二 初始條件與邊界條件西北工業(yè)大學

1、數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù) 課程的內(nèi)容課程的內(nèi)容三種方程、 四種求解方法、 二個特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動方程、熱傳導、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù) 數(shù)學物理方程定義數(shù)學物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學微分方程。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導一、一、 基本方程的建立基本方程的建立第一章第一章 一些典型方程和一些典型方程和定解條件的推導定解條件的推導二、二、

2、定解條件的推導定解條件的推導三、三、 定解問題的概念定解問題的概念數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導一、一、 基本方程的建立基本方程的建立條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的 橫振動。不受外力影響。例例1、弦的振動、弦的振動研究對象：線上某點在 t 時刻沿縱向的位移。( , )u x t數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導簡化假設(shè)：(2)振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。cos1

3、cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛頓運動定律：sinsinTTgdsma橫向：coscosTT縱向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu

4、x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt2222( , )( , )Tux tu x tgxt22222uuagtx一維波動方程2Ta 令：-非齊次方程非齊次方程自由項22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導從麥克斯韋方程出發(fā)：cv0 DHJtBEtDB在自由空

5、間：HBED00HEtHEtEHcv0,0J例例2、時變電磁場、時變電磁場數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導00HEtHEtEH對第一方程兩邊取旋度，)(EtH根據(jù)矢量運算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得 ：2222222xyz 拉普拉斯算子： 同理可得：2221EEt 電場的三維波動方程222222221()HHHHtxyz 磁場的三維波動方程數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導例例3 3、熱傳導、熱傳導所要研究的物理量：溫度

6、),(tzyxu根據(jù)熱學中的傅立葉試驗定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為 tSukQttSdd211 高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） tVukQttVdd2121 tSnukQdddtSnukddtSukdd熱傳導現(xiàn)象：當導熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場MSSVn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導tVukQttVdd2121 ),(1tzyxu),(2tzyxuVtzyxutzyxucQVd),(),(12221QQ 流入

7、的熱量導致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化 2121dddd2ttVttVtVtuctVuktucuk22ukutc02 ufuatu22流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：VttucVttdd21 21ddttVtVtuc22au熱傳導方程熱場MSSVn數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導有界桿上的熱傳導（桿的兩端絕熱）數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導例例4 4、靜電場、靜電場電勢u 確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u

8、02 u對方程進行化簡：uu2/拉普拉斯方程 泊松方程 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導同一類物理現(xiàn)象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環(huán)境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導二、定解條件的推導其他條件：能夠用來說明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導初始時刻的溫度分布：B

9、、熱傳導方程的初始條件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、 波動方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt1、初始條件、初始條件描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點的初位移系統(tǒng)各點的初速度數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件、邊界條件描述系統(tǒng)在邊界上的狀況描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、 波動方程的邊界條件(1)固定端：對于兩端固定的弦的橫振動，其為：0|0,xu( , )0u a t

10、 或：0 x auTx0 x aux( , )0 xu a t (3) 彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k 的彈簧的支承。x ax auTkux 或0 x auux數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導B、熱傳導方程的邊界條件(1) 給定溫度在邊界上的值|sufS給定區(qū)域v 的邊界(2) 絕熱狀態(tài)0sun(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：單位時間內(nèi)從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 交換系數(shù)； 周圍介質(zhì)的溫度1k1u1SSuuun1kk第

11、一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導1 1、定解問題、定解問題三、定解問題的概念三、定解問題的概念(1) 初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2) 邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3) 混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。 把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個定解問題。定解問題的檢驗定解問題的檢驗 解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應(yīng) 的微

12、小變動。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導3 3、線性偏微分方程的分類、線性偏微分方程的分類 按未知函數(shù)及其導數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程 按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程2 2、微分方程一般分類、微分方程一般分類 (1) 按自變量的個數(shù)，分為二元和多元方程；(2) 按未知函數(shù)及其導數(shù)的冪次，分為線性微分方程和 非線性微分方程；(3) 按方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階 和高階微分方程。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方程和定解條件的推導典型方程和定解條件的推導線性方程的解具有疊加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu4 4、疊加原理、疊加原理 幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)xxuatu2222222222uuauxt222uuaxuxt222110uu判斷下列方程的類型思考數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第1 1章章 典型方