圓錐曲線的經(jīng)典求法設(shè)而不求

1、圓錐曲線設(shè)而不求法典型試題在求解直線與圓錐曲線相交問題，特別是涉及到相交弦問題,最值問題,定值問題的時(shí)候，采用“設(shè)點(diǎn)代入”(即“設(shè)而不求”)法可以避免求交點(diǎn)坐標(biāo)所帶來的繁瑣計(jì)算，同時(shí)還要與韋達(dá)定理,中點(diǎn)公式結(jié)合起來,使得對(duì)問題的處理變得簡單而自然,因而在做圓錐曲線題時(shí)注意多加訓(xùn)練與積累.1. 通常情況下如果只有一條直線，設(shè)斜率相對(duì)容易想一些，或者多條直線但是直線斜率之間存在垂直，互為相反數(shù)之類也可以設(shè)斜率需要注意的是設(shè)斜率的時(shí)候需要考慮：（1） 斜率是否存在（2） 直線與曲線必須有交點(diǎn)也就是判別式必須大于等于0這種設(shè)斜率最后利用韋達(dá)定理來計(jì)算并且最終消參法，思路清晰，計(jì)算量大，特別需要仔細(xì)，但

2、是大多也是可以消去高次項(xiàng)，故不要怕大膽計(jì)算，最終一定能得到所需要的結(jié)果。2.設(shè)點(diǎn)比較難思考在于參數(shù)多，計(jì)算起來容易信心不足，但是在對(duì)于定點(diǎn)定值問題上，只要按題目要求計(jì)算，將相應(yīng)的參數(shù)互帶，然后把點(diǎn)的坐標(biāo)帶入曲線方程最終必定能約分，消去參數(shù)。這種方法靈活性強(qiáng)，思考難度大，但是計(jì)算簡單。例1：已知雙曲線x2-y2/2=1，過點(diǎn)M(1,1)作直線L，使L與已知雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)M是線段Q1Q2的中點(diǎn)，問：這樣的直線是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，說明理由。     解：假設(shè)存在滿足題意的直線L，設(shè)Q1(X1,Y1)，Q2(X2,

3、Y2)代人已知雙曲線的方程，得x12- y12/2=1    ，   x22-y22/2=1 -，得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。當(dāng)x1=x2時(shí)，直線L的方程為x=1，此時(shí)L與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)(1,0)不滿足題意；當(dāng)x1x2時(shí)，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.故直線L的方程為y-1=2(x-1)檢驗(yàn)：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判別式=-8 0，此時(shí)L與雙曲線無交點(diǎn)。     綜上，不

4、存在滿足題意的直線1、設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn). （）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值； （）是否存在過點(diǎn)A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.2、已知平面上一定點(diǎn)C（4，0）和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為Q，且. （1）問點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程； （2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.3、已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的

5、左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn). （）求雙曲線C2的方程；（）若直線與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍.4、已知圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足. （I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程； （II）過點(diǎn)（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè) 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對(duì)角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.練習(xí)5,已知，橢圓C以過點(diǎn)A（1，），兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0）（1，0）。（1） 求橢圓C的方程；（2） E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE

6、的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個(gè)定值。 練習(xí)6,已知直線經(jīng)過橢圓 的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)和橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交于兩點(diǎn)（I）求橢圓的方程；（）求線段MN的長度的最小值；練習(xí)7已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值答案：練習(xí)11、解：（）易知 設(shè)P（x，y），則 ，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值3；當(dāng)，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值4 （）假設(shè)存在滿足條件的直線l易知點(diǎn)A（5，0）在橢圓的外部，當(dāng)直線

7、l的斜率不存在時(shí)，直線l與橢圓無交點(diǎn)，所在直線l斜率存在，設(shè)為k直線l的方程為 由方程組依題意 當(dāng)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)C，CD的中點(diǎn)為R，則又|F2C|=|F2D| 20k2=20k24，而20k2=20k24不成立， 所以不存在直線，使得|F2C|=|F2D|綜上所述，不存在直線l，使得|F2C|=|F2D| 2、解：（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，由得（2分） （4分）化簡得 P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為（6分） （2）設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，由 得（7分），（8分）AB與雙曲線交于兩點(diǎn)，>0，即解得（9分）若以AB為直徑的圓過D（0，2），則ADBD，即，（10分）解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.3

8、解：（）設(shè)雙曲線C2的方程為，則故C2的方程為（II）將由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得即 .由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B得 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為4、解：（1）Q為PN的中點(diǎn)且GQPNGQ為PN的中垂線|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長半軸長，半焦距，短半軸長b=2，點(diǎn)G的軌跡方程是 5分 （2）因?yàn)椋运倪呅蜲ASB為平行四邊形若存在l使得|=|，則四邊形OASB為矩形若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由矛盾，故l的斜率存在.7分設(shè)l的方程為 9分把、代入存在直線使得四邊形OASB的對(duì)角線相

9、等.練習(xí)3（）解 由題意，c1,可設(shè)橢圓方程為。 因?yàn)锳在橢圓上，所以，解得3，（舍去）。所以橢圓方程為 （）證明 設(shè)直線方程：得，代入得 設(shè)（，），（，）因?yàn)辄c(diǎn)（1，）在橢圓上，所以， 。又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以代，可得， 。所以直線EF的斜率。即直線EF的斜率為定值，其值為。 解4 方法一（I）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而 即又由得故又 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立 時(shí)，線段的長度取最小值5.解析：(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2: 整理得: .(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得: 點(diǎn)滿足上方程,展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓