導數(shù)與不等式證明絕對精華

1、二輪專題 （十一） 導數(shù)與不等式證明【學習目標】1. 會利用導數(shù)證明不等式.2. 掌握常用的證明方法.【知識回顧】一級排查：應知應會1.利用導數(shù)證明不等式要考慮構造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調性或最值解決不等式的證明問題比如要證明對任意都有，可設，只要利用導數(shù)說明在上的最小值為即可二級排查：知識積累利用導數(shù)證明不等式，解題技巧總結如下：（1）利用給定函數(shù)的某些性質（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調性、最值等，服務于第二問要證明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后，再去證明.例如采用兩邊取對數(shù)（指數(shù)），移項通分等等.要注意

2、變形的方向：因為要利用函數(shù)的性質，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關系式.（4）常用方法還有隔離函數(shù)法，放縮法（常與數(shù)列和基本不等式一起考查），換元法，主元法，消元法，數(shù)學歸納法等等，但無論何種方法，問題的精髓還是構造輔助函數(shù)，將不等式問題轉化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值問題.（5）建議有能力同學可以了解一下羅必塔法則和泰勒展開式，有許多題都是利用泰勒展開式放縮得來.三極排查：易錯易混用導數(shù)證明數(shù)列時注意定義域.【課堂探究】一、作差（商）法例1、證明下列不等式： 二、利用證明不等式例2、已知函數(shù)（1）若函數(shù)處取得極小值0，求的值；（2）在（1）的條件下，求證：對任意的，總有.變式：證明：對

3、一切，都有成立.三、構造輔助函數(shù)或利用主元法例3、已知為正整數(shù)，且求證：.變式：設函數(shù)，（）.(1)試判斷在定義域上的單調性；（2）當時，求證.四、分析法證明不等式例4、設，函數(shù).若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（是坐標原點）,證明：.變式：已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調區(qū)間；（）證明：對任意的，存在唯一的，使（）設（）中所確定的關于的函數(shù)為，證明：當時，有.五、隔離函數(shù)例5、已知函數(shù).（）設是的極值點，求并討論的單調性；（）當時，證明:.變式：已知函數(shù)其中，且.（1）討論的單調性；（2）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)，都有；（3）若關于

4、的方程有兩個正實數(shù)根，求證：六、與數(shù)列結合例6、已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求證：變式：（1）已知，求證：；（2）求證：.【鞏固訓練】1. 已知函數(shù)求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.2.已知函數(shù)（）求曲線在點處的切線方程；（）求證：當時，；（）設實數(shù)使得對恒成立，求的最大值3.已知，求證：.4. 設函數(shù).（1）判斷的單調性；（2）證明：(為自然對數(shù)，).5.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小值；（2）設不等式的解集為P，且，求實數(shù)a的取值范圍；（3）設，證明：.6.已知.(1) 討論的單調性；（2）證明：(為自然對數(shù)，).7. 已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的最大值；(2) 設,證明 ：.8.設函數(shù)，曲線在點（1，處的切線為. ()求； （）證明：.9. 已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為-1.（）求的值及函數(shù)的極值；（