事件的獨(dú)立性

1、1.5 1.5 事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性例1：擲兩枚硬幣，求已知第一枚是正面，第二枚也是 正面的概率？例2：甲乙兩個(gè)人各射一次靶，甲射中的概率是0.6，乙 射中的概率是0.5，則在甲射中的情況下,乙射中 的概率的是多少？例3：每個(gè)箱中裝有10件產(chǎn)品：8件正品，2件次品。甲 買到1件正品，乙要求另開一箱,求乙買到1件正 品的概率.引例：兩個(gè)事件的獨(dú)立性說明：說明：一般情況下，事件A、B中某個(gè)事件發(fā)生對(duì)另一 個(gè)事件發(fā)生的概率是有影響的，但在許多實(shí)際 問題中，常會(huì)遇到兩個(gè)事件中任何一個(gè)事件發(fā) 生都不會(huì)對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響。)()|(, 0)(BPABPAP且且若若則由乘法公式有：)()()

2、|()()(BPAPABPAPABP定義定義: 若事件A與B滿足 P(AB)=P(A)P(B),則稱A與B相互 獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A與B獨(dú)立。說明說明：（1）兩事件相互獨(dú)立與兩事件互不相容是完全不同的 兩個(gè)概念，他們分別從兩個(gè)不同的角度表述了兩 件事間的某種聯(lián)系。有有且且只只有有可可同同時(shí)時(shí)不不發(fā)發(fā)A,BA,B互互逆逆: A,B: A,B一一個(gè)個(gè)發(fā)發(fā)生生. .A,BA,B互互斥斥: A,B: A,B不不同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生, , 但但. .A,BA,B獨(dú)獨(dú)立立: : 既既可可同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生, , 又又可可生生相相互互不不同同間間時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)生生, ,不不影影響響. .（2）若A、B既獨(dú)立，又互斥，則至少有一

3、個(gè)是零概 率事件。設(shè)A、B是樣本空間S中兩事件，且P(A)0，P(B)0，則事件事件獨(dú)立的主要性質(zhì)獨(dú)立的主要性質(zhì)AB, AB, (2) A, B. AB與與與與與與也也相相互互獨(dú)獨(dú)立立獨(dú)獨(dú)立立上上述述四四對(duì)對(duì)事事件件中中任任一一對(duì)對(duì)成成立立, , 則則其其它它三三對(duì)對(duì)也也成成立立. . P(AB)=1-P(A)P(B)P(AB)=1-P(A)P(B)(3) A,B(3) A,B獨(dú)獨(dú)立立 ( (補(bǔ)補(bǔ)充充: :重重要要公公式式) ) P(A|B)=P(A), P(1) (B| A) A, BB) .P( 獨(dú)獨(dú)立立: P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)證證明明=P(A)-P(AB)=P(

4、A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=P(A)P(B): P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)證證明明1-P(B)+1-=P(A)P(B)=1-P(B)1-P(A)=1-P(A)P(B)例：從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記 ， 問事 件A、B是否獨(dú)立？AK 抽到，B 抽到的牌是黑色的有限個(gè)事件的獨(dú)立性 P P( (A AB B) )= =P P( (A A) )P P( (B B) )P P( (A AC C) )= =P P( (A A) )P P( (C C) )P P( (B BC C) )= =P P( (A AB BC C)

5、)= =P P( (A A) )P P( (B B) )P P( (C C設(shè)設(shè)A A, ,B B, ,C C為為三三個(gè)個(gè)P P事事件件, ,如如果果滿滿足足則則稱稱事事件件A A, ,B B( (B B, ,C C) )相相P P( () )C C) )互互獨(dú)獨(dú)立立. .注注：僅滿足前三個(gè)式子時(shí),稱 A, B, C 兩兩獨(dú)立， A, B, C 相互獨(dú)立A, B, C 兩兩獨(dú)立 例：有4張卡片,1張紅色，1張黃色，1張綠色， 還有1張有紅黃綠三種顏色。任取一張觀察 出現(xiàn)的顏色。設(shè)事件A 紅色B 黃色C 綠色2142)()()(CPBPAP41)()()(BCPACPABP41)(ABCP本例說明

6、 A, B, C 兩兩獨(dú)立A, B, C 相互獨(dú)立 定義： n 個(gè)事件 A1, A2, , An 相互獨(dú)立是指下面的關(guān) 系式同時(shí)成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(常由實(shí)際問題的意義 判斷事件的獨(dú)立性對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化：例: 甲乙丙三批產(chǎn)品，優(yōu)質(zhì)率分別為0.8，0.7，0.6，從三批產(chǎn)品中各隨機(jī)取一只，求三只產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品的概率 解：獨(dú)立性概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用記 Ai=從第i批中取出優(yōu)質(zhì)品，i=1,2,3。)(321AAAP)()()(321APAPAP33

7、6. 06 . 07 . 08 . 0思考：只有從甲批中取出的是優(yōu)質(zhì)品的概率?例：甲乙兩人乒乓球比賽。每局甲勝的概率為p 問對(duì)甲而言，采用三局兩勝制有利，還是采用五 局三勝制有利？設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立。(p1/ 2)例：三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的 概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人 能將密碼譯出的概率是多少？ 若某個(gè)試驗(yàn)由n次基本試驗(yàn)構(gòu)成,且具有以下特點(diǎn): (1) 每次試驗(yàn)有且只有兩個(gè)可能結(jié)果： (2) 每次試驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率相同： (3) 基本試驗(yàn)之間相互獨(dú)立; (4) 在相同條件下,試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行.則稱此試驗(yàn)為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)或貝努里貝努里(Be

8、rnoulli)試驗(yàn)試驗(yàn);由于該試驗(yàn)由n次基本試驗(yàn)構(gòu)成,故亦稱之為n重貝努重貝努里試驗(yàn)里試驗(yàn). 伯努利概伯努利概型型_AA事件 和事件)ApP(例：某人共進(jìn)行了3次投籃，他的命中率為0.8，求他恰 好投中兩次的概率。i1,2,3),2AiiB設(shè)第 次投中（恰好投中 次伯努利定理：伯努利定理：設(shè)在一次試驗(yàn)中,如果事件A發(fā)生的概 率為p,則在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A恰 好發(fā)生k次的概率為：( )( , , )(1)(0,1,2, )kkn kknP BB k n pC ppkn推論：推論：在一次試驗(yàn)中,如果事件A發(fā)生的概率為p,則在n 重伯努利試驗(yàn)中，事件A在第k次試驗(yàn)中才首次 發(fā)生的概率為：1(1)(1,2,)kppk例：一條自動(dòng)化生產(chǎn)線上一級(jí)品率為0.6，現(xiàn)抽查10件， 求：（1）恰有3件一級(jí)品的概率； （2）至少有兩件一級(jí)品的概率；例：甲、乙兩位棋手棋藝相當(dāng)他們?cè)谝豁?xiàng)獎(jiǎng)金為1萬 元的比賽相遇比賽為五局三勝制已經(jīng)進(jìn)行了三 局比賽，結(jié)果為甲勝兩局現(xiàn)由某種原因要停止比 賽，問應(yīng)該如何分配這10000元獎(jiǎng)金才算公平？作業(yè)作業(yè)1、每次試驗(yàn)成功率為P，進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，求直到第十次試驗(yàn)才取得4次成功的概率。3、隨機(jī)地?cái)S一顆骰子，連續(xù)6次，求