高等數(shù)學(xué)1復(fù)習(xí)ppt課件

1、一函數(shù)極限的概念一函數(shù)極限的概念二函數(shù)極限的運(yùn)算二函數(shù)極限的運(yùn)算三函數(shù)延續(xù)的概念三函數(shù)延續(xù)的概念左右極限左右極限兩個(gè)重要兩個(gè)重要極限極限求極限的常用方法求極限的常用方法無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì)的性質(zhì)極限存在的極限存在的充要條件充要條件斷定極限斷定極限存在的準(zhǔn)那么存在的準(zhǔn)那么無(wú)窮小的比較無(wú)窮小的比較極限的性質(zhì)極限的性質(zhì)數(shù)列極限數(shù)列極限函函 數(shù)數(shù) 極極 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等價(jià)無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)及其性質(zhì)獨(dú)一性獨(dú)一性無(wú)窮小無(wú)窮小0)(lim xf兩者的兩者的關(guān)系關(guān)系無(wú)窮大無(wú)窮大 )(limxf含 用1.常規(guī)型:00lim()()xxfxfx 2.特殊型:分

2、段點(diǎn)處極限:)(lim0 xfx)(lim0 xfx型型: :倒數(shù)求無(wú)窮小A0型型:有界變量與無(wú)窮小量之積和式極限:先求和式再求極限)00( . 3分解因式消零因子)(0 xx ).(4 用最高次或“最大項(xiàng)除分子分母含(反)三角函數(shù)用.1xsinxlim0 x 0)5.(1)()(xgxfexxx )11 (limexxx 10)1(lim洛必達(dá)法那么洛必達(dá)法那么洛必達(dá)法那么洛必達(dá)法那么01lim( )( )nbiiaifxf x dx 定積分的定義洛必達(dá)法那洛必達(dá)法那么么函數(shù)延續(xù)函數(shù)延續(xù)概念概念點(diǎn)延續(xù)點(diǎn)延續(xù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)0 x)x(fy )x(f)x(flim0 xx0 特殊：特殊

3、：左延續(xù)左延續(xù)右延續(xù)右延續(xù))x(f)x(flim0 xx0 )x(f)x(flim0 xx0 區(qū)間延續(xù)區(qū)間延續(xù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都延續(xù)的函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)延續(xù)性延續(xù)性根本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是延續(xù)的.閉區(qū)間上閉區(qū)間上延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)最大值和最最大值和最小值定理小值定理有界性定理有界性定理零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 介值定理介值定理Mmab2 1 xyo)( xfy ab3 2 1 xyo)(xfy MBCAmab1 2 3 2x1xxyo)( xfy 例例1 1 42lim()tg xxtgx )x( g) x( f ) 01 (exxxxxx )(lim)(lim11110解解42lim()tg

4、xxtgx 42lim1(1)tg xxtgx 4lim1(1)xtgx 11tgx (1)2tgxtg x 2412(1)11lim1(1)tgxtgxtgxtg xxtgx 1e 典型例題典型例題洛必達(dá)法那洛必達(dá)法那么么解解2442ln()lim()limtgxtg xtgxxxtgxe 42ln()limtg xtgxxe 4lim (2ln()xtg xtgxe 4ln()lim2xtgxctg xe 4ln()lim21xtgxctg xee 例例2 23101tlim().1sinxxgxx 求求 10110 (10) exxxxxx )(lim)(lim11110解法討論解法討論

5、解解:3101tlim1(1)1sinxxgxx 原式原式310tsinlim11sinxxgxxx 31 sinsin1sin1 sin0tsinlim11 sinxtgxxtgxxxxxgxxx 31 sinsin1sin1 sin0tsinlim11sinxtgxxtgxxxxxgxxx 30tsin1lim1sinxgxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 2112.e )x( g) x( f ) 01 (例例3 33101tlim().1sinxxgxx 求求解解:解法討論解法討論則則設(shè)設(shè),)

6、(lim, 0)(lim xgxf)(1ln)(lim)()(1limxfxgxgexf )()(limxfxge .)()(limxfxge )()(1ln(xfxf 3101tlim1(1)1sinxxgxx 原式原式310tsinlim11sinxxgxxx 30tsin1lim1sinxgxxxx 301cos)sin1()cos1(sinlimxxxxxx xxxxxxxcos)sin1(1cos1sinlim20 21301 tsinlim1 sinxgxxxxe 10110 (10) 12e 0(10)e 301tsinlimln11 sinxgxxxxe ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(

7、lim1xfx )1(lim1xx. 2 )(lim1xfx 2coslim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(間間斷斷在在故故 xxf,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )(lim1xfx 2coslim1xx. 0 )(lim1xfx )1(lim1xx. 0)(lim)(lim11xfxfxx .1)(連連續(xù)續(xù)在在故故 xxf.), 1()1,()(連連續(xù)續(xù)在在 xf例例4 4.1,2cos1,1)(的的連連續(xù)續(xù)性性討討論論 xxxxxf 解解改改寫寫成成將將)(xf 1, 111,2cos1,1)(xxxxxxxf.), 1(),1 , 1(),1,()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然

8、xf例例5 5).()21(1 ,0),1()0(,1 ,0)( ffffxf 使使得得證證明明必必有有一一點(diǎn)點(diǎn)且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)討論討論:( )F 1()( )02ff 1( )()( ),2F xf xf x.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ab3 2 1 xyo)(xfy 例例6 6).()21(1 ,0),1()0(,1 ,0)( ffffxf 使使得得證證明明必必有有一一點(diǎn)點(diǎn)且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)證明證明),()21()(xfxfxF 令令.21, 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xF),0()21()0(ffF ),21()1()2

9、1(ffF 討論討論:, 0)0( F若若, 0 則則);0()210(ff , 0)21( F若若,21 則則);21()2121(ff 則則若若, 0)21(, 0)0( FF )21()0(FF2)0()21(ff . 0 由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知,. 0)(),21, 0( F使使.)()21(成立成立即即 ff 綜上綜上,1 , 021, 0 必有一點(diǎn)必有一點(diǎn).)()21(成成立立使使 ff 一導(dǎo)數(shù)與微分的概念一導(dǎo)數(shù)與微分的概念二導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算二導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義dxxdfdxdyxfy)(),(,或或 xy 0lim xxxfxxfx )()

10、(lim0幾何意義幾何意義oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000為為傾傾角角即即切切線線的的斜斜率率處處的的在在點(diǎn)點(diǎn)表表示示曲曲線線 xfxfxMxfyxf可導(dǎo)與延續(xù)可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系的關(guān)系函數(shù)可導(dǎo)一定延續(xù)，函數(shù)可導(dǎo)一定延續(xù)，但延續(xù)不一定可導(dǎo)但延續(xù)不一定可導(dǎo).xy2xy 0 xy 31xyxy1高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).0()( )( )limxfxxfxfxx 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

11、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求導(dǎo)法那么求導(dǎo)法那么和、差、積、商和、差、積、商的求導(dǎo)法那么的求導(dǎo)法那么).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù))(1)(xxf 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么么)()(000 xufdxdyxx 初等函數(shù)初等函數(shù)的求導(dǎo)的求導(dǎo)分解成根本初等函數(shù)分解成根本初等函數(shù)(復(fù)合復(fù)合),或或常數(shù)與根本初等函數(shù)的和、常數(shù)與根本初等函數(shù)的和、差、積、商差、積、商.根本初等函數(shù)根本初等函數(shù)或常數(shù)的導(dǎo)數(shù)或常數(shù)的導(dǎo)數(shù)特殊求導(dǎo)特殊求

12、導(dǎo)方法方法隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu參數(shù)方程所確定參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)間的函數(shù)間的函數(shù)與與確定確定參數(shù)方程參數(shù)方程xytytx )()( dtdxdtdydxdy 微分微分00()()()yf xxf xAxox 可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)0 x)x(fy (),000dydf xdyAxx xx x 記記作作或或即即).0(xfA .可可微微可可導(dǎo)導(dǎo)求法求法: : 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .dxxfdy)( 微微分分形形式式總總是是的的函函數(shù)

13、數(shù)是是自自變變量量還還是是中中間間變變量量無(wú)無(wú)論論)(,xfyx dxxfdy)( 函數(shù)增量的近似值函數(shù)增量的近似值,很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x 00 xxdyxxy .)(0 xxf 函數(shù)的近似值函數(shù)的近似值xxfxfxxf )()()(000)(很很小小時(shí)時(shí)x ;0)(. 1附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求xxxf ;0)(.2附附近近的的近近似似值值在在點(diǎn)點(diǎn)求求 xxfxffxf )0()0()(例例1 12221111arctan 1ln,.2411xyxyx 設(shè)設(shè)求求解解,12xu 設(shè)設(shè),11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,214

14、2xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx 22( )(0,0),.yxd yyf xyx xydx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由由方方程程所所確確定定 求求例例2 2解解兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.,)(sincosyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例3 3解解)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx coslnln (sin )xyxx )(

15、ln yyy解解 cosln sinxxyx e cosln sinxxx e 2cosln sincosln sincossinlnsinsinxxxxxex exxx cosln sincosln sinxxxxexe cosln sincosln sincoslnsinxxxxex exx ab1 2 xyo)(xfy Cab1 2 xoy)(xfy ABCD)(1 F)(2 Fxoy )()(tfYtFX)(aFA)(bFBCDRolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理型型型型及及 00),1 ,0,0(00型型 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則)()(lim)

16、()(limxFxfxFxfaxax xyoab最大值最大值最小值最小值極大值極大值極小值極小值拐點(diǎn)拐點(diǎn)凹的凹的凸的凸的單增單增單減單減)(xfy 單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性的判別法單調(diào)性的判別法xyo)( xfy abAB0)( xf單單調(diào)調(diào)增增加加xyo)(xfy 0)( xfabBA單單調(diào)調(diào)減減少少單調(diào)區(qū)間的求法單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)極值函數(shù)極值函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的定義函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法oxy0 xoxy0 xxyoxyo0 x0 x xyoxyo0 x0 x 函數(shù)最值函數(shù)最值最值存在判別法最值存在判別法oxyoxybaoxyabab函數(shù)最值的求法函數(shù)最值的求法曲線凹凸性曲線凹凸性曲線

17、凹凸的定義曲線凹凸的定義曲線凹凸的斷定曲線凹凸的斷定曲線的拐點(diǎn)及其求法曲線的拐點(diǎn)及其求法xyo)( xfy 1x2xxyo1x2x)( xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)( xf 0 yxyo)(xfy abBA遞遞減減)(xf 0 y0)(0 xfxyoABC0 x0y0 x,()0)( xf0)( xf型型及00),1 ,0,0(00型型 1212()().()22f xf xxxf 例例1 1 證明多項(xiàng)式證明多項(xiàng)式 在在 上不能夠有兩個(gè)零點(diǎn)上不能夠有兩個(gè)零點(diǎn). .3( )3f xxxa 0,122( )333(1)0f 分析分析: :反證法反證法 12()0;()0f xf x

18、 1201xx12()()f xf x 由羅爾定理由羅爾定理1201xx ( )0f 1 矛盾矛盾1201xx 設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)例例2 設(shè)設(shè) ,證明多項(xiàng)式證明多項(xiàng)式 在在 內(nèi)至少內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)有一個(gè)零點(diǎn) 10021naaan 01( )nnf xaa xa x (0,1)10021naaan 01( )0nnfaaa 分析分析: :,01 想象想象( )( )0Ff ,01 造輔助函數(shù)造輔助函數(shù)( )F x適宜于中值定理適宜于中值定理01( )( )nnFxf xaa xa x 2110( )21nnaaF xa xxxn (0)0,F (1)0F 例例3 3 設(shè)設(shè) 在在 上延續(xù)上延

19、續(xù), ,在在 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且 , ,證明存在證明存在一點(diǎn)一點(diǎn) , ,使使 . .( )f x0, a(0, )a( )0f a (0, )a ( )( )0ff ( )( )0ff 分析分析: :想象想象( )( )( )0Fff 造輔助函數(shù)造輔助函數(shù)( )F x適宜于中值定理適宜于中值定理( )( )( )Fxf xxfx ( )( )F xxf x (0)0,( )0FF a 0a 0a 例例4 證明不等式證明不等式120,2xx 2211tgxxtgxx 分析分析: :2211tgxxtgxx 2121tgxtgxxx 120,2xx 21()()f xf x 21,xx 單調(diào)遞

20、增性單調(diào)遞增性( )tgxf xx 單調(diào)遞增性單調(diào)遞增性222sec( )0 xxtgxxtgxfxxx 例例5 52,1.xyxx 求求函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間 極極值值 凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間 拐拐點(diǎn)點(diǎn) 漸漸近近線線并并作作函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形解解:)1(定定義義域域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函數(shù)奇函數(shù)y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo),lim)3(

21、yx;沒沒有有水水平平漸漸近近線線,lim01 yx又又,lim01 yx;1的的鉛鉛直直漸漸近近線線為為曲曲線線 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的的鉛鉛直直漸漸近近線線為為曲曲線線 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的的斜斜漸漸近近線線為為曲曲線線直直線線yxy (4)(1),(3,0,3),xxxx 以以函函數(shù)數(shù)的的不不連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和可可能能拐拐點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)為為分分點(diǎn)點(diǎn)xyoxy 1 1作圖作圖x)3,( ) 1 , 0() 1, 3( 3 ) 0 , 1( y y

22、 y 1 0 極大極大值值0拐點(diǎn)拐點(diǎn)00 x31y y y 極小值極小值0 )3, 1(), 3( 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念不定積分的概念原函數(shù)原函數(shù))()(xfxF 或或dxxfxdF)()( 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)延續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). .不定積分的定義不定積分的定義函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的原原函函數(shù)數(shù)稱稱為為)( xf在在區(qū)區(qū)間間I內(nèi)內(nèi)的的不不定定積積分分，記記為為 dxxf)(. .C)x(F 根本積分表根本積分表積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)

23、公式得出積分公式式得出積分公式.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf此性質(zhì)可推行到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況此性質(zhì)可推行到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k不定積分計(jì)算方法及類型不定積分計(jì)算方法及類型被積函數(shù)進(jìn)展恒等變形，運(yùn)用根本積分表計(jì)算不定積分的方法被積函數(shù)進(jìn)展恒等變形，運(yùn)用根本積分表計(jì)算不定積分的方法 dxxxf)()( )()(xuduuf )()()()(xtdtttfdxxf duvuvudv 將有理函數(shù)化為部分分式之和的積分將有理函數(shù)化為部分分式之和的積分. dxxxR)cos,(s

24、in.1211,122222duuuuuuR ),(nbaxxR ),(necxbaxxR 處理方法處理方法作代換去掉根號(hào)作代換去掉根號(hào). .)1(多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；;)()2(naxA ;)()3(2nqpxxNMx 萬(wàn)能置換公式萬(wàn)能置換公式;nbaxt 令令;necxbaxt 令令三角代換、倒代換、根式代換三角代換、倒代換、根式代換湊微分法湊微分法令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 例例1 1 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dt

25、tt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx 32x()t 令令例例2 2解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 21(tan)22cos2xxxedxedxx 例例3 3解解.cos1sin dxxxx求求dxxxxx 2cos22cos2sin22原式原式dxxdxxx 2tan2cos22dxxdxxxx 2tan2tan2tan.2ta

26、nCxx (tan)tan22xxxddx例例4 4解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx .21)1ln()1(21222Cxxx 22211(1)ln(1)2r2actanxdxxx 原原式式2221(1)ln(1)arctan2xxxx dxxxx1)1ln(21222 22221arctan (1)ln(1)3ln(1).222xxxxxxxC例例5 5解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 則則有有 原原式式 234)1()11(xx

27、xdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 212()1(1)xxx 定積分的概念定積分的概念定積分的定義定積分的定義定積分的幾何意義定積分的幾何意義, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值特殊和式的極限特殊和式的極限定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)2 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).性質(zhì)性質(zhì)3 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.dxba 1dxba ab .性質(zhì)性質(zhì)

28、4性質(zhì)性質(zhì)5推論推論1dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 2性質(zhì)性質(zhì)6估計(jì)值的大致范圍估計(jì)值的大致范圍性質(zhì)性質(zhì)7中值定理中值定理積分中值公式積分中值公式01lim( )( )nbiiaifxf x dx 定積分計(jì)算定積分計(jì)算 積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)定義定義性質(zhì)性質(zhì)( (導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)) )微積分根本公式微積分根本公式(牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba baxF )( 定積分的換元法定積分的換元法分部積分法分部積分法 bababavduuvudvdtttfdxxfba b b )()()(.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù))()()(xfd

29、ttfdxdxxa )(bxa 設(shè)設(shè)( )f x 201)xx ，1,2x x ， xadxxf)( xadttfx)()( 01,x0( )( )xxf t dt 233001133xxt dttx 12,x0( )( )xxf t dt 101( )( )xf t dtf t dt1201xt dttdt3 12011132xtt221111132226xx( ) x 01,x 31,3x211,26x 12,x 求求 在在 上的表達(dá)式，并討論在上的表達(dá)式，并討論在 內(nèi)的延續(xù)性。內(nèi)的延續(xù)性。 0( )( )xxf t dt 0, 2(0,2)31111lim( )lim,33xxxx 21

30、1111lim( )lim(),263xxxx1(1),3在在 內(nèi)延續(xù)性。內(nèi)延續(xù)性。(0,2)0()( )xxf t dt 例例12( ) , ( )0.( )() .( )bbaadxf xa bf xf x dxbaf x 設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，且且證證明明作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)2( )()0( )bbaadtf t dtbaf t11( )( )( )2()( )( )xxaaF xf xdtf t dtxaf tf x ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf( )( )2( )( )f xf tf tf x, 0)( xf.)(單調(diào)增加單調(diào)增加xF分析：分

31、析：2( )( )()( )xxaadtF xf t dtxaf t 0 ( )F a ( )( ),F xF axa ( )0Fx ( )( )2( )( )xaf xf tdtf tf x 0 22( )( )2( ) ( )fxftf t f x 2( )( )0f xf t計(jì)算以下極限計(jì)算以下極限例例3lim( )xaxaxf t dtxa 其中其中 延續(xù)延續(xù)( )f t分析：分析：( )limxaxaxf t dtxa 00 ( )( )( )limlim1xxxaaaxaxaxf t dtf t dtxf t dtxa lim( )( )xaxaf t dtxf x lim( )l

32、im( )xaxaxaf t dtxf x 0( )( )af aaf a )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 例例3 計(jì)算以下極限計(jì)算以下極限lim( )xaxaxf t dtxa 其中其中 延續(xù)延續(xù)( )f t分析：分析： lim( )li( )mxaxaxaaxxf t dtxaxafxa ( )af a 例例4計(jì)算以下極限計(jì)算以下極限202(arctan )lim1xxtdtx 1 分析：分析：)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 202(arctan )lim1xxtdtx 202(arctan )lim1xxtdtx 22(arctan )lim1xxxx 2221lim(arctan )4xxxx 2 分析：分析：22022(arctan )(arctan )(0)limlim11xxxtdtxxx 22(arctan )lim1xxx 24 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 badxxfA)( badxxfxfA)()(12xyo)( xfy abxxx xyo)(1x