計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-3.6受約束回歸

1、3.6 受約束回歸受約束回歸 在建立回歸模型時(shí)，有時(shí)根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論需對(duì)模型中變量的參數(shù)施加一定的約束條件。 如： 0階齊次性階齊次性 條件的消費(fèi)需求函數(shù) 1階齊次性階齊次性 條件的C-D生產(chǎn)函數(shù) 模型施加約束條件后進(jìn)行回歸模型施加約束條件后進(jìn)行回歸，稱為受約束受約束回歸回歸（restricted regression）; 不加任何約束的回歸稱不加任何約束的回歸稱為無(wú)約束回歸無(wú)約束回歸（unrestricted regression）。）。需求函數(shù)的0階齊次性條件 當(dāng)收入、價(jià)格、其他商品的價(jià)格等都增長(zhǎng)倍時(shí)，商品的需求量將不受影響，即 這就是需求函數(shù)的0階齊次性條件。它是需求函數(shù)的一個(gè)重要特征，可以

2、用來(lái)檢驗(yàn)實(shí)際建立的需求函數(shù)是否正確。),(),(101ninipppIfpppIf生產(chǎn)函數(shù)的一階齊次性 如果生產(chǎn)函數(shù)中資本、勞動(dòng)等非技術(shù)要素的投入量同時(shí)增長(zhǎng)倍，根據(jù)生產(chǎn)理論中規(guī)模報(bào)酬不變法則，產(chǎn)出量也應(yīng)該增長(zhǎng)倍，即 f(K，L，) =f(K，L，)。這被稱為生產(chǎn)函數(shù)的一階齊次性。但是在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中，存在著規(guī)模報(bào)酬遞增或者規(guī)模報(bào)酬遞減的現(xiàn)象，所以并非所有生產(chǎn)函數(shù)模型都具有一階齊次性。受約束回歸受約束回歸 一、模型參數(shù)的線性約束一、模型參數(shù)的線性約束 二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量 三、參數(shù)的穩(wěn)定性三、參數(shù)的穩(wěn)定性 *四、非線性約束四、非線性約束 一、模型參數(shù)的

3、線性約束一、模型參數(shù)的線性約束對(duì)模型kkXXXY22110施加約束121kk1得*11121110)1 (kkkkXXXXY或*1133*110*kkXXXY(*)(*)如果對(duì)（*）式回歸得出1310,k則由約束條件可得：1211kk 然而，對(duì)所考查的具體問(wèn)題能否施加約束能否施加約束？需進(jìn)一步進(jìn)行相應(yīng)的檢驗(yàn)。常用的檢驗(yàn)有常用的檢驗(yàn)有： F檢驗(yàn)、x2檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)， 主要介紹主要介紹F檢驗(yàn)檢驗(yàn)在同一樣本下，記無(wú)約束無(wú)約束樣本回歸模型為eXY受約束受約束樣本回歸模型為*eXY于是)X(eXeXXYe* 受約束受約束樣本回歸模型的殘差平方和殘差平方和RSSR)X(X)(eeee*于是eeee*ee為無(wú)

4、約束無(wú)約束樣本回歸模型的殘差平方殘差平方和RSSU(*) 受約束受約束與無(wú)約束無(wú)約束模型都有相同的相同的TSS由（*）式 RSSR RSSU從而 ESSR ESSU這意味著這意味著，通常情況下，對(duì)模型施加約束通常情況下，對(duì)模型施加約束條件會(huì)降低模型的解釋能力條件會(huì)降低模型的解釋能力。 但是但是，如果如果約束條件約束條件為為真真，則，則受約束受約束回歸回歸模型與模型與無(wú)約束無(wú)約束回歸模型具有相同的解釋能力回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR 與 RSSU的差異變小?？捎每捎肦SSR - RSSU的大小來(lái)檢驗(yàn)約束的真實(shí)性的大小來(lái)檢驗(yàn)約束的真實(shí)性 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)：) 1(/22UUknRSS)

5、 1(/22RRknRSS)(/ )(22RUURkkRSSRSS于是：) 1,() 1/()/()(URUUURUURknkkFknRSSkkRSSRSSF 討論：討論： 如果約束條件無(wú)效， RSSR 與 RSSU的差異較大，計(jì)算的F值也較大。 于是，可用計(jì)算的F統(tǒng)計(jì)量的值與所給定的顯著性水平下的臨界值作比較，對(duì)約束條件的真實(shí)性進(jìn)行檢驗(yàn)。注意，kU - kR恰為約束條件的個(gè)數(shù)。 例例3.6.13.6.1 中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求實(shí)例中實(shí)例中，對(duì)零階齊次性零階齊次性檢驗(yàn)： 231. 010/003240. 01/ )003240. 0003315. 0(

6、F取=5%，查得臨界值臨界值F0.05(1,10)=4.96 判斷：不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人不能拒絕中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)均消費(fèi)需求函數(shù)具有零階齊次特性這一假設(shè)。 無(wú)約束回歸:RSSU=0.00324， kU=3 受約束回歸:RSSR=0.00332， KR=2 樣本容量n=14， 約束條件個(gè)數(shù)kU - kR=3-2=1這里的這里的F F檢驗(yàn)適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)檢驗(yàn)適合所有關(guān)于參數(shù)線性約束的檢驗(yàn)如：多元回歸中對(duì)方程總體線性性方程總體線性性的F檢驗(yàn)： H0： j=0 j=1,2,k這里：受約束回歸模型為*0Y) 1/(/) 1/(/ )()

7、1/(/ )() 1/()/()(knRSSkESSknRSSkRSSTSSknRSSkRSSESSTSSknRSSkkRSSRSSFUUUUUURUURUUR這里，運(yùn)用了ESSR 0。 二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量二、對(duì)回歸模型增加或減少解釋變量考慮如下兩個(gè)回歸模型kkXXY110qkqkkkkkXXXXY11110(*)(*)(*)式可看成是（*）式的受約束回歸：受約束回歸：H0：021qkkk相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為：)1(,()1(/(/ )()1(/(/ )(qknqFqknRSSqESSESSqknRSSqRSSRSSFURUUUR 如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1, , Xk+q

8、對(duì)沒(méi)有解釋能力，則統(tǒng)計(jì)量較??； 否則，約束條件為假，意味著額外的變量對(duì)有較強(qiáng)的解釋能力，則統(tǒng)計(jì)量較大。 因此，可通過(guò)F的計(jì)算值計(jì)算值與臨界值臨界值的比較，來(lái)判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。討論：討論： 統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式統(tǒng)計(jì)量的另一個(gè)等價(jià)式)1(/()1 (/ )(222qknRqRRFURU 三、參數(shù)的穩(wěn)定性三、參數(shù)的穩(wěn)定性 1 1、鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)、鄒氏參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn) 建立模型時(shí)往往希望模型的參數(shù)是穩(wěn)定的，即所謂的結(jié)構(gòu)不變結(jié)構(gòu)不變，這將提高模型的預(yù)測(cè)與分析功能。如何檢驗(yàn)？如何檢驗(yàn)？ 假設(shè)需要建立的模型需要建立的模型為kkXXY110在兩個(gè)連續(xù)的時(shí)間序列（1,2,，n1）與（n1+1,，

9、n1+n2）中，相應(yīng)的模型分別為：1110kkXXY2110kkXXY 合并兩個(gè)時(shí)間序列為( 1,2,，n1 ，n1+1,，n1+n2 )，則可寫(xiě)出如下無(wú)約束回?zé)o約束回歸模型212121X00XYY 如果 = ，表示沒(méi)有發(fā)生結(jié)構(gòu)變化，因此可針對(duì)如下假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)： H0: = (*)式施加上述約束后變換為受約束受約束回歸模型(*)212121XXYY（*）因此，檢驗(yàn)的F統(tǒng)計(jì)量為：)1(2,)1(2/ )(2121knnkFknnRSSkRSSRSSFUUR 記RSS1與RSS2為在兩時(shí)間段上分別回歸后所得的殘差平方和，容易驗(yàn)證，21RSSRSSRSSU于是)1(2,)1(2/)(/)(21212

10、121knnkFknnRSSRSSkRSSRSSRSSFR參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)步驟：參數(shù)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)步驟： （1）分別以兩連續(xù)時(shí)間序列作為兩個(gè)樣本進(jìn)行回歸，得到相應(yīng)的殘差平方： RSS1與RSS2 （2）將兩序列并為一個(gè)大樣本后進(jìn)行回歸，得到大樣本下的殘差平方和RSSR （3）計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值，與臨界值比較： 若F值大于臨界值，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化，參數(shù)是非穩(wěn)定的。 該 檢 驗(yàn) 也 被 稱 為 鄒 氏 參 數(shù) 穩(wěn) 定 性 檢 驗(yàn)鄒 氏 參 數(shù) 穩(wěn) 定 性 檢 驗(yàn)（Chow test for parameter stability）。 2 2、鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)、鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn) 上述參數(shù)穩(wěn)定性檢

11、驗(yàn)要求n2k。 如果出現(xiàn)n2F(n2, n1-k-1) ，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為預(yù)測(cè)期發(fā)生了結(jié)構(gòu)變化。 例例3.6.2 中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求的鄒氏檢驗(yàn)。 1、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)、參數(shù)穩(wěn)定性檢驗(yàn)19811994：)ln(92. 0)ln(08. 0)ln(05. 163. 3)ln(01PPXQRSS1=0.003240 19952001：01ln71. 0ln06. 3ln55. 078.13lnPPXQ (9.96) (7.14) (-5.13) (1.81) 19812001: 01ln39. 1ln14. 0ln21. 100. 5lnPPXQ (14.83) (27.26) (-3.2

12、4) (-11.17) 34.10)821/()000058. 0003240. 0(4/)0000580. 0003240. 0(013789. 0F 給定=5%，查表得臨界值F0.05(4, 13)=3.18 判斷：判斷：F值值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)，表明中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求在明中國(guó)城鎮(zhèn)居民食品人均消費(fèi)需求在1994年前后發(fā)年前后發(fā)生了顯著變化。生了顯著變化。 2、鄒氏預(yù)測(cè)鄒氏預(yù)測(cè)檢驗(yàn)檢驗(yàn)65. 4) 1314/(003240. 07/ )003240. 0013789. 0(F給定=5%，查表得臨界值F0.05(7, 10)=3.18判斷判斷

13、： F值值臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè)臨界值，拒絕參數(shù)穩(wěn)定的原假設(shè) *四、非線性約束四、非線性約束 也可對(duì)模型參數(shù)施加非線性約束非線性約束,如對(duì)模型kkXXXY22110施加非線性約束12=1,得到受約束回歸模型受約束回歸模型: *211101kkXXXY 該 模 型 必 需 采 用 非 線 性 最 小 二 乘 法非 線 性 最 小 二 乘 法（nonlinear least squares）進(jìn)行估計(jì)。 非線性約束檢驗(yàn)非線性約束檢驗(yàn)是建立在最大似然原理最大似然原理基礎(chǔ)上的,有最大似然比檢驗(yàn)最大似然比檢驗(yàn)、沃爾德檢驗(yàn)沃爾德檢驗(yàn)與拉拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)格朗日乘數(shù)檢驗(yàn). .1、最大似然比檢驗(yàn)、最大似然比

14、檢驗(yàn) (likelihood ratio test, LR) 估計(jì)估計(jì): :無(wú)約束回歸模型與受約束回歸模型， 方法方法: :最大似然法， 檢驗(yàn)檢驗(yàn): :兩個(gè)似然函數(shù)的值的差異是否“足夠”大。 記L( ,2)為一似然函數(shù):無(wú)約束回歸無(wú)約束回歸 : Max:),(2L受約束回歸受約束回歸 : Max:),(2L或求極值：)(),(2gL g( ):以各約束條件為元素的列向量, ：以相應(yīng)拉格朗日乘數(shù)為元素的行向量 約束：g( )=0 受約束受約束的函數(shù)值不會(huì)超過(guò)的函數(shù)值不會(huì)超過(guò)無(wú)約束無(wú)約束的函數(shù)值的函數(shù)值，但如果約束條件為真約束條件為真，則兩個(gè)函數(shù)值就非?！敖咏咏?。22，L，L 由此，定義似然比

15、似然比（likelihood ratio）: 如果如果比值很小，說(shuō)明說(shuō)明兩似然函數(shù)值差距較大，則應(yīng)拒絕拒絕約束條件為真的假設(shè)； 如果如果比值接近于，說(shuō)明說(shuō)明兩似然函數(shù)值很接近，應(yīng)接受接受約束條件為真的假設(shè)。 具體檢驗(yàn)具體檢驗(yàn)時(shí)，由于大樣本下：)(),(ln),(ln2222hLLLR h是約束條件的個(gè)數(shù)。因此： 通過(guò)通過(guò)LR統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量的 2 2分布特性來(lái)進(jìn)行判斷。分布特性來(lái)進(jìn)行判斷。 在中國(guó)城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)需求例中國(guó)城鎮(zhèn)居民人均食品消費(fèi)需求例中，對(duì)零階零階齊次性齊次性的檢驗(yàn)： LR= -2(38.57-38.73)=0.32 給出=5%、查得臨界值臨界值 2 20.05(1)(1)3.

16、84， 判斷判斷： LR 2 20.05(1),(1),不拒絕原約束的假設(shè)，不拒絕原約束的假設(shè)， 表明表明: :中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函中國(guó)城鎮(zhèn)居民對(duì)食品的人均消費(fèi)需求函數(shù)滿足零階齊次性條件數(shù)滿足零階齊次性條件。 、沃爾德檢驗(yàn)、沃爾德檢驗(yàn)（Wald test, W） 沃爾德檢驗(yàn)中，只須估計(jì)無(wú)約束模型。如對(duì)kkXXXY22110 在所有古典假設(shè)都成立的條件下，容易證明 ),(2212121N因此，在1+2=1的約束條件下 )1 ,0(12121Nz記 )(2221Xf可建立沃爾德統(tǒng)計(jì)量沃爾德統(tǒng)計(jì)量:) 1 () 1(2222121W 如果有h個(gè)約束條件，可得到h個(gè)統(tǒng)計(jì)量z1,z2,zh

17、 約束條件為真時(shí)，可建立大樣本大樣本下的服從自由度為h的漸近 2 分布統(tǒng)計(jì)量 )(2hWZCZ1 其中，Z為以zi為元素的列向量，C是Z的方差-協(xié)方差矩陣。 因此，W從總體上測(cè)量了無(wú)約束回歸不滿足約束條件的程度。從總體上測(cè)量了無(wú)約束回歸不滿足約束條件的程度。 對(duì)對(duì)非線性約束非線性約束，沃爾德統(tǒng)計(jì)量，沃爾德統(tǒng)計(jì)量W的算法描述要復(fù)雜得多。的算法描述要復(fù)雜得多。 3、拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)、拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn) 拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)則只需估計(jì)受約束受約束模型. 受約束回歸是求最大似然法的極值問(wèn)題: )(),(2gL是拉格朗日乘數(shù)行向量，衡量各約束條件對(duì)最大似然函數(shù)值的影響程度。 如果某一約束為真，則該約束條件對(duì)最大似然函數(shù)值的影響很小，于是，相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)的值應(yīng)接近于零。 因此，拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)