1.2集合與函數(shù)ppt課件

1、(calculus)數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙. . 培根培根2集集 合合(set)(set)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)函函 數(shù)數(shù)(function)(function)1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)第第1 1章章 函函 數(shù)數(shù)具有某種特定性質(zhì)的事物的總體具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該組成這個(gè)集合的事物稱為該一、集合一、集合 集合集合元素元素(簡稱元簡稱元)(集集)元素元素(element).(element).集合的集合的通常以大寫字母通常以大寫字母,MBA等表示集合等表示集合,以小寫字母以小寫字母等表示集合的元素等表示集合的元素.,mba;Aa

2、Aa 否則記否則記記作記作或或.Aa 若若a是是A的元素的元素,則說則說a屬于屬于A,1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)).(記記作作空集空集. .不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為1. 集合集合(set)的概念的概念34集合分類集合分類 有限集有限集無限集無限集只含有限個(gè)元素只含有限個(gè)元素;不是有限集的集合不是有限集的集合.列舉法列舉法表示集合方法有兩種表示集合方法有兩種 描述法描述法 把集合的全部元素一一列出來把集合的全部元素一一列出來, 例例 考察由下列元素考察由下列元素 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9可以用列舉法將其表示成可以用列舉法將其表示成9, 8,

3、7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 , 0列舉法有很大的局限性列舉法有很大的局限性.組成的集合組成的集合A, A外加花括號(hào)外加花括號(hào).1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)5xPx具有性質(zhì)具有性質(zhì)如如: :由不超過由不超過1010的奇數(shù)組成的集合的奇數(shù)組成的集合,其元素有其元素有50億個(gè)億個(gè), 要把它們?nèi)繉懗鰜硪阉鼈內(nèi)繉懗鰜?且有很多集合且有很多集合, 其元素是其元素是很多紙張很多紙張!根本無法一一羅列出來根本無法一一羅列出來.得用得用很多時(shí)間很多時(shí)間,不可數(shù)的不可數(shù)的, 更常用的是列出規(guī)定這個(gè)集合特定性質(zhì)更常用的是列出規(guī)定這個(gè)集合特定性質(zhì)P 就是就是 描述法描述法

4、. . M花括號(hào)中豎線前的花括號(hào)中豎線前的x而豎線后而豎線后x是是 M 中元素的通用符號(hào)中元素的通用符號(hào),則是則是 x 所具有的性質(zhì)所具有的性質(zhì).Px具有性質(zhì)具有性質(zhì) 的辦法來表示集合的辦法來表示集合,可用列舉法表示為可用列舉法表示為.0322 xxx0322 xx的根組成的集合的根組成的集合也可用描述法表示為也可用描述法表示為,3 , 1 例例 由方程由方程62. 區(qū)間區(qū)間(interval)區(qū)間是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)區(qū)間是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). ba 且且bxax 稱為稱為),(ba記作記作bxax 稱為稱為,ba記記作作這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)

5、.,都都是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)和和設(shè)設(shè)ba開區(qū)間開區(qū)間, ,閉區(qū)間閉區(qū)間, ,xOabxOab1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)7bxax bxax 稱為稱為),ba記作記作,(ba記記作作),xaxa ),(bxxb 有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間. . 全體實(shí)數(shù)的集合全體實(shí)數(shù)的集合R 也可記作也可記作),( 是無限區(qū)間是無限區(qū)間.xOaxOb1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)83. 鄰域鄰域(neighborhood). 0, 且且是是兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)與與設(shè)設(shè)a,為中心為中心點(diǎn)點(diǎn)a為為半半徑徑 ),( aU| axx 的的稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)a 數(shù)集數(shù)集即即 鄰域鄰域, 記作記作它它是是以以.

6、的開區(qū)間的開區(qū)間幾何表示幾何表示:),(表表示示 aU.的的全全體體的的一一切切點(diǎn)點(diǎn)距距離離小小于于與與點(diǎn)點(diǎn)xa . axaxxO a a a).,( aU1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)9),( aU 有時(shí)簡記為有時(shí)簡記為).(aU),( aU記作記作,鄰域鄰域的的 去心去心( (空心空心) ) 0. axx ),( aU 即即ax 開區(qū)間開區(qū)間開區(qū)間開區(qū)間),(aa ,鄰域鄰域左左 ),( aa.鄰域鄰域右右 點(diǎn)點(diǎn)a的的稱為稱為a的的稱為稱為a的的1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)104. 邏輯符號(hào)邏輯符號(hào) 在邏輯推理過程中最常用的兩個(gè)邏輯記號(hào)在邏輯推理過程中最常用的兩個(gè)邏輯記號(hào). 、 “ ”表示表

7、示 “任取任取 ”, 或或“任意給定任意給定”.“ ” 表示表示 或或“能夠找到能夠找到”. 如如 實(shí)數(shù)的阿基米德實(shí)數(shù)的阿基米德 (Archmed) 公理是這樣公理是這樣任意給定兩個(gè)正的實(shí)數(shù)任意給定兩個(gè)正的實(shí)數(shù) a,b,都存在一個(gè)都存在一個(gè)自然數(shù)自然數(shù)n,. bna 使使得得用邏輯符號(hào)用邏輯符號(hào), 和和將阿基米德公理改寫將阿基米德公理改寫: . bna 使使得得 , 0, ba,Nn Any(每一個(gè)每一個(gè))或或All(所有的所有的)的字頭的字頭A的倒寫的倒寫Exist(存在存在)的的 字頭字頭E的倒寫的倒寫敘述的敘述的:1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)“存在存在 ”, “至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)”

8、,111.常量常量(constant quantity)與變量與變量(variable)注注二、函數(shù)二、函數(shù)(function)而是相對(duì)而是相對(duì)“過程而言的過程而言的.常量常量; ; 變量變量. .在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為而在過程中數(shù)值變化的量稱為而在過程中數(shù)值變化的量稱為一個(gè)量是常量還是變量一個(gè)量是常量還是變量, 不是絕對(duì)的不是絕對(duì)的,常量與變量的表示方法常量與變量的表示方法:通常用字母通常用字母 a, b, c等表示常量等表示常量, 用字母用字母 x, y, t等表示變量等表示變量.1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)12 初等數(shù)學(xué)初等數(shù)學(xué), ,變量的數(shù)學(xué)變量的

9、數(shù)學(xué) “常量的數(shù)學(xué)常量的數(shù)學(xué)”, 從現(xiàn)在開始從現(xiàn)在開始, ,進(jìn)入進(jìn)入就其總體來說是就其總體來說是微積分微積分. .1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)13 定義定義 設(shè)有兩個(gè)變量設(shè)有兩個(gè)變量x和和y,自變量自變量因變量因變量定義域定義域(domain)記作記作變量變量y的取值的集合稱為函數(shù)的值域的取值的集合稱為函數(shù)的值域(range),即即.),(|DxxfyyW 變量變量x的變域?yàn)榈淖冇驗(yàn)镈,如果對(duì)于如果對(duì)于D中的每一個(gè)中的每一個(gè)x值值, 按照一定的法則按照一定的法則, 變變量量y總有唯一的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)總有唯一的數(shù)值與之對(duì)應(yīng), 則稱變量則稱變量y為變量為變量x的函數(shù)的函數(shù)(function),2.

10、函數(shù)概念函數(shù)概念),(xfy ,Dx 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)14注注(1) 函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的記號(hào): 除常用的除常用的f 外外,可任意選取可任意選取,如如 、Fg相應(yīng)地相應(yīng)地, 函數(shù)可記作函數(shù)可記作:),(xgy 等等,)(),(xyxFy 等等,也可記作也可記作:y)(x y在同一個(gè)問題中在同一個(gè)問題中, 討論到幾個(gè)不同的函數(shù)時(shí)討論到幾個(gè)不同的函數(shù)時(shí),則必須用不同的記號(hào)分別表示這些函數(shù)則必須用不同的記號(hào)分別表示這些函數(shù), 以示區(qū)別以示區(qū)別.1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)15(2) 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的總是唯一的,否則稱為否則稱為如如xy 是多值函數(shù)是多值函數(shù),它的兩個(gè)單值支

11、是它的兩個(gè)單值支是:,xy 單值函數(shù)單值函數(shù), ,多值函數(shù)多值函數(shù). .約定約定:.xy 今后無特別說明時(shí)今后無特別說明時(shí), 函數(shù)是指單值函數(shù)函數(shù)是指單值函數(shù).這種函數(shù)稱為這種函數(shù)稱為(3) 構(gòu)成函數(shù)的構(gòu)成函數(shù)的xyxylg2lg2 、是兩個(gè)不同的函數(shù)是兩個(gè)不同的函數(shù).(因?yàn)槎x域不同因?yàn)槎x域不同).如如定義域定義域Df與對(duì)應(yīng)法則與對(duì)應(yīng)法則 f .兩個(gè)要素兩個(gè)要素:,Dx 對(duì)對(duì)1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)16 函數(shù)的表示法只與定義域和對(duì)應(yīng)法則有關(guān)函數(shù)的表示法只與定義域和對(duì)應(yīng)法則有關(guān),即即簡稱函數(shù)表示法的簡稱函數(shù)表示法的(4)而與用什么字母無關(guān)而與用什么字母無關(guān),無關(guān)特性無關(guān)特性. .xut

12、)()()(fff1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)17定義域一般有兩種定義域一般有兩種:(1)自變量所能取的使算式有意義的一切自變量所能取的使算式有意義的一切定義區(qū)間定義區(qū)間. .由問題的實(shí)際意義所確定由問題的實(shí)際意義所確定.(2)函數(shù)的定義域常用區(qū)間來表示函數(shù)的定義域常用區(qū)間來表示,又可稱為又可稱為:實(shí)際問題實(shí)際問題(幾何或物理問題幾何或物理問題);在純數(shù)學(xué)的研究中在純數(shù)學(xué)的研究中 (函數(shù)由一個(gè)公式函數(shù)由一個(gè)公式實(shí)數(shù)組成的集合實(shí)數(shù)組成的集合,這種定義域稱為這種定義域稱為自然定義域自然定義域. .表示的表示的).1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)18例例 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域:)16(l

13、og)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4 , 2()2 , 1(022 xx.2 , 1()1 ,21(01 x11 x1712 x定義域是定義域是定義域是定義域是012 x0162 x )2(112 x1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)19常用的函數(shù)關(guān)系表示法是多種多樣的常用的函數(shù)關(guān)系表示法是多種多樣的. 公式法公式法(解析法解析法);主要有三種形式主要有三種形式表格法表格法.各種表示法各種表示法, 都有其優(yōu)點(diǎn)和不足都有其優(yōu)點(diǎn)和不足. 圖形法圖形法;公式法公式法(解析法解析法)圖形法圖形法表格法表格法今后以公式法為主今后以公式法為主, 便于進(jìn)

14、行理論分析和計(jì)算便于進(jìn)行理論分析和計(jì)算;形象直觀形象直觀, 富有啟發(fā)性富有啟發(fā)性, 便于記憶便于記憶;便于查找函數(shù)值便于查找函數(shù)值, 但它常常是不完全的但它常常是不完全的.也可用語言描述也可用語言描述.配合使用圖形法和表格法配合使用圖形法和表格法. 需特別指出的是需特別指出的是, 公式法不一定僅用一個(gè)公式表示公式法不一定僅用一個(gè)公式表示函數(shù)函數(shù). 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)20例例 某商店對(duì)一種商品的售價(jià)規(guī)定如下某商店對(duì)一種商品的售價(jià)規(guī)定如下: 購買量購買量 )(xfy50 x105 x10 xx8 . 058 . 0 有些函數(shù)有些函數(shù) 58 . 0分段函數(shù)分段函數(shù). .)10(4 . 0

15、x)5(6 . 0 x稱為稱為函數(shù)關(guān)系也不同函數(shù)關(guān)系也不同,除了可用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)外除了可用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)外,隨著自變量取不同的值隨著自變量取不同的值,這種函數(shù)這種函數(shù)不超過不超過5千克時(shí)千克時(shí), 每千克每千克0.8元元; 購買量大于購買量大于5千克而不千克而不超過超過10千克時(shí)千克時(shí), 若購買若購買 x 千克的費(fèi)用記為千克的費(fèi)用記為 f (x), 那那么么購買量大于購買量大于10千克時(shí)千克時(shí), 超過超過10千克部分每千克千克部分每千克0.4元元, 56 . 0 x6 . 01 x4 . 03 元元;在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中,經(jīng)常會(huì)遇到分段函數(shù)的

16、情形經(jīng)常會(huì)遇到分段函數(shù)的情形.其中超過其中超過5千克部分優(yōu)惠價(jià)每千克千克部分優(yōu)惠價(jià)每千克0.6xyO5101.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)21 用分段函數(shù)表示函數(shù)用分段函數(shù)表示函數(shù),13 xy分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù)分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù),答案答案: 1),1(31),1(3xxxxy即即 1,41,2xxxxy注注而不是幾個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)!13.xyO并畫出并畫出其圖形其圖形. 2 41.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)22幾個(gè)今后常引用的函數(shù)幾個(gè)今后常引用的函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)例例 | xy, 0 x0 x ,x,x 定義域),( D值域值域)., 0 WxyO| xy

17、1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)23xyO符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)(克羅內(nèi)克函數(shù)克羅內(nèi)克函數(shù)) xysgn|sgnxxx 定義域),( D值域值域.1 , 0 , 1 W對(duì)對(duì)例例, 0 x,1, 0 x,00 x,1 11 ,R x有有或或.sgn|xxx 克羅內(nèi)克克羅內(nèi)克Kronecker L. 1823 1891, 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)24xyo 3 2 1 1 4 1 22 1 2 3 取整函數(shù)取整函數(shù)如如5 . 25 例例,n Z,1 nnxn當(dāng)當(dāng)xy 2 2 . 55 9 . 77 55 . 2 3 xy 階梯曲線階梯曲線 定義域),( D值域值域表示不超過表示不超過

18、 x 的最大整數(shù)的最大整數(shù)W = 整數(shù)整數(shù).1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)25例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)函數(shù) )(xDy,Q x.QCx 狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859(x為有理函數(shù)為有理函數(shù))(x為無理函數(shù)為無理函數(shù)), 1, 0 定義域),( D值域值域.1 , 0 W由于有理數(shù)和無理數(shù)在實(shí)數(shù)集中稠密由于有理數(shù)和無理數(shù)在實(shí)數(shù)集中稠密,因此只能畫出它的象征性的圖像因此只能畫出它的象征性的圖像. 有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn) xyO11.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)26有界性有界性 (bounded)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上有定義上有定義,

19、Axf )(則說則說 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間I上有上上有上 界界.),)(Bxf (下下), Ix 使得對(duì)所有使得對(duì)所有若存在若存在常數(shù)常數(shù)A都有都有(B),3. 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)27 若存在常數(shù)若存在常數(shù)使得對(duì)所有使得對(duì)所有, Ix Mxf )(則稱則稱 f (x) 在在I上有界上有界. 在在 I上無界上無界;MxfM )(, 0 M都有都有 若這樣的若這樣的M 不存在不存在, 則稱則稱 f (x)即為對(duì)于任何即為對(duì)于任何, 0 M 總存在總存在,0Ix ,)(0Mxf 使使則稱則稱 f (x) 在在 I上無界上無界.有界有界無界無界xyOab)(x

20、fMM ,baI xyO20 xMxy1 )2 , 0( I1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)28在定義域上有界的函數(shù)叫做在定義域上有界的函數(shù)叫做例例xysin 是有界函數(shù)是有界函數(shù);xy1 是無界函數(shù)是無界函數(shù), 但它在區(qū)間但它在區(qū)間 在區(qū)間在區(qū)間上上), 1( 注 一定要把區(qū)間明確出來!不是有界函數(shù)不是有界函數(shù), 就是無界函數(shù)就是無界函數(shù).顯然顯然,(bounded function)有界函數(shù)有界函數(shù). .有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界. 若若f (x) 在在I上有界上有界,不是唯一的不是唯一的.則它在則它在I上的上界和下界均上的上界和下界均上上),

21、 0( 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)29).(1)(2在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)為為函函數(shù)數(shù)xxxf A. 有上界無下界有上界無下界B. 有下界無上界有下界無上界C. 有界有界, 21)(21 xf且且D. 有界且有界且31122 xx解解21)(xxxf 21|xx |2|xx 21 |)|21(2xx C解題提示解題提示 將函數(shù)取絕對(duì)值將函數(shù)取絕對(duì)值, 然后用不等式然后用不等式放縮法放縮法.21)(21 xf故故1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)30單調(diào)性單調(diào)性(monotonicity)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2121,xxIxx ),()(21xfxf 單調(diào)增加單調(diào)增加;.DI 如果對(duì)如果對(duì)恒有恒有 monoto

22、ne increasingxyOI)(xfy )(1xf)(2xf1x2x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈, 區(qū)間區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上是上是1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)31I 注 應(yīng)指明單調(diào)區(qū)間, 否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤. 單調(diào)減少單調(diào)減少.)(xfy )(1xf)(2xf1x 2x .DI 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2121,xxIxx ),()(21xfxf 如果對(duì)如果對(duì)恒有恒有monotone decreasingxyO 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈, 區(qū)間區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間I上是上是1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)32奇偶性奇偶

23、性偶函數(shù)的圖形偶函數(shù)的圖形),()(xfxf 稱稱 f (x)為為偶函數(shù)偶函數(shù) (even function); 有有對(duì)于對(duì)于,Dx xyO)( xf )(xfy )(xfxx 設(shè)設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)33),()(xfxf 奇函數(shù)的圖形奇函數(shù)的圖形稱稱f (x)為為奇函數(shù)奇函數(shù) (odd function). 有有對(duì)于對(duì)于,Dx xyO)( xf )(xf)(xfy xx 設(shè)設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)34周期性周期性(periodicity)的周期的周期.)()(xflxf ,Dx 使使得得周期函數(shù)周期函數(shù)(period f

24、unction).如果存在一個(gè)如果存在一個(gè)正數(shù)正數(shù)l,且總有且總有l(wèi) 稱為稱為f (x)通常稱周期函數(shù)的周期是指通常稱周期函數(shù)的周期是指最小正周期最小正周期. .周期為周期為 l 的周期函數(shù)的周期函數(shù),)(Dlx 有有23l23l 2l 2lOxy設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,則稱則稱f (x)是是1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)354. 生成新函數(shù)的幾種運(yùn)算生成新函數(shù)的幾種運(yùn)算設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x), g(x)的定義域分別為的定義域分別為D1, D2,21DDD , 則可定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算則可定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算和和( (差差) );Dx 積積;Dx 商商Dx 且且

25、; 0)( xg線性組合線性組合 ,為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù),.Dx ),()(xgxf ),()(xgxf ,)()(xgxf),()(xgxf 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)而生成新的函數(shù)而生成新的函數(shù):gf )( )(xgf:gf )( )(xgf:gf )(xgf365. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)).(1xfy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)閃,則稱變量則稱變量x為變量為變量y的函數(shù)的函數(shù),記為記為(1)定義定義反函數(shù)反函數(shù)(inverse function)如果對(duì)于如果對(duì)于W中任一中任一 y值值,從關(guān)系式從關(guān)系式 y = f (x)中可確定唯一的一個(gè)中可確定唯一的一個(gè)).

26、(1yfx )(1yf 稱為函數(shù)稱為函數(shù)y =f (x)的反函數(shù)的反函數(shù),習(xí)慣上習(xí)慣上 y = f (x) 的的反函數(shù)記為反函數(shù)記為x值值,1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)37求反函數(shù)的步驟求反函數(shù)的步驟求函數(shù)的反函數(shù)求函數(shù)的反函數(shù) y = f -1(x).(1) 把把x從方程從方程 y = f (x)中解出中解出;(2) 把剛才所得的表達(dá)式中的把剛才所得的表達(dá)式中的x與與y對(duì)換對(duì)換,即得所即得所注意注意(1) y = f (x)的圖形與其反函數(shù)的圖形與其反函數(shù) x = f -1(y)的圖形的圖形y = f (x)的圖形與其反函數(shù)的圖形與其反函數(shù) y = f -1(x)的圖形關(guān)的圖形關(guān)xy 直線直

27、線對(duì)稱對(duì)稱.(2) 只有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù)只有一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)才有反函數(shù).重合重合;于于2xy 存在反函數(shù)嗎存在反函數(shù)嗎?問問: : yx1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)38 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形xy 直線直線對(duì)稱對(duì)稱.關(guān)于關(guān)于xyO ),(baP ),(abQ)(1xfy 反反函函數(shù)數(shù))(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xy 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)39如如xy10 其反函數(shù)為其反函數(shù)為yxlg 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)),( 定義域?yàn)槎x域?yàn)橹涤驗(yàn)橹涤驗(yàn)?;,0( 寫成寫成xylg Oxyxy 1xy10 1xylg 注注并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù)并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù).2

28、xy 如如 函數(shù)函數(shù)),( 定義域?yàn)槎x域?yàn)橹涤驗(yàn)橹涤驗(yàn)?;,0 但對(duì)但對(duì)), 0( y都有兩個(gè)都有兩個(gè)yx 1和和yx 2與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), x不是不是y 的函數(shù)的函數(shù),2xy 不存在反函數(shù)不存在反函數(shù).并稱為對(duì)數(shù)函數(shù)并稱為對(duì)數(shù)函數(shù).1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)40LS05. 0 4. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) (compound function )設(shè)某企業(yè)經(jīng)營者每年收入設(shè)某企業(yè)經(jīng)營者每年收入S 與該年利潤與該年利潤L有關(guān)有關(guān),得到得到把把構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).例例其函數(shù)關(guān)系為其函數(shù)關(guān)系為而利潤而利潤L則與該企業(yè)產(chǎn)品的產(chǎn)量則與該企業(yè)產(chǎn)品的產(chǎn)量Q有關(guān)有關(guān)

29、, 其關(guān)系為其關(guān)系為3 . 0QL .05. 03 . 0QS 3 . 005. 0QS 稱為由稱為由和和LS05. 0 3 . 0QL 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)41 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y =f (u) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈f ,而函數(shù)而函數(shù)假設(shè)假設(shè) gfWD 則稱函數(shù)則稱函數(shù)u = g(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)閃g , y =f g(x)為為 x 的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù). x為自變量為自變量, u為中間變量為中間變量, y為因變量為因變量.1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù) 也可記作也可記作:).(xgfy 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)42(1) 并非任何兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成為復(fù)合函數(shù)并非任何

30、兩個(gè)函數(shù)都能復(fù)合成為復(fù)合函數(shù);2122 xuuy和和如如(2) 復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合注注因?yàn)橐驗(yàn)?2xu 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).21uy 的定義域的定義域Df 是是,1 , 1 (3) 反過來反過來, 一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)根據(jù)需要也可以分解為若干簡單函數(shù)的復(fù)合分解為若干簡單函數(shù)的復(fù)合.的值域的值域Wg是是 gfWD .構(gòu)成構(gòu)成.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y =f (u) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈f ,而函數(shù)而函數(shù)u = g(x) gfWD 若若則稱函數(shù)則稱函數(shù)y = f g(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)閃g ,為為 x 的復(fù)合函數(shù)

31、的復(fù)合函數(shù).), 2 43,e211xy ,e y,1 u.12xv 復(fù)合函數(shù)的分解復(fù)合函數(shù)的分解(復(fù)合函數(shù)拆成幾個(gè)簡單函數(shù)復(fù)合函數(shù)拆成幾個(gè)簡單函數(shù)), 由函數(shù)的最外層運(yùn)算一層層剝到最由函數(shù)的最外層運(yùn)算一層層剝到最里邊里邊, 切不可漏層切不可漏層.如如uvu,v 都是中間變量都是中間變量.復(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合函數(shù)的定義域是, 12 x即即), 1()1 , 1()1,( 而不是而不是21xv 的定義域的定義域).,( 剝皮法剝皮法1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)441) 冪函數(shù)冪函數(shù)(power function)( 是常數(shù)是常數(shù) xy 定義域與 的取值有關(guān). 5. 初等函數(shù)初等函數(shù)(eleme

32、ntary function)(basic elementary function)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)xyO11)1 , 1(xy 2xy xy1 xy 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)452) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(exponential function)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0(xye 定義域?yàn)槎x域?yàn)?,( 值域?yàn)橹涤驗(yàn)?., 0( xyO 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)463) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)(logarithm function)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a定義域?yàn)槎x域?yàn)?.,( 值

33、域?yàn)橹涤驗(yàn)?, 0( xyO)0 , 1( 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)474) 三角函數(shù)三角函數(shù)(trigonometric function)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 定義域?yàn)槎x域?yàn)?,( 值域?yàn)橹涤驗(yàn)?1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 21.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)48xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域?yàn)槎x域?yàn)?,( 值域?yàn)橹涤驗(yàn)?1 , 1 11 xyO 2 2 23 2 23 25 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)49正切函數(shù)正切函數(shù)xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xytan xytan xycot 定義域定義域).,( 值域值域 Z,212 n

34、nx定義域定義域).,( 值域值域Z, nnxxyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)505) 反三角函數(shù)反三角函數(shù)(inverse trigonometric function)xyarcsin xysinArc 定義域定義域值域值域,1 , 1 .2,2 主值反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)xyO22 11 反三角函數(shù)都是多值函數(shù)反三角函數(shù)都是多值函數(shù).但是但是,可以選取這些函數(shù)的可以選取這些函數(shù)的單值支單值支.1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)51xyarccos 定義域定義域值域值域,1 , 1 ., 0 主值反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)xycosArc xyO11 1.1

35、 集合與函數(shù)集合與函數(shù)52xyarctan 主值定義域定義域值域值域),(.2,2 反正切函數(shù)反正切函數(shù)xytanArc xyO2 2反余切函數(shù)反余切函數(shù)xyArccot xyO2 主值xycotarc 定義域定義域值域值域),()., 0( 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)53(2) 初等函數(shù)初等函數(shù)(elementary function)初等函數(shù)初等函數(shù). .如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函數(shù)都是初等函數(shù). 7 !75 ! 53 ! 3753xxxxy不是初等函數(shù)不是初等函數(shù)., 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算(加、減、乘、除加、減、乘、除)和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為稱為1.1 集合與函數(shù)集合與函數(shù)54注注一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù)一般分段函數(shù)不叫初等函數(shù),0,0, xxxxy如如 可看作分段函數(shù),是否又可看作是初等函數(shù)是否又可看作是初等函數(shù)?答答: 0,0,xxxxy故又可看作是初等函數(shù)故又可看作是初等函數(shù).是是!由于