高等數(shù)學(xué)常用極限求法

1、求函數(shù)極限的方法和技巧摘要：本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作了一個比較全面的概括、綜合。關(guān)鍵詞：函數(shù)極限引言在數(shù)學(xué)分析與彳積分學(xué)中，極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)而貫穿全部內(nèi)容，因此掌握好極限的求解方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析和微積分的關(guān)鍵一環(huán)。本文就關(guān)于求函數(shù)極限的方法和技巧作一個比較全面的概括、綜合，力圖在方法的正確靈活運用方面，對讀者有所助益。主要內(nèi)容一、求函數(shù)極限的方法1、運用極限的定義例：用極限定義證明Xim2X2 3x 2x 22-、工Mx3x2.證:由1x20取則當(dāng)0x2時，就有2x23x2x2由函數(shù)極限定義有:222.xlimx23x22、利用極限的四則運算性質(zhì)假設(shè) lim

2、f(x) Ax xolim g(x) B x x0(II) lim f (x) g(x) x xo(III)假設(shè) Bw。lim建x xo g(x)則：lim f (x)x xolim g(x)x xoIVlim c f (x)x x)c lim f (x) cA x xoc為常數(shù)上述性質(zhì)對于x ,x ,x時也同樣成立(I)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)ABxxoxxoxlimf(x)limg(x)ABxxoxxo例：求解:x3x5limx2x4x23x5223255lim=一x2x42423、約去零因式此法適用于xxo時,o型o32xx16x2o例：求limx23x7x21

3、6x123x3x2iox(2x26x2o)3x5x26x(2x2iox12)(x2)(x23xio)(x2)(x25x6)解：原式=limx2limx2=limx 2(x2 (x2原式= xm0x3X-0)=lim(x5)(x2)5x6)x2(x2)(x3)=!im24、通分法適用于型一，、41例:求lim(2-)x24x2x解:原式=lim4(2x)x2(2x)(2x)=lim(2-)x2(2x)(2x)=lim一x225、利用無窮小量性質(zhì)法特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：Ilimf(x)0Xx(II)g(x)M(M為正整數(shù))則：limg(x)

4、f(x)0xxoi-1例：求limxsin-x0x_,.1，解：由limx0而sin-1x0V1sinx6、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。I假設(shè)：lim f (x)則limf(x)(II)假設(shè)：limf(x)0 且 f(x)W0則 lim f(x)例:求以下極限1limxlimx ，解:lim(xx5)limxlim(xx 11)lim 一 x 1 x7、等價無窮小代換法都是同一極限過程中的無窮小量，且有:lim-r存在,則 lim 也存在，且有l(wèi)im = lim例：求極限limx 021 cosx2sin x解：sin x1 cosx2 22 (x ) 22cosx1 lim 1 x 0 x

5、 sin x2X2(x )22 2x x注：在利用等價無窮小做代換時,般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，假設(shè)以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階8、利用兩個重要的極限。sinx(佻m。二1(B)lim(1x1x-)ex但我們經(jīng)常使用的是它們的變形:(A)limsin(x)(x)1,(x)0)(B)lim(1(x)e,(x)例：求以下函數(shù)極限ax1(1)、limx0xlncosax(2)、limx01ncosbx解：（1）令a1u,則xln(1u)于是lnaulnaln(1u)又當(dāng)x故有：xim00時，uax1ulnalimu0ln(1u)lnalim

6、u0ln(1u)ulumlna.irlna01ln(1u)u(2)、原式limx0ln(1(cosax1)ln1(cosbx1)limln(1(cosax1)x0cosax1cosbx1cosaxln1(cosbx1)cosbxcosbx1limx0cosax122sinxlim2x°2sin2bx2lim_2asin一x2a2(-x)2b(2x)0-2bsin-x2_*«(2x)za、2(-x)2bj2a9、利用函數(shù)的連續(xù)性適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限若f(x)在xx0處連續(xù)，則川)若£(x)是復(fù)合函數(shù)，又limf(x)xx0lim(x)xx0f(Xo)f(u)

7、在ua處連續(xù)，則limx/f(x)fn(x)f例：求以下函數(shù)的極限xecosx5(1)、lim2x01xln(1x)解：由于x 0屬于初等函數(shù)f(x)x故由函數(shù)的連續(xù)性定義有:f(0)、由電3 m(11 x)x令 x (11x)7故有:Moln(1 x)M01n(11x)xln(lim (1x 01x)x) In e 110、變量替換法適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型特別地有:limlxk1 mlnk 1n、k、I為正整數(shù)。xecosx5lim7x01xln(1x)N)2x 3山 lim ()x 2x 1例：求以下函數(shù)極限n1x,lim(m、nxe 2c0sx 5 的定義域之內(nèi)。x l

8、n(1 x)1mx解：令t=mn/x則當(dāng)1t原式=limt11t(1t)(1t22(1t)(1tt2m1t)mn1、t)n2x3x12x1由于lim()=lim(1)x2x1x2x111、定理：例:解:2x11-則2t2x3xlim()xx2x1=lim(1x!im0(1利用函數(shù)極限的存在性定理2x1)x1=lim(1to設(shè)在Xo的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)&f(x)&h(x)limg(x)limh(x)Axx0xx0則極限limf(x)存在，且有x0且有:limf(x)xx0limxnx(a>1,n>0)a當(dāng)k干旱西丁73n>0時，存在唯一的正整數(shù)&x

9、<k+1時有：k,使limk(kklimnxxanxxa時,k(k1)nkakna1)nkalimk(kknaklimknkanXlim-=0xa12、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限limf(x)存在且等于A的充分必要條件是左極限limf(x)及右極xxoXX0限limf(x)都存在且都等于A即有:xxolim f (x) A x xolimf(x)=limf(x)=Axxoxxo12ex,x例：設(shè)f (x) =Ix . x.x,0求 lim f (x)及 lim f (x)x 0x 1x2,x1解：Pmf(x)limo(1

10、2ex)1lim f (x)x olim (x ox . x、一1)lim ( . x 1) x o由limf(x)limf(x)xoxolimf(x)1xo又limx 1lim f (x) lim x 1x 1f (x) lim x2x 1x . x'一 x1lim ( xx 11) o由f(1o)f(1o)limf(x)不存在x113、羅比塔法則適用于未定式極限定理：假設(shè)(i)limf(x)0,limg(x)0xxoxXo(ii)f與g在xo的某空心鄰域u°(xo)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)0'(iii)limUx)A(A可為實數(shù)，也可為或)，則xx0g(x)'.

11、f(x).f(x)八limlim,Axx0g(x)xx0g(x)此定理是對0型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。0注：運用羅比塔法則求極限應(yīng)注意以下幾點：1、要注意條件，也就是說，在沒有化為。，時不可求導(dǎo)。02、應(yīng)用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，假設(shè)遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。'4、當(dāng)lim上必不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用xag(x)另外方法。例：求以下函數(shù)的極限xe (1ln(12x)12 x7)limxln x(a

12、0,x0)解：令f(x)=ex(12x)2,g(x)=ln(lx2)f (x) ex (1 2x) 2, g (x)2x1 x2f"(x) ex (1 2x)32,g"(x)22(1x2)認(rèn) 2 2(1 x )由于ff(0)0,g(0)g(0)0但f(0)2,g(0)2從而運用羅比塔法則兩次后得到limex(12x)12x0ln(1x)lim由limxlnx,limxex(12x)122x2xex(12x)lim2x02(1x)22(1x)故此例屬于一型，由羅比塔法則有:lnxlimxxlimxxa1axlimxaax0(a0,x0)14、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限

13、來說,常用的展開式：應(yīng)用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便，以下為1、2x2!nxn!o(xn)2、sinx3x3!5x5!1)n2n11x(2n1)!o(x2n)3、cosx2x2!4x4!1)n2nx/2n1、o(x)(2n)!4、ln(1x)1)n1o(xn)n5、(1x)6、2!o(xn)上述展開式中的符號o(xn)都有:limx0o(xn)例：求limx0a2x.ax/(a0)解：利用泰勒公式，當(dāng)x0有(1)(n1)xnO(xn)n!Ji一xx1-o(x)2lxmoa2xax=M0v'a(1xJ1-)a.a=M012xa12(T)o(x)1-o(x)aa上=lim2a-x0xo

14、(x)_1_lim-2-ax0xo(x)12.a15、利用拉格朗日中值定理定理：假設(shè)函數(shù)f滿足如下條件:(I)f(II)f在閉區(qū)間上連續(xù)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點，使得f(b)f(a)ba此式變形可為：f(b)bf(a)af(a(ba)(01)例：求xelimx0xsinxesinx解：令f(x)對它應(yīng)用中值定理得sinxef(x)f(sinx)(xsinx)f(sinx(xsinx)(01)即sinxexsinxf(sinx(xsinx)(01)f(x)ex連續(xù)_»_»limf(sinx(xsinx)f(0)1x0xsinx從而有：lim-1x0xsi

15、nx16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即假設(shè)R(x)P(x)Q(x)ma°xm1a1xam(a00,b°0)nb°xn1b1xbn(I)當(dāng)x時,有a0mn.P(x)limlimma°xm1a1xamb00mnxQ(x)xb°xnb1xn1bnmn(II)當(dāng)x0時有：假設(shè)Q(x0)0則limP以0)x0Q(x)Q(x0)假設(shè)Q(x0)0而P(x0)0則lim旦x0Q(x)假設(shè)Q(x0)0,P(x0)0,則分別考慮假設(shè)x0為P(x)0的s重根,即：P(x)(xx0)sP1(x)也為Q(x)0的r重根，即:Q(x)(xx°)rQ

16、1(x)可得結(jié)論如下：0,srP(x)(xx0)srP1(x)Px。)limlim,srxx°Q(x)x%Q1(x)Q1(x0),sr例：求以下函數(shù)的極限州號言產(chǎn)limix33x2x44x3解：分子，分母的最高次方相同，故limx(2x 3)20 (3x 2)30(2x1)50220 330250(2)30P(x)x33x2,4Q(x) x44x3,P(x),Q(x)必含有x-1之因子,即有1的重根故有:x3 3x 2(x 1)2(x 2)-lim -22-x4 4x 3 x 1 (x 1)2(x2 2x 3)lim 2 x 21x 1 x2 2x 3 2(2)無理式的情況。雖然無理

17、式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就 不再一一詳述.在這里我主要舉例說明有理化的方法求極限。例:解:求 lim ( x , x x x) xlim (. x . x x x) xlimxlim1lim12x多種方法的綜合運用上述介紹了求解極限的基本方法,然而，每一道題目并非只有一種方法。因此我們在解題中要注意各種方法的綜合運用的技巧，使得計算大為簡化。例：求limx0d21cosx22xsinx解法一:limx01cosx22xsinxlimx02x22xsinx22：2xcosx2xsinx一一2sinxlim22x0xcosx2sinxlimx02cosx2sinx2x_1si

18、nx222-x注：此法采用羅比塔法則配合使用兩個重要極限法。解法二:21cosxlim2x0xsinx22sin2=lim22x0xsinx2.一xsinlim22x0x2.一xsin2注：此解法利用“三角和差化積法”解法三：21cosxlim-2x0xsinx21cosxlim22x0xx2sinx2-x配合使用兩個重要極限法。2xsinx2lim3-x04x2xlim一x04xsinx21注：此解法利用了兩個重要極限法配合使用無窮小代換法以及羅比塔法則解法四：2.1cosxlim22x0xsinx2.1cosxlim4x0x42x2sinx222(x)limTX0x4x21sinx22注：此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。解法五:d21