電磁場電磁波教案4

1、2022-3-282022-3-281 1第四章第四章 恒定電流場恒定電流場 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容電流，電動勢，電流連續(xù)性原理，能量損耗。電流，電動勢，電流連續(xù)性原理，能量損耗。1. 電流及電流強度電流及電流強度2. 電動勢電動勢3. 電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理4. 恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件5. 恒定電流場的能量損耗恒定電流場的能量損耗6. 恒定電流場與靜電場的比擬恒定電流場與靜電場的比擬 2022-3-282022-3-282 21. 1. 電流及電流強度電流及電流強度 電流強度（簡稱電流）：電流強度（簡稱電流）：電荷定向移動形成電流，電流是單位時間電荷定向移動形成電流，

2、電流是單位時間通過導(dǎo)體中任一截面的電荷量，通過導(dǎo)體中任一截面的電荷量，以以 I I 表示。表示。即即 。電流的單位為電流的單位為A（安培安培）。 tqIdd 直流電流和時變電流：直流電流和時變電流：如圖所示，圖中電流如圖所示，圖中電流1是直流電流即穩(wěn)恒電是直流電流即穩(wěn)恒電流，其大小及符號均不隨時間而變；電流流，其大小及符號均不隨時間而變；電流2是脈動直流，其大小隨時間是脈動直流，其大小隨時間變化，而其符號不隨時間而變，如整流器整流出的電流；電流變化，而其符號不隨時間而變，如整流器整流出的電流；電流3是一般是一般隨時間變化的交變電流，其大小和符號均隨時間而變，如交變的三角隨時間變化的交變電流，其

3、大小和符號均隨時間而變，如交變的三角形電流；電流形電流；電流4是常用的隨時間按正弦規(guī)律變化的交變電流即時諧電流是常用的隨時間按正弦規(guī)律變化的交變電流即時諧電流或正弦電流，如發(fā)電機和振蕩器產(chǎn)生的電流等?；蛘译娏?，如發(fā)電機和振蕩器產(chǎn)生的電流等。tiI12342022-3-282022-3-283 3 根據(jù)電流形成的機理分類：根據(jù)電流形成的機理分類：傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流與與運流電流運流電流。 傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流是導(dǎo)體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子是導(dǎo)體中的自由電子（或空穴）或者是電解液中的離子運動形成的電流運動形成的電流。 運流電流運流電流是電子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成是電

4、子、離子或其它帶電粒子在真空或氣體中運動形成的電流。（例如電子管、離子管或離子加速器中的電流。）的電流。（例如電子管、離子管或離子加速器中的電流。） 在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部各點電流的分布一般是不同的，電流的分布可以在導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部各點電流的分布一般是不同的，電流的分布可以用一個矢量場（即電流場）來描述，該矢量場在空間各點不僅規(guī)定了用一個矢量場（即電流場）來描述，該矢量場在空間各點不僅規(guī)定了流動的強度，而且規(guī)定了它的方向。流動的強度，而且規(guī)定了它的方向。 設(shè)想有許多電流線，它們在各處都與流動的方向相切，假定某一設(shè)想有許多電流線，它們在各處都與流動的方向相切，假定某一面積與電流線正交，則對于面上某一點可以定

5、義一矢量面積與電流線正交，則對于面上某一點可以定義一矢量J。 J描述了電描述了電流分布的不均勻性。流分布的不均勻性。2022-3-282022-3-284 4 電流密度：電流密度：是一個矢量，以是一個矢量，以 J 表示。電流密度的方向為表示。電流密度的方向為正正電荷電荷的運動方向，其大小為單位時間內(nèi)的運動方向，其大小為單位時間內(nèi)垂直垂直穿過單位面積的電荷量。穿過單位面積的電荷量。 因此，穿過任一有向面元因此，穿過任一有向面元 dS 的電流的電流 dI 與電流密度與電流密度 J 的關(guān)系為的關(guān)系為 SJ ddI那么，穿過任一截面那么，穿過任一截面 S 的電流的電流 I 為為SI d SJ此式表明，

6、此式表明，穿過某一截面的電流等于穿過該截面電流密度的穿過某一截面的電流等于穿過該截面電流密度的通量通量。 SJSd2022-3-282022-3-285 5 在外源的作用下，大多數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)中某點的傳導(dǎo)電流密度在外源的作用下，大多數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)中某點的傳導(dǎo)電流密度 J 與該與該點的電場強度點的電場強度 E 成正比，即成正比，即EJ式中式中 稱為電導(dǎo)率，其單位為稱為電導(dǎo)率，其單位為 S/m 。當(dāng)溫度。當(dāng)溫度 一定時，對于一定的材料，一定時，對于一定的材料，它是一個與電場強度無關(guān)的常數(shù)。它是一個與電場強度無關(guān)的常數(shù)。 值愈大表明導(dǎo)電能力愈強，即使值愈大表明導(dǎo)電能力愈強，即使在微弱的電場作用下，也可形成很

7、強的電流。在微弱的電場作用下，也可形成很強的電流。 電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)體稱為電導(dǎo)率為無限大的導(dǎo)體稱為理想導(dǎo)電體理想導(dǎo)電體。顯然，在理想導(dǎo)電體。顯然，在理想導(dǎo)電體中，無需電場推動即可形成電流。由上式可見，在理想導(dǎo)電體中是中，無需電場推動即可形成電流。由上式可見，在理想導(dǎo)電體中是不可能存在恒定電場的，否則，將會產(chǎn)生無限大的電流，從而產(chǎn)生不可能存在恒定電場的，否則，將會產(chǎn)生無限大的電流，從而產(chǎn)生無限大的能量。但是，任何能量總是有限的。無限大的能量。但是，任何能量總是有限的。電導(dǎo)率為零的媒質(zhì)，不具有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為電導(dǎo)率為零的媒質(zhì)，不具有導(dǎo)電能力，這種媒質(zhì)稱為理想介質(zhì)理想介質(zhì)。 （歐姆定律的微分

8、形式）（歐姆定律的微分形式）2022-3-282022-3-286 671017.671080.531071010.451071054.3111071057.112107101510媒媒 質(zhì)質(zhì)電導(dǎo)率電導(dǎo)率(S/m)媒媒 質(zhì)質(zhì)電導(dǎo)率電導(dǎo)率(S/m)銀銀海海 水水4紫紫 銅銅淡淡 水水金金干干 土土鋁鋁變壓器油變壓器油黃黃 銅銅玻玻 璃璃鐵鐵橡橡 膠膠可見，銀的電導(dǎo)率最高，但易氧化，金略低，但性能非常穩(wěn)定?？梢姡y的電導(dǎo)率最高，但易氧化，金略低，但性能非常穩(wěn)定。7 7歐姆定律的積分形式：歐姆定律的積分形式：RISIlJldlJJdlddUlllllJlE其中：其中： 稱為導(dǎo)體的電阻。稱為導(dǎo)體的電阻

9、。RSl2022-3-287lUSJE在恒定電流場中，沿電流方向在恒定電流場中，沿電流方向取一個微小圓柱，如圖所示。取一個微小圓柱，如圖所示。2022-3-282022-3-288 8vJSIdd式中式中 為電荷密度。為電荷密度。 在在運流電流運流電流中取一個體積元中取一個體積元dV=dSdl,電荷密度為電荷密度為，自由電荷，自由電荷的運動速度為的運動速度為v，設(shè)在，設(shè)在dt時間內(nèi)體積元內(nèi)的電荷時間內(nèi)體積元內(nèi)的電荷dq =dV全部從截面全部從截面dS穿出，因而形成的運流電流元為穿出，因而形成的運流電流元為 SvtlStVtqIddddddddd其中：其中： ，因此，運流電流的電流密度為，因此，

10、運流電流的電流密度為tlddvdldSv9 9 運流電流運流電流的電流密度并不與電場強度成正比，而且電流密度的的電流密度并不與電場強度成正比，而且電流密度的方向與電場強度的方向也可能不同方向與電場強度的方向也可能不同。2022-3-289 與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導(dǎo)電性能也表現(xiàn)出均勻與非均與介質(zhì)的極化特性一樣，媒質(zhì)的導(dǎo)電性能也表現(xiàn)出均勻與非均勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點，這些特性的含勻，線性與非線性以及各向同性與各同異性等特點，這些特性的含義與前相同。義與前相同。 僅適用于各向同性的線性媒質(zhì)。僅適用于各向同性的線性媒質(zhì)。 EJ2022-3-282022-3-2810102.

11、 電動勢電動勢 如圖所示，首先將外接的導(dǎo)電媒質(zhì)移去，討論開路情況下外源內(nèi)如圖所示，首先將外接的導(dǎo)電媒質(zhì)移去，討論開路情況下外源內(nèi)部的作用過程。部的作用過程。 在外源中在外源中非靜電力非靜電力作用下，正電作用下，正電荷不斷地移向正極板荷不斷地移向正極板 P ，負(fù)電荷不斷，負(fù)電荷不斷地移向負(fù)極板地移向負(fù)極板 N。極板上的電荷在外源。極板上的電荷在外源中形成中形成庫侖電場庫侖電場 E ，其方向由正極板，其方向由正極板指向負(fù)極板，而且隨著極板上電荷的指向負(fù)極板，而且隨著極板上電荷的增加不斷增強。增加不斷增強。E導(dǎo)電媒質(zhì)PNE外 源 穩(wěn)恒電流是電流的大小及其正負(fù)都不隨時間而變化的電流，即直穩(wěn)恒電流是電流

12、的大小及其正負(fù)都不隨時間而變化的電流，即直流電流。導(dǎo)體中要維持一個穩(wěn)恒電流就必須與直流電源相接。流電流。導(dǎo)體中要維持一個穩(wěn)恒電流就必須與直流電源相接。2022-3-282022-3-281111 顯然，由極板上電荷產(chǎn)生的電場力阻止正電荷繼續(xù)向正極板移動，顯然，由極板上電荷產(chǎn)生的電場力阻止正電荷繼續(xù)向正極板移動，同時也阻止負(fù)電荷繼續(xù)向負(fù)極板移動，一直到極板電荷產(chǎn)生的電場力同時也阻止負(fù)電荷繼續(xù)向負(fù)極板移動，一直到極板電荷產(chǎn)生的電場力等于外源中的非電力時，外源的電荷運動方才停止，極板上的電荷也等于外源中的非電力時，外源的電荷運動方才停止，極板上的電荷也就保持恒定。就保持恒定。 既然外源中的非靜電力表

13、現(xiàn)為對于電荷的作用力，因此，通常認(rèn)既然外源中的非靜電力表現(xiàn)為對于電荷的作用力，因此，通常認(rèn)為這種非靜電力是由外源中存在的為這種非靜電力是由外源中存在的局外電場局外電場產(chǎn)生的，其電場強度仍然產(chǎn)生的，其電場強度仍然定義為對于單位正電荷的作用力，以定義為對于單位正電荷的作用力，以 表示。由于外電場使正電荷表示。由于外電場使正電荷移向正極板，負(fù)電荷移向負(fù)極板，因此，外電場的方向由負(fù)極板指向移向正極板，負(fù)電荷移向負(fù)極板，因此，外電場的方向由負(fù)極板指向正極板?？梢?，在外源中外電場正極板?？梢?，在外源中外電場 的方向與極板電荷形成的電場的方向與極板電荷形成的電場 E 的方向恰好相反。當(dāng)外源中的的方向恰好相反

14、。當(dāng)外源中的局外電場局外電場與極板電荷的與極板電荷的庫侖電場庫侖電場等值反等值反向時，外源中合成電場為零，電荷運動停止。向時，外源中合成電場為零，電荷運動停止。 EE2022-3-282022-3-281212 若外源的極板之間接上導(dǎo)電媒若外源的極板之間接上導(dǎo)電媒質(zhì)，正極板上的正電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)，正極板上的正電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)移向負(fù)極板；負(fù)極板上的負(fù)電荷質(zhì)移向負(fù)極板；負(fù)極板上的負(fù)電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)移向正極板。因而導(dǎo)通過導(dǎo)電媒質(zhì)移向正極板。因而導(dǎo)致極板上電荷減少，使得外源中由致極板上電荷減少，使得外源中由極板電荷形成的電場極板電荷形成的電場 E 小于外電場，小于外電場，外電場又使外源中的正負(fù)電荷再次

15、外電場又使外源中的正負(fù)電荷再次移動，外源不斷地向正極板補充新移動，外源不斷地向正極板補充新的正電荷，向負(fù)極板補充新的負(fù)電的正電荷，向負(fù)極板補充新的負(fù)電荷。荷。E導(dǎo)電媒質(zhì)PNE外 源 為了維持電路中源源不斷的穩(wěn)恒電流，電源內(nèi)部局外場強應(yīng)大于實為了維持電路中源源不斷的穩(wěn)恒電流，電源內(nèi)部局外場強應(yīng)大于實際導(dǎo)體中的庫侖場強；僅當(dāng)電源開路時，二者相等。際導(dǎo)體中的庫侖場強；僅當(dāng)電源開路時，二者相等。2022-3-282022-3-281313 由上可見，極板上的電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)不斷流失，外源又不由上可見，極板上的電荷通過導(dǎo)電媒質(zhì)不斷流失，外源又不斷地向極板補充新電荷，從而維持了連續(xù)不斷的電流。因此，為斷地

16、向極板補充新電荷，從而維持了連續(xù)不斷的電流。因此，為了在導(dǎo)電媒質(zhì)中產(chǎn)生連續(xù)不斷的電流，必須依靠外源。了在導(dǎo)電媒質(zhì)中產(chǎn)生連續(xù)不斷的電流，必須依靠外源。 當(dāng)達(dá)到當(dāng)達(dá)到動態(tài)平衡動態(tài)平衡時，極板上的電荷分布保持不變。這樣，極時，極板上的電荷分布保持不變。這樣，極板電荷在外源中以及在導(dǎo)電媒質(zhì)中產(chǎn)生板電荷在外源中以及在導(dǎo)電媒質(zhì)中產(chǎn)生恒定電場恒定電場，且在外源內(nèi)部，且在外源內(nèi)部保持保持 ，在包括外源及導(dǎo)電媒質(zhì)的整個回路中維持恒定的電，在包括外源及導(dǎo)電媒質(zhì)的整個回路中維持恒定的電流。流。EE 注意，極板上的電荷分布雖然不變，但是極板上的電荷并不注意，極板上的電荷分布雖然不變，但是極板上的電荷并不是靜止的。它們

17、是在不斷地更替中保持分布特性不變，因此，這是靜止的。它們是在不斷地更替中保持分布特性不變，因此，這種電荷稱為種電荷稱為駐立電荷駐立電荷。駐立電荷是在外源作用下形成的，一旦外。駐立電荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，駐立電荷也將隨之逐漸消失。源消失，駐立電荷也將隨之逐漸消失。2022-3-282022-3-281414考慮到導(dǎo)電媒質(zhì)中，考慮到導(dǎo)電媒質(zhì)中， ，那么，上式可寫成，那么，上式可寫成 EJl 0d lJ 駐立電荷產(chǎn)生的恒定電場與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場一樣，也是駐立電荷產(chǎn)生的恒定電場與靜止電荷產(chǎn)生的靜電場一樣，也是一種保守場。因此，它沿任一閉合回路的線積分應(yīng)為零，即一種保守場。因此，它沿

18、任一閉合回路的線積分應(yīng)為零，即l 0d lE0E對于均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，上式變?yōu)閷τ诰鶆驅(qū)щ娒劫|(zhì)，上式變?yōu)?l 0d lJ根據(jù)斯托克斯定理，求得上兩式的微分形式如下：根據(jù)斯托克斯定理，求得上兩式的微分形式如下：0 J0 J可見，均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，恒定電流場是可見，均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，恒定電流場是無旋無旋的。的。 同樣可在穩(wěn)恒電場中引入標(biāo)量電勢同樣可在穩(wěn)恒電場中引入標(biāo)量電勢 ,即即E2022-3-282022-3-281515 外電場由負(fù)極板外電場由負(fù)極板 N 到正極板到正極板 P 的線積分稱為外源的的線積分稱為外源的電動勢電動勢，以，以e 表示，即表示，即 lEd PNe達(dá)到動態(tài)平衡時，在外源內(nèi)部達(dá)到動態(tài)

19、平衡時，在外源內(nèi)部 ，所以上式又可寫為，所以上式又可寫為 EEUeNPPNlElEd d 但是電源的局外場強但是電源的局外場強 并非由電荷產(chǎn)生，是外源中存在的外并非由電荷產(chǎn)生，是外源中存在的外電場產(chǎn)生的，故它是非庫侖場即非保守場。電場產(chǎn)生的，故它是非庫侖場即非保守場。E 為外源極板間的電壓降，也是外電路的電壓降。此式表明，為外源極板間的電壓降，也是外電路的電壓降。此式表明，外源的電動勢等于外電路中的電壓降，或者從能量的觀點來看，外外源的電動勢等于外電路中的電壓降，或者從能量的觀點來看，外源中的外電場對單位正電荷作的功等于導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)恒定電場對單位源中的外電場對單位正電荷作的功等于導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)恒定電

20、場對單位正電荷作的功。正電荷作的功。U2022-3-282022-3-2816163. 電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理 VVq dVttqSVdd SJ 實驗證明，電荷既不能產(chǎn)生，也不能消滅，即電荷總是守恒的。在實驗證明，電荷既不能產(chǎn)生，也不能消滅，即電荷總是守恒的。在導(dǎo)電媒質(zhì)中，考慮一個由閉合面導(dǎo)電媒質(zhì)中，考慮一個由閉合面S所包圍的體積所包圍的體積V中駐立電荷的體密度中駐立電荷的體密度為為 。則。則 則在時間則在時間tt內(nèi)穿出閉合面的凈自由電荷量必等于在同一時間里體內(nèi)穿出閉合面的凈自由電荷量必等于在同一時間里體積內(nèi)凈電荷的減少量，即積內(nèi)凈電荷的減少量，即 其中：其中：J是包括傳導(dǎo)電流與運流電流

21、在內(nèi)的自由電流密度。上式為是包括傳導(dǎo)電流與運流電流在內(nèi)的自由電流密度。上式為電荷守恒定律電荷守恒定律（即（即電流連續(xù)性方程電流連續(xù)性方程）的積分形式。）的積分形式。 應(yīng)用高斯定理，可得其微分形式為：應(yīng)用高斯定理，可得其微分形式為：VSVdd JSJt J2022-3-282022-3-281717 已知恒定電流場中導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場及電荷分布與時間無關(guān)，已知恒定電流場中導(dǎo)電媒質(zhì)中的電場及電荷分布與時間無關(guān)，即即 ，由此得，由此得 0tS 0d SJ 此式表明，在恒定電流場中，電流密度通過任一閉合面的通量此式表明，在恒定電流場中，電流密度通過任一閉合面的通量為零。如果以一系列的曲線描述電流場，令曲

22、線上各點的切線方向為零。如果以一系列的曲線描述電流場，令曲線上各點的切線方向表示該點電流密度的方向，這些曲線稱為表示該點電流密度的方向，這些曲線稱為電流線電流線。那么，電流線是。那么，電流線是連續(xù)閉合的。它和電場線不同，電流線沒有起點和終點，這一結(jié)論連續(xù)閉合的。它和電場線不同，電流線沒有起點和終點，這一結(jié)論稱為稱為電流連續(xù)性原理電流連續(xù)性原理。0 J此式表明，此式表明，恒定電流場是無散的恒定電流場是無散的。 對于恒定電流場，根據(jù)高斯定理，求得其微分形式對于恒定電流場，根據(jù)高斯定理，求得其微分形式2022-3-282022-3-2818184. 恒定電流場的邊界條件恒定電流場的邊界條件 導(dǎo)電媒質(zhì)

23、中恒定電流場的基本性質(zhì)是恒定電流場的無旋性和電流導(dǎo)電媒質(zhì)中恒定電流場的基本性質(zhì)是恒定電流場的無旋性和電流的連續(xù)性。再加上歐姆定律的方程，則構(gòu)成恒定電流場的基本方程。的連續(xù)性。再加上歐姆定律的方程，則構(gòu)成恒定電流場的基本方程。 l 0d lJS 0d SJ0 J0 J微分形式微分形式本構(gòu)方程為本構(gòu)方程為EJ 可見，恒定電流場是可見，恒定電流場是無散無旋無散無旋場，這里穩(wěn)恒電場是有限區(qū)域內(nèi)場，這里穩(wěn)恒電場是有限區(qū)域內(nèi)的場，若場是無限區(qū)域內(nèi)的場，則無散必有旋，無旋必有散，即無的場，若場是無限區(qū)域內(nèi)的場，則無散必有旋，無旋必有散，即無限區(qū)域內(nèi)不存在無散無旋場。限區(qū)域內(nèi)不存在無散無旋場。積分形式積分形式

24、EJ1919l 0d lJS 0d SJ 根據(jù)積分形式的恒定電流場方程，可以推導(dǎo)出恒定電流場邊界條根據(jù)積分形式的恒定電流場方程，可以推導(dǎo)出恒定電流場邊界條件。件。 由第一式可以導(dǎo)出邊界兩側(cè)電流密度的切向分量關(guān)系為由第一式可以導(dǎo)出邊界兩側(cè)電流密度的切向分量關(guān)系為2t21t 1JJ 由第二式可以導(dǎo)出邊界兩側(cè)電流密度的法向分量關(guān)系為由第二式可以導(dǎo)出邊界兩側(cè)電流密度的法向分量關(guān)系為nnJJ21 由此可見，在兩種導(dǎo)電介質(zhì)的邊界兩側(cè)，電流密度矢量的由此可見，在兩種導(dǎo)電介質(zhì)的邊界兩側(cè)，電流密度矢量的切向分切向分量不連續(xù)量不連續(xù)，但其，但其法向分量連續(xù)法向分量連續(xù)。2022-3-282022-3-282020

25、 已知理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在電場，那么，理想導(dǎo)電體表已知理想導(dǎo)電體內(nèi)部不可能存在電場，那么，理想導(dǎo)電體表面不可能存在切向電場，因而也面不可能存在切向電場，因而也不可能存在切向恒定電流不可能存在切向恒定電流。當(dāng)電。當(dāng)電流由理想導(dǎo)電體流出流由理想導(dǎo)電體流出/ /進(jìn)入一般導(dǎo)電媒質(zhì)時，電流線總是進(jìn)入一般導(dǎo)電媒質(zhì)時，電流線總是垂直垂直于理于理想導(dǎo)電體表面。想導(dǎo)電體表面。已知導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度已知導(dǎo)電媒質(zhì)中電流密度 J 與恒定電場與恒定電場 E 的關(guān)系為的關(guān)系為EJ由此可以導(dǎo)出媒質(zhì)中恒定電場的邊界條件為由此可以導(dǎo)出媒質(zhì)中恒定電場的邊界條件為nnEE2211ttEE212t21t 1JJnnJJ21212

26、1 圓柱體的端面分別為兩個等位面。若在電場力作用下，圓柱體的端面分別為兩個等位面。若在電場力作用下，d t 時間時間內(nèi)有內(nèi)有 d q電荷自圓柱的左端面移至右端面，那么電場力作的功為電荷自圓柱的左端面移至右端面，那么電場力作的功為 lqEqWdddddlE 設(shè)在恒定電流場中，沿電流方向取設(shè)在恒定電流場中，沿電流方向取一個長度為一個長度為 dl，端面為，端面為 dS 的小圓柱體，的小圓柱體，如圖所示。如圖所示。 dlUJdS2022-3-28215. 恒定電流場的能量損耗恒定電流場的能量損耗 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，自由電子移動時要與原子晶格發(fā)生碰撞，結(jié)果在導(dǎo)電媒質(zhì)中，自由電子移動時要與原子晶格發(fā)生碰撞，結(jié)

27、果產(chǎn)生熱能，這是一種產(chǎn)生熱能，這是一種不可逆不可逆的能量轉(zhuǎn)換。這種能量損失將由外源不的能量轉(zhuǎn)換。這種能量損失將由外源不斷補給，以維持恒定的電流。斷補給，以維持恒定的電流。 2022-3-282022-3-282222電場損失的功率電場損失的功率 P 為為 VEJlSEJlEIltqEtWPddddddddd那么，單位體積中的功率損失為那么，單位體積中的功率損失為22JEEJpldlUJdS當(dāng)當(dāng) J 和和 E 的方向不同時，上式可以表示為下面一般形式的方向不同時，上式可以表示為下面一般形式 JE lp此式稱為此式稱為焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式，它表示某點的功率損耗密度等于該，它表示某點

28、的功率損耗密度等于該點的電場強度與電流密度的標(biāo)積。點的電場強度與電流密度的標(biāo)積。 （功率損耗密度功率損耗密度）2022-3-282022-3-282323 設(shè)圓柱體兩端的電位差為設(shè)圓柱體兩端的電位差為U，則，則 ，又知，又知 ，那么，那么單位體積中的功率損失可表示為單位體積中的功率損失可表示為lUEdSIJdVUIlSUIEJplddd可見，圓柱體中的總功率損失為可見，圓柱體中的總功率損失為UIVpPld這就是電路中的這就是電路中的焦耳定律焦耳定律。dlUJdS2022-3-282022-3-282424例例1 已知一平板電容器由兩層非理想介質(zhì)串聯(lián)構(gòu)成，如圖示。其已知一平板電容器由兩層非理想介

29、質(zhì)串聯(lián)構(gòu)成，如圖示。其介電常數(shù)分別為介電常數(shù)分別為 1 和和 2 ，電導(dǎo)率分別為，電導(dǎo)率分別為 1 和和 2 ，厚度分別為，厚度分別為 d1 和和 d2 。當(dāng)外加恒定電壓為。當(dāng)外加恒定電壓為 U 時，試求兩層介質(zhì)中的電場強度，單時，試求兩層介質(zhì)中的電場強度，單位體積中的電場儲能及功率損耗。位體積中的電場儲能及功率損耗。 1 1 2 2d1d2U解解 由于電容器外不存在電流，可以由于電容器外不存在電流，可以認(rèn)為電容器中的電流線與邊界垂直，認(rèn)為電容器中的電流線與邊界垂直，求得求得 2211EEUdEdE2211又又由此求出兩種介質(zhì)中的電場強度分別為由此求出兩種介質(zhì)中的電場強度分別為 UddE122

30、121UddE122112nnJJ212022-3-282022-3-282525兩種介質(zhì)中電場儲能密度分別為兩種介質(zhì)中電場儲能密度分別為 2222211121 ,21EwEwee兩種介質(zhì)中單位體積的功率損耗分別為兩種介質(zhì)中單位體積的功率損耗分別為 222211 ,EpEpll兩種特殊情況值得注意：兩種特殊情況值得注意：0201E01ew01lp22dUE 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， ， 。當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， ， 。0111dUE 02E02ew02lpd1d2 1= 0E 2= 0UE 1= 0 2= 0UUdEdE22112626電位微分方程電位微分方程已知，電位已知，電位 與電場強度與電

31、場強度 E 的關(guān)系為的關(guān)系為 對上式兩邊取散度，得對上式兩邊取散度，得 對于線性均勻的各向同性介質(zhì)，電場強度對于線性均勻的各向同性介質(zhì)，電場強度 E 的散度為的散度為 E2 E E2022-3-28262727那么，線性均勻的各向同性介質(zhì)中，電位滿足的微分方程式為那么，線性均勻的各向同性介質(zhì)中，電位滿足的微分方程式為 2該方程稱為該方程稱為泊松方程泊松方程。 對于無源區(qū)，上式變?yōu)閷τ跓o源區(qū)，上式變?yōu)?02上式稱為上式稱為拉普拉斯方程拉普拉斯方程。 泊松方程的求解。泊松方程的求解。VVd|)(41)( rrrr 已知分布在已知分布在V 中的電荷中的電荷 在無限大的自由空間產(chǎn)生的在無限大的自由空間

32、產(chǎn)生的電位為電位為)(r因此，上式就是電位微分方程在自由空間的特解。因此，上式就是電位微分方程在自由空間的特解。 2022-3-28272828應(yīng)用應(yīng)用格林函數(shù)格林函數(shù) ，即可求出，即可求出泊松方程泊松方程的通解為的通解為) ,(rrGSrrrrrrrrrrd) ,()()() ,( d) () ,()(0 0 0GGVGSV2022-3-2828 已知電荷分布時，可以用上式求解。但是實際中的靜電場問題，已知電荷分布時，可以用上式求解。但是實際中的靜電場問題，通常電荷分布正是待求的未知量，給定的是邊界上的電位（或電荷）通常電荷分布正是待求的未知量，給定的是邊界上的電位（或電荷）分布。因此，靜電

33、場的求解問題歸結(jié)為給定電位邊值時，泊松方程分布。因此，靜電場的求解問題歸結(jié)為給定電位邊值時，泊松方程或者拉普拉斯方程的求解?；蛘呃绽狗匠痰那蠼狻Ｊ街惺街懈窳趾瘮?shù)格林函數(shù) 為為) ,(rrG| |41) ,(0rrrrG2022-3-282022-3-282929例例2 2 設(shè)一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，其形狀及設(shè)一段環(huán)形導(dǎo)電媒質(zhì)，其形狀及尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。尺寸如圖示。計算兩個端面之間的電阻。 Uyxdabr0(r,)0解解 顯然，必須選用圓柱坐標(biāo)系。設(shè)兩顯然，必須選用圓柱坐標(biāo)系。設(shè)兩個端面之間的電位差為個端面之間的電位差為U，且令，且令 當(dāng)角度當(dāng)角度 時，電位時，電位 。001當(dāng)角

34、度當(dāng)角度 時，電位時，電位 。2U2那么，由于導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位那么，由于導(dǎo)電媒質(zhì)中的電位 僅與角度僅與角度 有關(guān)，因此電位滿足有關(guān)，因此電位滿足的方程式為的方程式為0dd22此式的通解為此式的通解為 21CC2222221)(1zrrrrr圓柱坐標(biāo)系下：圓柱坐標(biāo)系下： dzyxreeJEab2022-3-282022-3-283030 利用給定的邊界條件，求得利用給定的邊界條件，求得 U2rUr2eeEJ導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流密度導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流密度 J 為為 那么由那么由 的端面流進(jìn)該導(dǎo)電媒質(zhì)的電流的端面流進(jìn)該導(dǎo)電媒質(zhì)的電流 I 為為 2 dbardzrUI0)d (2deeSJSabUdrrUd

35、baln2d2因此該導(dǎo)電塊的兩個端面之間的電阻因此該導(dǎo)電塊的兩個端面之間的電阻 R 為為 abdIURln2zrrzreee1圓柱坐標(biāo)系下：圓柱坐標(biāo)系下： dddddddrrzrzrzreeeSdzyxreeJEab2022-3-282022-3-2831316. 恒定電流場與靜電場的比擬恒定電流場與靜電場的比擬 均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）和均勻電介質(zhì)中的靜均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）和均勻電介質(zhì)中的靜電場（電荷密度電場（電荷密度 的區(qū)域）有很多相似之處，如表所示：的區(qū)域）有很多相似之處，如表所示：0均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場（電源外部）（電源外部）均勻

36、電介質(zhì)中的靜電場均勻電介質(zhì)中的靜電場（ 的區(qū)域）的區(qū)域）基基本本方方程程本構(gòu)方程本構(gòu)方程位函數(shù)方程位函數(shù)方程邊邊界界條條件件00d SSJ0d llE0d SSD0d llE0E0 J0E0 DEJED0202n21n2tt 1JJEEn21n2tt 1DDEEnn 221121nn 2211212022-3-282022-3-283232 可見，兩者非常相似，恒定電流場的電流密度可見，兩者非常相似，恒定電流場的電流密度 J 相當(dāng)于靜電場相當(dāng)于靜電場的電場強度的電場強度 E，電流線相當(dāng)于電場線。，電流線相當(dāng)于電場線。 因為兩種場的電位都是拉普拉斯方程的解，因此，當(dāng)恒定電流場因為兩種場的電位都是拉普拉斯方程的解，因此，當(dāng)恒定電流場與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強度的分布特性與靜電場的邊界條件相同時，電流密度的分布與電場強度的分布特性完全相同，兩種場的解的形式必定是相同的。根據(jù)這種類似性，可以完全相同，兩種場的解的形式必定是相同的。根據(jù)這種類