第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、LOGO第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 Department of Mathematics, Tianjin University內(nèi)內(nèi) 容容 提提 要要離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3Department of Mathematics, Tianjin Universityu設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為 P(X=xi)=pi, i=1,2,.若|x1|p1+|x2|p2+|xi|pi+存在，則稱(chēng) x1p1+x2p2+xipi+為隨機(jī)變

2、量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為EX, 即EX=ixipi.離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望1注:(1)絕對(duì)收斂. (2)數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均. (3)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望可能不存在.Department of Mathematics, Tianjin Universityu舉例例1：設(shè)X的分布律為 P(X=k)=1/2k,(k=1,2,).求EX. Department of Mathematics, Tianjin University例2:設(shè)某團(tuán)體有N個(gè)人，為普查某種疾病都去驗(yàn)血.驗(yàn)血可分兩種方式： (I)每個(gè)人分別驗(yàn)，共需N次； (II)按每k個(gè)人一組進(jìn)行分組檢驗(yàn). 對(duì)每一組，將

3、該組每個(gè)人所抽的血取出一半混合在一起驗(yàn)，若呈陰性，則該組均為陰性,且k個(gè)人只需化驗(yàn)一次；若呈陽(yáng)性，則再對(duì)這k個(gè)人分別驗(yàn)，此時(shí)k個(gè)人需要k+1次檢驗(yàn).假定對(duì)所有人，驗(yàn)血的結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為p,且這些人的化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試求：(1)k個(gè)人的血混合后呈陽(yáng)性的概率;(2)在方案(II)中，檢驗(yàn)N個(gè)人所需的化驗(yàn)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(3)k取什么值時(shí)，(2)的數(shù)學(xué)期望最小.Department of Mathematics, Tianjin University解:(1)1-(1-p)k; (2) EX=N1-(1-p)k+1/k; (3)k應(yīng)滿(mǎn)足：k2(1-p)kln(1-p)+1=0.特別，當(dāng)p=

4、0.05時(shí)，可解得k=5.若N=1000,則用方案(II)需化驗(yàn) 1000（1-0.955+1/5）= 426(次).(3)類(lèi)似離散型隨機(jī)變量，對(duì)乘積求和并取極限得期望.記T=maxxi:i=1,2,n,則 EX=limT-0ixi f(xi)xi=Department of Mathematics, Tianjin University連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2u設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x).要求X的數(shù)學(xué)期望：-( )dxf xx(2)概率離散化： 設(shè)在(xi-1,xi上，P(xi-1Xxi)f(xi)xi(1)取值離散化：設(shè)在區(qū)間(xi-1,xi上

5、，Xxi;Department of Mathematics, Tianjin University連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2u定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x).若積分 收斂，則稱(chēng)X的數(shù)學(xué)期望存在，并將 稱(chēng)為X的數(shù)學(xué)期望或均值.即 EX=-| | ( )dxf xx-( )dxf xx-( )dxf xx注：若 發(fā)散，則稱(chēng)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不存在.-| | ( )dxf xxDepartment of Mathematics, Tianjin University例3.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求(1)a,b;（2）EX.例4.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

6、X的概率密度f(wàn)(x)滿(mǎn)足 f(c+x)=f(c-x), -x+.其中c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望存在，證明EX=c.0, 1,( )arcsin ,11,1,1.xF xabxxx Department of Mathematics, Tianjin University注：函數(shù)在計(jì)算期望時(shí)經(jīng)常用到2+12100( )d2d(0)xxxexxex且( +1)( );( +1)!;1(1)1; ( ).2nn Department of Mathematics, Tianjin Universityu已知X的數(shù)學(xué)期望，求Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望.方法1. 先求Y的分布，再求Y的期望.方法2. 不求Y的

7、分布而直接計(jì)算其期望.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3例5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求Y=X2+X-1的數(shù)學(xué)期望.X-101PX0.20.30.5例6.設(shè)隨機(jī)變量XU(0,/2),求Y=sinX的期望.Department of Mathematics, Tianjin Universityu定理：設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X), y=g(x)是連續(xù)函數(shù)，(1)若X是離散型的，且分布律為 P(X=xi)=pi,i=1,2,.且 收斂，則有(2)若X是連續(xù)型的，其概率密度為f(x),且 收斂，則有| ()|iiig xp ()( ) .iiiEYE g Xg x p-|g

8、( )| ( )dx f x x- ()g( ) ( )dEYE g Xx f xxDepartment of Mathematics, Tianjin University例7.國(guó)際市場(chǎng)每年對(duì)我國(guó)某種商品的需求量是隨機(jī)變量X（噸），它服從區(qū)間2,4（單位：噸）上的均勻分布.設(shè)每售出商品一噸，可掙外匯3千元；每積壓一噸，則損失1千元.問(wèn)需要組織多少貨源，才能使收益的期望最大？Department of Mathematics, Tianjin Universityu已知(X,Y)是二維隨機(jī)變量，g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù).(1).若(X,Y)是離散型的，且聯(lián)合分布律為 P(X=xi,Y=yj)

9、=pij, i,j=1,2,且級(jí)數(shù)ijg(xi,yj)pij絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 Eg(X,Y)=ijg(xi,yj)pij(2).若(X,Y)是連續(xù)型的，且聯(lián)合概率密度為f(x,y), 且積分 絕對(duì)收斂，隨機(jī)變量g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 Eg(X,Y)=( , ) ( , )d dg x y f x yx y ( , ) ( , )d dg x y f x yx y Department of Mathematics, Tianjin University例8.已知聯(lián)合概率分布律為求EX,EY,E(XY),E(X2+Y2).求EX,EY,E(Y/X),E(X-Y)2.

10、Y X123-10.20.1000.100.310.10.10.1例9.已知聯(lián)合概率密度為212,01,f( , )0,. .yyxx yo wDepartment of Mathematics, Tianjin University例10.已知隨機(jī)變量X1,X2均服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布，且相互獨(dú)立. 若X=maxX1,X2,Y=minX1,X2.求(1)EX,EY; (2)E(X+Y).Department of Mathematics, Tianjin University1. E(c)=c.(c為常數(shù))3. E(X+Y)=EX+EY.4.若X,Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y

11、). 推廣：若X1,X2,Xn相互獨(dú)立，則 E(X1X2Xn)=E(X1)E(X2)E(Xn)2. a,b為常數(shù)，則E(aX+b)=aEX+b. 特別：E(aX)=aE(X).由2和3可得：E(aX+bY)=aEX+bEY;E(a1X1+a2X2+anXn+b)= a1EX1+a2EX2+anEXn+bDepartment of Mathematics, Tianjin University例11.已知隨機(jī)變量XN(50,1), YN(60,4). Z=3X-2Y-10. 求EZ.LOGO第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.2 隨機(jī)變量的方差 Department of Mat

12、hematics, Tianjin University內(nèi)內(nèi) 容容 提提 要要方差的定義方差的定義1方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)2常見(jiàn)分布的期望與方差常見(jiàn)分布的期望與方差3Department of Mathematics, Tianjin Universityu設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量.若EX-E(X)2存在，則稱(chēng)之為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)或Var(X),即 D(X)=EX-E(X)2.并稱(chēng) 為X的標(biāo)準(zhǔn)差. 隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差1()()XD X注: (1)方差的計(jì)算: (2) 常用公式： D(X)=E(X2)-(EX)2.Department of Mathematics, Tianji

13、n University例1.設(shè)X的分布律為P(X=k)=1/2k, k=1,2,.求DX.例2.設(shè)XN(,2).求D(X)和(X).Department of Mathematics, Tianjin University1. D(c)=0.(c為常數(shù))3. D(X)=0P(X=c)=1,(c=EX為常數(shù)). 4.若X,Y獨(dú)立，則D(X+Y)=DX+DY. 注: (1) 若X1，X2，Xn相互獨(dú)立，則 D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+E(Xn). (2) 若X,Y相互獨(dú)立，則D(X-Y)=D(X)+D(Y); D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y).2. a,b為常數(shù)，

14、則D(aX+b)=a2DX.特別：D(aX)=a2D(X),D(-X)=DX, D(X+b)=DX.5. 對(duì)任意的xR, D(X)E(X-x)2. Department of Mathematics, Tianjin University常見(jiàn)分布的期望與方差常見(jiàn)分布的期望與方差3分布期望方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二項(xiàng)分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P()幾何分布g(p)1/p(1-p)/p2均勻分布U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12指數(shù)分布EXP()1/1/2正態(tài)分布N(,2)2Department of Mathematics, Tianjin Univer

15、sity例3.(分解變量法)設(shè)X服從二項(xiàng)分布B(n,p),再求EX,DX.例4.一套儀器有n個(gè)獨(dú)立元件組成，第i個(gè)發(fā)生故障的概率為pi,(i=1,2,n).問(wèn)整套儀器平均有多少個(gè)元件發(fā)生故障？LOGO第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.3 隨機(jī)變量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) Department of Mathematics, Tianjin University內(nèi)內(nèi) 容容 提提 要要隨機(jī)變量的協(xié)方差隨機(jī)變量的協(xié)方差1隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)2Department of Mathematics, Tianjin Universityu定義：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的函數(shù)(X

16、-EX)(Y-EY)的數(shù)學(xué)期望E(X-EX)(Y-EY)存在,則稱(chēng)之為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差.記為Cov(X,Y).即 Cov(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY).隨機(jī)變量的協(xié)方差隨機(jī)變量的協(xié)方差1注:(1)協(xié)方差的求法: (2)常用公式： Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY. (3) Cov(X,X)=E(X2)-(EX)2=DX.Department of Mathematics, Tianjin Universityu協(xié)方差的性質(zhì)：(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(3) Cov(aX+b,cY+d)=a

17、cCov(X,Y);(4) D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y). u定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，若DX0,DY0，則稱(chēng)Department of Mathematics, Tianjin University隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)2為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記為XY.Cov(, )X YDXDY注：XY與Cov(X,Y)的關(guān)系:u當(dāng)XY=0時(shí)，稱(chēng)X與Y不(線性)相關(guān).XY0時(shí)，稱(chēng)X與Y正相關(guān)，XY0時(shí)，稱(chēng)X與Y負(fù)相關(guān).Department of Mathematics, Tianjin Universityu相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):(1)|XY|1.(2) |XY|=1的充分必要條件是存在常數(shù)a0,b,使得P(Y=aX+b)=1.u不相關(guān)的等價(jià)條件: XY=0Cov(X,Y)=0 E(XY)=EXEY D(X Y)=DX+DY.u獨(dú)立一定不相關(guān)，不相關(guān)不一定獨(dú)立. 但對(duì)二維正態(tài)分布，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià).