不確定度對誤差情況的定量估計

1、（2）不確定度：對誤差情況的定量估計，反映對被測量值不能肯定的程度。2隨機誤差隨機誤差（1）標準差與標準偏差 真值A不可知，且測量次數(shù)k為有限次 s 實際上也不可知不確定度與數(shù)據(jù)處理不確定度與數(shù)據(jù)處理一、誤差與不確定度誤差與不確定度1誤差與不確定度的關系誤差與不確定度的關系（1）誤差：測量結果與客觀真值之差 Dx=x-A 其中A稱為真值真值，一般不可能準確知道，常用約定真值約定真值代替。標準差 kAxik2)(lims理論公式計算結果理論值更高精度儀器測量結果標準值如物理常數(shù)等公認值約定真值：于是用標準偏差S代替標準差s： 1)()(2kxxxSi 單次測量的標準偏差 結果表述： xi S(x

2、) （置信概率68.3%） 真值的估計值 單次測量標準差最佳估計值S(x)的物理意義：的物理意義：在有限次測量中，每個測量值平均所具有的標準偏差。在有限次測量中，每個測量值平均所具有的標準偏差。真值的最佳估計值是平均值，故結果應表述為： )(xSx （置信概率68.3%） 真值的最佳估計值 平均值的標準差最佳估計值 其中 ) 1()()(2kkxxxSi 平均值的標準偏差 （2）平均值的標準差例例 1：某觀察量的 n 次獨立測量的結果是 X1, X2, Xn。試用方差合成公式證明平均值的標準偏差是樣本標準偏差的n1，即nXSXS)()(。 解： )(11nXXnX 由題知 Xi相互獨立，則根據(jù)

3、方差合成公式有 )()(1)(212nXuXunXu 利用樣本標準偏差的定義，可知 u(Xi)=S(X) i=1,2, ,n 故 nXSXnSnXSXSnXSXu)()(1)()(1)()(222 3系統(tǒng)誤差與儀器誤差（限）系統(tǒng)誤差與儀器誤差（限） （1）系統(tǒng)誤差：在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以可以預知方式變化的那部分誤差稱為系統(tǒng)誤差。已被確切掌握了其大小和符號的系統(tǒng)誤差，稱為可定系統(tǒng)誤差；對大小和符號不能確切掌握的系統(tǒng)誤差稱為未定系統(tǒng)誤差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除或在測量結果中進行修正；而后者一般難以作出修正，只能估計出它的取值范圍。 （2）儀器誤差（限）：由國家

4、技術標準或檢定規(guī)程規(guī)定的計量器具的允許誤差或允許基本誤差，經過適當簡化稱為儀器誤差限，用以代表常規(guī)使用中儀器示值和（作用在儀器上的）被測真值之間可能產生的最大誤差。 常用儀器的儀器誤差（限）： 長度測量儀器：游標卡尺的儀器誤差限按其分度值分度值估計；鋼板尺、螺旋測微計的儀器誤差限按其最小分度的最小分度的1/2計算。 指針式儀表： D儀a%Nm 式中Nm 是電表的量程，a是準確度等級。 數(shù)字式儀表： D儀a%Nx+b%Nm 或 D儀a%Nx+n字 式中a是數(shù)字式電表的準確度等級，Nx是顯示的讀數(shù)，b是誤差的絕對項系數(shù)，Nm是儀表的滿度值，n代表儀器固定項誤差，相當于最小量化單位的倍數(shù)。 電阻箱：

5、 D儀 式中R0是殘余電阻，Ri是第i個度盤的示值，ai是相應電阻度盤的準確度級別。 iiiRRa0% 直流電位差計： D儀a% (100UUx) 式中 a 是電位差計的準確度級別， Ux是標度盤示值， U0是有效量程的基準值，規(guī)定為該量程中最大的 10 的整數(shù)冪。 直流電橋： D儀a%(100RRx) 式中 Rx是電橋標度盤示值，a 是電橋的準確度級別，R0是有效量程的基準值，意義同上。 （3）B類不確定度的處理B 類不確定度與各種誤差限之間的關系為 3Dbu 。 在物理實驗中， B 類不確定度的來源通常包括以下三種： 儀器誤差D儀、靈 敏 度 誤 差 D靈和 估 計 誤 差 限 D估。 其

6、 中 靈 敏 度 誤 差 可 表 示 為 xnSDDD/2 . 02 . 0靈 。 4不確定度的合成不確定度的合成（1）直接測量 x： ua(x) ，ub(x) 則 )()()(22xuxuxuba （稱為合成不確定度） （2）間接測量 y=f(x1, x2, , xn) 其中 x1, x2, , xn為為相相互互獨獨立立的的直直接接測測量量量量 則 iiixuxfyu)()()(22 或 iiixuxfyyu)()ln()(22 （3）最終結果表述形式： Nu(N)= （單位）結果有效數(shù)字的確定原則：結果有效數(shù)字的確定原則： 不確定度不確定度u(N)只保留一位有效數(shù)字；只保留一位有效數(shù)字；

7、測量結果測量結果N與不確定度與不確定度u(N)小數(shù)位數(shù)對齊。小數(shù)位數(shù)對齊。例例 2：用分光計測棱鏡材料的折射率公式為2sin2sinAAn。已測得A=600 2 ，黃光（汞燈光源）所對應的 =5058 3 ，則黃光所對應的折射率 nu(n)= 1.64790.0007 。 解： 6479.12060sin28550060sin2sin2sinAAn 2sinln2sinlnlnAAn d2ctg21d)2ctg2ctg(212sind212cos2sin)d21d21(2cosdAAAAAAAAAAnn000426. 0)180603(28550060ctg41)180602()2060ctg

8、28550060ctg(41)(2ctg41)()2ctg2ctg(41)(22222222uAAuAAnnu0007. 0000426. 06479. 1)()(nnunnu n u(n)=1.64790.0007 5有效數(shù)字及其運算法則有效數(shù)字及其運算法則（1）有效數(shù)字）有效數(shù)字：由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字構成。（2）運算法則）運算法則 加減法：加減法：以參加運算各量中有效數(shù)字最末一位位數(shù)最高的為準并以參加運算各量中有效數(shù)字最末一位位數(shù)最高的為準并與之取齊。與之取齊。N=A+B-C-D，則 )()()()()(2222DuCuBuAuNu 取決于 u(A)、u(B)、u(C)、u(D)

9、中位數(shù)最高者，最后結果與之對齊。 乘除法：乘除法：以參加運算各量中有效數(shù)字最少的為準，結果的有效數(shù)字以參加運算各量中有效數(shù)字最少的為準，結果的有效數(shù)字個數(shù)與該量相同。個數(shù)與該量相同。CDABN ，則 2222)()()()()(DDuCCuBBuAAuNNu 取決于其中相對不確定度最大者，即有效數(shù)字個數(shù)最少者。 混合四則運算混合四則運算按以上原則按部就班執(zhí)行。按以上原則按部就班執(zhí)行。 特殊函數(shù)的有效數(shù)字：特殊函數(shù)的有效數(shù)字：根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字的原則，從不丟根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字的原則，從不丟失有效位數(shù)的前提出發(fā)，通過微分關系傳播處理。失有效位數(shù)的前提出發(fā)，通過微分關系傳播處理。 例例

10、3：某物理量的計算公式為 HdY/6 .11k ，其中 k 為常數(shù)，1.6為準確數(shù)，H16cm，d=0.1500cm。若使 Y 的表示式中分母的值具有 4位有效數(shù)字，正確測 H 的方法是 （ d ） 。 (a) 用游標卡尺估讀到 cm 千分位 (b) 用米尺估讀到 cm 百分位 (c) 用米尺只讀到 mm 位 (d) 用米尺只讀到 cm 位 解： 015. 0161500. 06 . 16 . 1Hd 分母 015. 16 . 11Hd為 4 位有效數(shù)字 即 H 只需 2 位有效數(shù)字即可，故應選 (d) 。 例例4： tg452 =1.00116423 最多可取幾位有效數(shù)字？解： 令 y=tg

11、x ，其中 x=452 取)rad(00029. 01806011Dx則 00058. 000029. 0245cos1cos122DDxxy 即小數(shù)點后第四位產生誤差 tg452 =1.0012 ，有五位有效數(shù)字。例例 5：雙棱鏡測波長的計算公式為SSbbxD，對實驗數(shù)據(jù)進行處理的計算結果如下表所示。 Dx=0.28144mm b=5.9325mm b=0.7855mm S=27.65cm S=75.90cm D(b)/b=0.025 D(b)/b=0.025 D(S) =0.5cm D(S) =0.5cm u(Dx)=2.01010-4mm D(b)=0.005mm D(b)=0.005m

12、m D(S) =0.05cm D(S) =0.05cm 注：下標 1 代表來自方法誤差，下標 2 代表來自儀器誤差。 要求： （1）給出測量結果的正確表述（包括必要的計算公式） 。 （2）定量討論各不確定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素和可以忽略項的貢獻，不確定度的計算將怎樣簡化？結果如何？ 解： （1） mm1086716. 5)0 .7595 .276(7855. 09325. 528144. 04DSSbbx )ln(ln21ln21lnlnSSbbxDSSSSSSbbbbxxDDdd2d2d)(dd0111.0)()(2)(2)()()(222

13、22DDSSSuSSSubbubbuxxuu其中 000714.028144.010010.2)(4DDxxu； DDD000243. 039325. 52005. 023/ )(2)(00722. 032025. 0)(32123/ )(2)(22111bbbbubbbbbbu222122)(2)(2)(bbubbubbu222122)(2)(2)(bbubbubbuDDD00184. 037855. 02005. 023/ )(2)(00722. 032025. 0)(32123/ )(2)(22111bbbbubbbbbbuDD000279. 03)90.7565.27(05. 03/

14、)()(00279. 03)90.7565.27(5 . 03/ )()(2211SSSSSSuSSSSSSu22212)()()(SSSuSSSuSSSu（2）由前面的計算可知，不確定度主要來自 bbu2)(1和 bbu2)(1，次要因素是bbu2)(2、SSSu)(1和SSSu)(1，可以忽略的因素是xxuDD )(、bbu2)(2、SSSu)(2 和 SSSu)(2。 于是得()=0111.01086716.5)(4u=6.5310-6mm 即 u()=5877nm DD000279. 03)90.7565.27(05. 03/ )()(00279. 03)90.7565.27(5 .

15、03/ )()(2211SSSSSSuSSSSSSu22212)()()(SSSuSSSuSSSu若只考慮主要項的貢獻：0102. 06)(2)(2)()(12121Dbbbbubbuu 則有 u()=6nm u()=5876nm 比嚴格計算的結果稍小但相差無幾。1列表法：列表法：按一定規(guī)律把數(shù)據(jù)列成表格。列表原則：（1）表格的標題欄中注明物理量的名稱注明物理量的名稱、符號符號和單位單位；（2）記錄原始數(shù)據(jù)記錄原始數(shù)據(jù)（如記錄刻度數(shù)，而不是記錄長度）；（3）簡單處理結果（如算出長度）或函數(shù)關系；（4）參數(shù)和說明（如表格名稱、儀器規(guī)格、環(huán)境參數(shù)、常量以及公用單位等）。二、數(shù)據(jù)處理方法二、數(shù)據(jù)處理

16、方法2作圖法：作圖法：把實驗數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關系作成曲線，以便反映它們之間的變化規(guī)律或函數(shù)關系。作圖要點： （1）原始數(shù)據(jù)列表表示原始數(shù)據(jù)列表表示見列表法； （2）用坐標紙作圖用坐標紙作圖，圖紙大小以不損失有效數(shù)字和能包括所有點為最圖紙大小以不損失有效數(shù)字和能包括所有點為最低要求低要求，因此至少應保證坐標紙的最小分格（通常為1mm）以下的估計位與實驗數(shù)據(jù)中最后一位數(shù)字對應； （3）選好坐標軸并標明有關選好坐標軸并標明有關物理量物理量的名稱（或符號）、的名稱（或符號）、單位單位和和坐標分坐標分度值度值。其中分度比例一般取分度比例一般取1、2、5、10較好較好，以便于換算和描點； （4）實驗

17、數(shù)據(jù)點以實驗數(shù)據(jù)點以 +、等符號標出等符號標出，一般不用細圓點“”標示實驗點；光滑連接曲線光滑連接曲線并使并使實驗點勻稱地分布于曲線兩側實驗點勻稱地分布于曲線兩側（起平均的作用）； （5）圖解法求直線斜率和截距時，應：在線上取點在線上取點（不能使用實驗點）；所取兩點要相距足夠遠所取兩點要相距足夠遠（以提高精度）；在圖上要注明所取點的在圖上要注明所取點的坐標坐標。 例例6：拉伸法測彈性模量的載荷伸長曲線如圖所示，圖上至少有5處繪制錯誤或不規(guī)范。它們是 坐標軸應標注物理量和單位 ， 軸上缺少分度值 ， 實驗點應以醒目標記標出 ， 曲線應光滑連接 ， 計算點坐標標注不規(guī)范 。1.442.1623.6

18、424.26 3最小二乘法與一元線性回歸法最小二乘法與一元線性回歸法 （1）最小二乘法：）最小二乘法：對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線，那么各測量值與這條曲線上對應點之差的平方和應取極小值各測量值與這條曲線上對應點之差的平方和應取極小值。 例例7：試用最小二乘原理推導直線方程y=kx中回歸系數(shù)k的計算公式。解：根據(jù)最小二乘原理應有 niiikxy12min)( 即 niniiiiniiiiniiixkyxxkxykxyk11211200)(20)( 于是得 22xxyxyxkiii （2）一一元元線線性性回回歸歸法法： 設直線方程 y=a+bx，其中自自變變量量 x 的的誤誤差差可可略略

19、 由最小二乘原理，應有 kiiibxay12min)( 即 kikiiikiiikikiiikiiiikiiikiiikiiiyxxbxayxbakxbxaybxaybxaybbxaya1112111112120)( 20) 1)( 20)(0)( 解之得 xbyxkxyyxyxaxxxyyxxkxyxkyxbiixiiiiiiiiiii222222)()(2 （3）相關系數(shù)）相關系數(shù) r：用于檢驗 x 和 y 之間是否存在線性關系。)(2222yyxxyxxyr r 物理意義 軸平行的直線擬合直線為與之間無線性關系、增加而減小隨增加而增加隨之間線性相關強烈、通過全部實驗點xiyixrixiy

20、rixiyriyixrbxayr00011 例例8：根據(jù)所給相關系數(shù)r作出實驗點分布草圖： r=-1 r=0.9993 r=0.015xyxyxy（4）回歸法使用要點：）回歸法使用要點： 自變量自變量x測量誤差可略測量誤差可略，即應選擇測量精度較高的物理量作自變量； 因變量因變量y為等精度測量為等精度測量或近似等精度測量，即u(yi)近似相等； 作線性關系的檢驗作線性關系的檢驗：利用物理規(guī)律或作圖等其它方法確認線性關系的存在；或檢驗相關系數(shù)是否滿足|r|1。 例例 9：實驗線路及測量數(shù)據(jù)如下，用一元線性回歸法計算電壓表內阻 RV（只寫計算公式） 。 R () 20.0 50.0 100.0 2

21、00.0 300.0 400.0 V (V) 2.80 2.72 2.60 2.38 2.20 2.04 RVERV解： 根據(jù)線路圖可得 VVRVRRE VERRRVV 計算 R、V1精度： 005. 00036. 004. 201. 080. 201. 0)(/1)/1 (00025. 0005. 00 .4001 . 00 .201 . 0)(，VVuVVuRRu 可知 R 的精度較高 故將公式變形為 ERERVV111 令 xRyV1 并設直線方程 y=a+bx 則有 VVRaERbEa11 baRV 4逐差法逐差法 （1）測量次數(shù)為偶數(shù)的逐差法）測量次數(shù)為偶數(shù)的逐差法nnnnnnnxx

22、yybxxyyb2211111,bnbnyyxxiinn iin iiin1111設自變量和因變量之間存在線性關系bxay， 并有一組實驗數(shù)據(jù)：nnknnnyyyyxxxx211211,； 隔n項逐差，可得到取平均值 。例例 10：已知 R=R0(1+t)，實驗數(shù)據(jù)如下，用逐差法求電阻溫度系數(shù)（不要求計算不確定度） 。 t () 85.0 80.0 75.0 70.0 65.0 60.0 55.0 50.0 R () 0.3622 0.3565 0.3499 0.3437 0.3380 0.3324 0.3270 0.3215 解： R=R0+ R0t 并設 y=a+bx 則有 a= R0 b

23、= R0=a 即 ab ， 而利用逐差法可得： i 1 2 3 4 平均 Dt=ti+4-ti () 20.0 20.0 20.0 20.0 20.0 DR= Ri+4-Ri () 0.0242 0.0241 0.0229 0.0222 0.02335 75500116. 00 .200233. 0DDtRb 2626. 0)0 .54000116. 07312. 2(81)(175tbRna 故 3751045. 42626. 000116. 0ab（1/） 對于自變量 x 等間隔分布的情況，有xxxniinD 于是 Dniiinnyyxnb1)(1 求得b后，可由公式 iixbay 求出

24、iixbya 例例 11：邁克爾遜干涉儀實驗數(shù)據(jù)處理 條紋吞吐 n 0 100 200 300 400 M2鏡位置 X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300 條紋吞吐 n 500 600 700 800 900 M2鏡位置 X (mm) 34.64465 34.67635 34.70800 34.73945 34.77085 解法一： 由逐差法可得 i 1 2 3 4 5 平均 N=ni+5-ni 500 500 500 500 500 500 d500=Xi+5-Xi (mm) 0.16160 0.16050 0.15970 0.

25、15885 0.15785 0.15970 )nm(8 .63850015970. 022500Nd22500500)()()(NNudduu其中 289. 035 . 0)()()mm(0000289. 0300005. 0)()mm(000648. 045)()()()()(500250050050025002500NuNududddudududubbiaba 于是 )nm(6 . 2500289. 015970. 0000648. 08 .638)()()(222222500500NNudduu 故 u()=6393(nm)解法二： 由逐差法可得 i 1 2 3 4 5 平均 N=(ni

26、+5-ni)/5 100 100 100 100 100 100 d100=(Xi+5-Xi ) /5 (mm) 0.032320 0.032100 0.031940 0.031770 0.031570 0.031940 )nm(8 .638100031940. 022100Nd 22100100)()()(NNudduu 其中 0577. 0355 . 0)()()mm(3500005. 0)(45)()()()()(100210010010021002100NuNududddudududubbiaba 于是 )nm(6 . 21000577. 0031940. 0000130. 08 .6

27、38)()()(222222100100NNudduu 故 u()=6393(nm) 處理原則：去掉中間的數(shù)據(jù)去掉中間的數(shù)據(jù)。 （3）逐差法說明）逐差法說明 逐差法多用在自變量等間隔測量且其測量誤差可略去的情況，這樣可簡化計算。 使用逐差法要隔項進行，不應逐項逐差，后者一方面使測量精度降低，另一方面不能均勻使用實驗數(shù)據(jù)。例例 12：重新處理邁克爾遜干涉儀實驗數(shù)據(jù) 條紋吞吐 n 0 100 200 300 400 M2鏡位置 X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300 條紋吞吐 n 500 600 700 800 900 1000 M2鏡位置 X (mm) 34.64465 34.67635 34.70800 34.73945 34.77085 34.80280 解解： 去掉中間的數(shù)據(jù)后為 條紋吞吐 n 0 100 200 300 400 M2鏡位置 X (mm) 34.48305 34.51585 34.54830 34.58060 34.61300 條紋吞吐