1.2 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

1、BCA1.什么是正弦定理？運(yùn)用正弦定理能解怎樣的三角形？（1）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角. （2）正弦定理能解決的三角形類型已知三角形的任意兩角及其一邊； sinsinsinabcabc=ABCABC1.2 應(yīng)用舉例解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例1.距離問題 2.什么是余弦定理？運(yùn)用余弦定理能解怎樣的三角形？（1）余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍，即已知三邊求三角；（2）余弦定理能解決的三角形類型：已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.2222222222cos2cosa =bc

2、bcAa =bcbcA；b =acacBb =acacB；c =ababcosC.c =ababcosC.+-2+-2實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)的名稱、術(shù)語例1.設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測量兩點(diǎn)之間的距離.測量者在A的同測，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離是55cm，BAC51， ACB75，求A，B兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）.探究點(diǎn)1 關(guān)于測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題解：根據(jù)正弦定理，得答：A,B兩點(diǎn)間的距離為65.7米.ooooooooooooABACABAC= =sinsinACBsinACBsinABCABCACsinACs

3、inACB55sinACB55sinACBACBAB =AB =sinsinABCsinABCsinABCABC55sin7555sin7555sin7555sin75=65.7(m)=65.7(m)sin(180 -51 -75 )sin54sin(180 -51 -75 )sin54分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形.ABACABACsinCsinBsinCsinB例2 如圖，A，B兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá))，設(shè)計(jì)一種測量A，B兩點(diǎn)間距離的方法.AB探究點(diǎn)2 關(guān)于測量兩個(gè)都不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問題分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測量問題.AB首先需要

4、構(gòu)造三角形，所以需要確定C，D兩點(diǎn).用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)C到對岸兩點(diǎn)的距離，再測出BCA的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離.C CD DAB解：測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，測得CD=a，并且在C，D兩點(diǎn)分別測得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得DCsin()sin 180()sin()sin()aACa180asinasinBCsin()sin() 計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離222cosABACBCACBC總結(jié)提升 在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決

5、問題的方案，但有些過程較煩瑣，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳的計(jì)算方式.我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線，如例如例1 1中的中的ACAC，例，例2 2中的中的CD.CD.在測量過程中,要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度,使測量具有較高的精確度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.基線：基線：2.高度問題例3 AB是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測量建筑物高度AB的方法.分析：如圖，求AB長的關(guān)鍵是先求AE，在 ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點(diǎn)觀察A的仰

6、角，就可以計(jì)算出AE的長.解: 選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點(diǎn)在同一條直線上.由在H,G兩點(diǎn)用測角儀器測得A的仰角分別是,CD=a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得asinasinAC =AC =sin（sin（-）AB = AE+h = ACsinAB = AE+h = ACsin+h+hasinasinsinsin=+h.=+h.sin（sin（-）例4 如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角 =5440，在塔底C處測得A處的俯角=501 ,已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m). 根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？分析:若在

7、ABD中求BD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？那又如何求BD邊呢？解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，BCABBCAB=，=，sin（sin（-） sin（sin（9090）BCsin（BCsin（9090）BCcosBCcos所所以以AB =AB =sin（sin（-）sin（sin（-）解解RtRtABD，ABD，得得BCcBCc + + + +osossinsinBD = ABsinBD = ABsinBAD =.BAD =.sin（sin（-）答：山的高度約為150米.把測量數(shù)據(jù)代入上式，得CD=BD-BC177.4-27.3150(m)

8、.sin54sin50sin54si140401140177.439n 27.35027.350= =27.35027.350coscosBDBD（5454）coscos= =4 4（m m）思考:有沒有別的解題思路呢？先在ABC中，根據(jù)正弦定理求得AC.再在ACD中求CD即可.例5 如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15的方向上,行駛5 km后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北25的方向上,仰角為8,求此山的高CD(精確到1 m).解：在ABC中，A=15, C= 25-15=10.根據(jù)正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81 047(m).

9、答：山的高約為1 047米.正確轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型si7.452 4n5sin15sinsin10ABAB= =，ACACABAABABC=BC=C C （kmkm）BCBCsinsinsinsin3.角度問題例6 如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行的距離是多少?(角度精確到0.1,距離精確到0.01 n mile)分析：首先求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角

10、CAB.解：在 ABC中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)正弦定理,sinBCBCsinsinsinsinACAC= =，CABABCCABABCBCABCBCABCsin CAB=sin CAB=ACAC22222cos67.554.02 67.5 54.0 cos137113.15 AC= ABBCAB BCABCAC= ABBCAB BCABC= = 0.325 5，0.325 5，所所以以，CAB =19.0CAB =19.054.0si54.0si，7575 -n137n137= =1 1CAB =56CAB =5613.1513.15.0.0. .此此船船沿沿北北偏偏56.056.0的的方方向向航航行行，需需要要航航行行113.15n m l113.15n m l答答e.e.：i i應(yīng)應(yīng)該該東東解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出分析：理解題意，分清已知與未知，畫出 示意圖示意圖. .(2)(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知 量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角 形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué) 模型模型. .(3)(3)求解：利用