ；3、 在.ABC 中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若 B 二三，b = 6。則 a c 的取值3范圍是_五、課后加強(qiáng)訓(xùn)練：1 已知銳角ABC中，角AB、C的對(duì)邊分別為a，b, c，向量(2)求：ABC面積的最大值;(3)求ab 的取