基本不等式題型總結(經(jīng)典,非常好,學生評價高)

1、基本不等式一.基本不等式a b ._公式：Tab (a 0,b 0),常用 a b 2jOb2222升級版：a abab a,b R22選擇順序：考試中，優(yōu)先選擇原公式，其次是升級版二.考試題型【題型1】基本不等式求最值求最值使用原則：一正 二定三相等一正：指的是注意a,b范圍為正數(shù)。二定： 指的是ab是定值為常數(shù)三相等：指的是取到最值時 a b典型例題：1 一例1 .求y x(x 0)的值域2x分析：x范圍為負，提負號(或使用對鉤函數(shù)圖像處理)一1 、解：y ( x ) Q x 0x 02xx2, ( x) ( 1 ),22x 12xx 五 得到y(tǒng) (，歷2x例2 .求y2x (x 3)的值

2、域x 31解：y 2x(添項，可通過減3再加3,利用基本不等式后可出現(xiàn)定值)x 312(x 3) 6x 31Q x 3 x 3 02(x 3) 2、, 2x 3y 2應 6 , 即 y272 6,2例3.求y sin x (0 x )的值域sin x分析：sinx的范圍是(0,1),不能用基本不等式，當 y取到最小值時，sinx的值是J2,但J2不在范圍內解：令 t sinx, t (0,1)，2 口 y t -是對鉤函數(shù)，利用圖像可知：2在(0,1)上是單減函數(shù)，所以t - 3,(注：3是將t 1代入得到)y (3,)注意：使用基本不等式時，注意y取到最值，x有沒有在范圍內，如果不在，就不能

3、用基本不等式，要借助對鉤函數(shù)圖像來求 值域。x 2x 1例4.求y (x 2)的值域x 2分析：先換元，令t x 2,t 0,其中x t 2加 (t 2)2 2(t 2) 1 t2 6t 11解：y t 6ttt11Qt 0 t - 2 t - 6 8 y 8,) tt、，、 一cx2 dx f總之：形如y (a 0,c 0)的函數(shù)，一般可通過換兀法等價變形化為ax by t p (p為常數(shù))型函數(shù)，要注意t的取值范圍；【失誤與防范】1 .使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.2 .在運用重要不等式時，要特別注

4、意“拆” “拼” “湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正” “定” “等”的條件.3 .連續(xù)使用公式時取 等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.【題型2】條件是a b或ab為定值，求最值(值域)(簡)例5.若x 0,y 0且x y 18,則xy的最大值是.解析：由于x 0,y 0,則x y 2/xy ,所以2jE 18,則xy的最大值為81例6.已知x,y為正實數(shù)，且滿足 4x 3y 12,則xy的最大值為 .解析：Q4x 3y 2j4x 3y 473y 12,xy 3當且僅當4x 3y 即 x4x 3y 12 y32 時，xy2取得最大值3.例7.已知m 0,n 0 ,

5、且mn 81,則m n的最小值為解析：Q m 0,n 0, m n 2smn 18,當且僅當m n 9時，等號成立.總結：此種題型：和定積最大，積定和最小一- 一一 .、1 1 、一 , 一 ,、【題型3】條件是a b或11為定值，求最值（范圍）（難）a b方法：將1整體代入例8.已知x 0, y 0且x解析：Q x y 1,11 y 1,則一一的取小值x y11.(xx y11y)() 2x yy xx y所以最小值是4例9.已知a 0,b解析：Qa b 20, a b 2a b 124，-的最小值是b嗎4（14）9"2ao 5 b2b 2 2a2a 5 2 也 2a9b 2 2a

6、b2所以最小值是92例10.已知x 0, y1,求 x y2 y的最小值是解析：Q 1 2 1,x y則x 2y (1 x22y 2x2y-2x 、-)(x 2y) 1 - 4 5 2.j9yx y x y從而最小值為9【題型4】 已知a b與ab關系式，求取值范圍例11.若正數(shù)a,b滿足ab a b 3,求ab及a b的取值范圍.解析：把ab與a b看成兩個未知數(shù)，先要用基本不等式消元解：求ab的范圍（需要消去a b ：孤立條件的a ba b 2/茄將a b替換） Qab a b 3 a b ab 3, a b 2、ab ab 3 2>/ab （消a b結束，下面把ab看成整體，換元，求 ab范圍）令 t Tab （t 0）,則 ab 3 2屈變成 t2 3 2t解得t 3或t1 （舍去），從而ab 9a b 2求a b的氾圍（需要消去ab ：孤立條件的ab ab （） 將ab替換）22Qab a b 3 ,abab ,22