第五章 隨機過程通過線性系統(tǒng)

1、第五章第五章隨機信號通過線性系統(tǒng)分析隨機信號通過線性系統(tǒng)分析 確定系統(tǒng)確定系統(tǒng)確定信號確定信號？確定系統(tǒng)確定系統(tǒng)隨機信號隨機信號？隨機系統(tǒng)隨機系統(tǒng)確定信號確定信號？隨機系統(tǒng)隨機系統(tǒng)隨機信號隨機信號？Signals & Systems2022-3-2835.1 5.1 線性系統(tǒng)基本理論線性系統(tǒng)基本理論5.2 5.2 連續(xù)時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析連續(xù)時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析5.3 5.3 離散時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析離散時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬5.5 5.5 希爾伯特變換和解析過程希爾伯特變換和解析過程5.6 5.6 窄帶隨機過程表示

2、窄帶隨機過程表示5.7 5.7 窄帶隨機過程包絡(luò)和相位的特性窄帶隨機過程包絡(luò)和相位的特性5.8 5.8 正弦信號與窄帶正弦信號與窄帶SPSP之和的包絡(luò)和相位的特性之和的包絡(luò)和相位的特性2022-3-284基本要求基本要求 熟練掌握隨機過程通過線性系統(tǒng)的時域和頻域分析方法，熟練掌握隨機過程通過線性系統(tǒng)的時域和頻域分析方法，掌握測量系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法。掌握測量系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法。 掌握高斯隨機信號激勵下，系統(tǒng)輸出的概率密度的計算。掌握高斯隨機信號激勵下，系統(tǒng)輸出的概率密度的計算。 掌握等效噪聲帶寬的計算。掌握等效噪聲帶寬的計算。 掌握希爾伯特變換及解析過程的表示形式和性質(zhì)。掌握希爾伯特變換及解析過

3、程的表示形式和性質(zhì)。 掌握窄帶隨機過程的萊斯表示和準(zhǔn)正弦表示，并能解決相掌握窄帶隨機過程的萊斯表示和準(zhǔn)正弦表示，并能解決相應(yīng)的問題。應(yīng)的問題。 掌握使用包絡(luò)檢波器、包絡(luò)平方檢波器和相位檢波器時，掌握使用包絡(luò)檢波器、包絡(luò)平方檢波器和相位檢波器時，輸出信號包絡(luò)和相位的概率分布。輸出信號包絡(luò)和相位的概率分布。2022-3-285系統(tǒng)可分為：系統(tǒng)可分為： （1）線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器）線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器 （2）非線性系統(tǒng)：限幅器、平方律檢波器）非線性系統(tǒng)：限幅器、平方律檢波器對于線性系統(tǒng)：已知系統(tǒng)特性和輸入信號的統(tǒng)計特性，可以求出系統(tǒng)輸對于線性系統(tǒng)：已知系統(tǒng)特性和輸入信號的統(tǒng)計

4、特性，可以求出系統(tǒng)輸 出信號的統(tǒng)計特性出信號的統(tǒng)計特性2022-3-286我們限定系統(tǒng)是單輸入單輸出（響應(yīng)）的、連續(xù)或離散時不變的、線我們限定系統(tǒng)是單輸入單輸出（響應(yīng)）的、連續(xù)或離散時不變的、線性的和物理可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。性的和物理可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號；連續(xù)時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號；離散時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號。離散時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號。連續(xù)與離散系統(tǒng)：連續(xù)與離散系統(tǒng)：（1）線性性：線性性：（2）時不變：）時不變： 線性時不變系統(tǒng)：線性時不變系統(tǒng)：1212( )( ) ( )( )L ax t

5、bx taL x tbL x t稱作算子L00() ()y ttL x tt2022-3-287 什么是線性系統(tǒng)？什么是線性系統(tǒng)？時不變線性系統(tǒng)時不變線性系統(tǒng)連續(xù)時不變線性系統(tǒng)連續(xù)時不變線性系統(tǒng)離散時不變線性系統(tǒng)離散時不變線性系統(tǒng)2022-3-288時不變時不變線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)若任意常數(shù)若任意常數(shù)a, b, 輸入信號輸入信號x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)若輸入信號若輸入信號x(t)時移時間時移時間C,輸出輸出y(t)也只引起一個相同也只引起一個相同的時移，即的時移，即y(t-C) = Lx(t-C)L.x(t)y(t) =

6、Lx(t) 什么是線性系統(tǒng)？什么是線性系統(tǒng)？2022-3-289連續(xù)連續(xù)時不變時不變線性線性系統(tǒng)系統(tǒng)若任意常數(shù)若任意常數(shù)a, b, 輸入信號輸入信號x1(t), x2(t), 有有Lax1(t)+bx2(t) = aLx1(t) + bLx2(t)h(t)x(t)y(t) = x(t)*h(t) 什么是線性系統(tǒng)？什么是線性系統(tǒng)？)()()()()()()(thtxdthxdhtxty2022-3-28105.1.2 連續(xù)時不變線性系統(tǒng)的分析方法連續(xù)時不變線性系統(tǒng)的分析方法1. 時域分析2頻域分析3. 物理可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng))()()()()()()(thtxdthxdhtxtyy( )( )X(

7、 )Hx( )( )j tx t edtdtethHtj)()( )( )( )Y sH s X sjs0t0)(th如果當(dāng)時，所有實際的物理可實現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。2022-3-28115.1.3 離散時不變線性系統(tǒng)的分析方法離散時不變線性系統(tǒng)的分析方法1. 時域分析2頻域分析3. 物理可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)如果當(dāng)時，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。)()()()()()()(nhnxknhkxkhknxnykky()x()()jjjeeH ex()( )jjnnex n enjnjenheH)()(y( )x( )( )zz H zjez 0)(nh0n物理可實現(xiàn)穩(wěn)定系統(tǒng)的極點都

8、位于z平面的單位圓內(nèi)。 2022-3-28125.1.4 卷積積分回顧卷積積分回顧 tftf21 dtff21 tftf21 dtff211.卷積積分計算卷積積分計算 dtff212022-3-28132.沖激函數(shù)性質(zhì)沖激函數(shù)性質(zhì) ttf tf0 1tttf 11ttttf ttf dtf 1tttf1ttf tf dtf2022-3-2814 在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號的某個在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號的某個統(tǒng)統(tǒng)計特性計特性只取決于輸入信號的只取決于輸入信號的相應(yīng)的相應(yīng)的統(tǒng)計特統(tǒng)計特性性。 根據(jù)輸入隨機信號的根據(jù)輸入隨機信號的、相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)和和功功率譜密度率譜密度，再加上已知線性系統(tǒng)，

9、再加上已知線性系統(tǒng)單位沖激單位沖激響應(yīng)響應(yīng)或或傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)，就可以求出輸出隨機信，就可以求出輸出隨機信號相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度號相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 分析方法：卷積積分法；頻域法。分析方法：卷積積分法；頻域法。5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2815 5.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸

10、出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2816 5.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距 輸入為隨機信號X(t)的某個的，則為：)(tx0)()()(dtxhty系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)一個確定性函數(shù)一個確定性函數(shù)5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連

11、續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2817 5.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距X( ) t0Y( )( )()( )( )thX tdh tX t對于隨機信號對于隨機信號任意一個樣本函數(shù)均成立。任意一個樣本函數(shù)均成立。： 那么對于所有的試驗結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機過程5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信

12、號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2818 5.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距Y0( ) ( )( )()mtE Y tEhX td0( ) X()hEtdX0( )()hmtdX( )* ( )mth t證明證明 X( ) tYX0( )mmhd若若為平穩(wěn)為平穩(wěn)SP，則，則5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)

13、時間系統(tǒng)的分析2022-3-2819 5.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸

14、入輸出相關(guān)函數(shù)為輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2820 XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t證明：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)證明：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為XY1212120( , )X( )Y( )X( )( )X()Rt tEttEth utu du120( )

15、X( )()h u Et X tu duX120( )( ,)h u Rt tu duX122( , )* ( )Rt th t YX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th tXY( )RX0( )()h u Ru du)()(hRXYX( )RX0( )()h u Ru du X( )()Rh若輸入為平穩(wěn)隨機過程若輸入為平穩(wěn)隨機過程5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2821 5.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、

16、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距結(jié)論：結(jié)論：已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)輸出端的自相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt t5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2822證明：證明：已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出

17、端的自相關(guān)函數(shù)輸出端的自相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY1212( , ) ( ) ( )Rt tE Y t Y t1200( )X()( )X()Eh utu duh vtv dv1200( ) ( ) X()X()h u h v Etutv dudv X1200( ) ( )(,)h u h v Rtu tv dudv 0210,dudvvtutRvhuhX 021,dututRuhXY 211,*ttRthXY dvduvtutRuhvhX0210, 021,dvvttRvhYX 212,*ttRthYX5

18、.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2823證明：證明：已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)已知系統(tǒng)輸入隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)輸出端的自相關(guān)函數(shù) Y1212( , )Y( )Y( )Rt tEtt12X12( )( )( , )h th tRt tY121XY12( , )( )( , )Rt th tRt t2YX12( )( , )h tRt tYXX00( )( ) ( )()( )( )()Rh u h v Ruv dudvRhh XYYX( )()( )( )RhRh 若為平穩(wěn)隨機過程，則有：

19、若為平穩(wěn)隨機過程，則有：5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2824 5.2.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)） 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 5、系統(tǒng)輸出的高階距、系統(tǒng)輸出的高階距系統(tǒng)輸出的系統(tǒng)輸出的n階矩的一般表達(dá)式為階矩的一般表達(dá)式為 121212Y( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )nnnEt Y tY tE X t X tX th t

20、h th t5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析小小 結(jié)結(jié)Y12( , )Rt t12X12( )( )( , )h th tRt t X( )* ( )Ymtmth t輸出均值輸出均值輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸入輸出互相關(guān)函數(shù)XY12X122( , )( , )* ( )Rt tRt th tYX12X121( , )( , )* ( )Rt tRt th t輸出自相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù)1XY12( )( , )h tRt t2YX12( )( , )h tRt tYX0( )mmhd平穩(wěn)隨機過程XY( )R)()(hRXYX( )RX( )()RhYX(

21、)( )( )()RRhhXYYX( )()( )( )RhRh5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2826 例例5.1 設(shè)隨機信號設(shè)隨機信號X(t)= ，其中，其中M是均值為是均值為5，方差為方差為64的高斯隨機變量，的高斯隨機變量，B是均值為是均值為2且服從瑞利分布的隨機變且服從瑞利分布的隨機變量，量， 之間均勻分布的隨機變量，將該信號送入到之間均勻分布的隨機變量，將該信號送入到tBM20cos0 2為在（ ， ）沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 的線性系統(tǒng)，已知的線性系統(tǒng)，已知M、B和和 相互相互 )(1010tUetht統(tǒng)計獨立，求系統(tǒng)輸出的均

22、值。統(tǒng)計獨立，求系統(tǒng)輸出的均值。解：解： tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0tBMEutXE20cos5ME tmY duuh05dtet01010555.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2827 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例5.2 如圖如圖3.1所示的低通所示的低通電路，已知輸入信號電路，已知輸入信號是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機信號，其均值為是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機信號，其均值為，假設(shè)，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：的白噪聲，求：求輸出均值；求輸出均值；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出平均功

23、率；輸出平均功率；輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2828解：解： thtXtY系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 ， ，輸出信號為 tUbethbtRCb1(1) 輸出信號均值輸出信號均值 tYEtmY duutXuhE0 duutXEuh0 duuhmX0Xm(2) 輸出自相關(guān)函數(shù)輸出自相關(guān)函數(shù) tYtYERY dvvtXvhduutXuhE005.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2829 dudvvtXutXEuhvh 00 dudvvuRuhvh

24、X 00 dudvvuNuhvh 0002 dvduvuNvhuh0002 duuhuhN0020dubebeNubbu002dueebNbub02202bebN405.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2830由自相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)特性， 時有0 bYebNR40所以 bYebNR40(3) 輸出平均功率輸出平均功率 400bNRQY(4) 輸入輸出互相關(guān)函數(shù)輸入輸出互相關(guān)函數(shù) hRRXXY duuRuhX05.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2831 duuNuh002 其它, 00,2

25、0hN XYYXRR0,20, 00hN5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2832 例例5.3 應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)0X( )( )2NR 的白噪聲，如果測得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，的白噪聲，如果測得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，求這個線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。求這個線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。 hRRXXY duuNuh002 0,20hN 0,20XYRNh5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2833 eNRX40例例5.4 設(shè)設(shè)X(

26、t)的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為 ，線性系統(tǒng)的，線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激響應(yīng)為 ， ， ，為各，為各自的半功率帶寬，自的半功率帶寬， 求輸出信號的自相關(guān)函數(shù)。求輸出信號的自相關(guān)函數(shù)。 tUbethbt2f2bfbb解：解： tYtYERY dudvvuRuhvhX 00dudveNeebvubvbu 00024兩種情況和時，分對vuvu05.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2834dudveedveeebNvuubvvuubvbu00204bebebbN22204 bYebebbNR22204b由于由于 bbYebNebbNR440220近

27、似為白噪聲通過線性系統(tǒng)后的輸出自相關(guān)函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)的輸近似為白噪聲通過線性系統(tǒng)后的輸出自相關(guān)函數(shù)，即當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬時，可把輸入信號近似看作白噪聲。入信號的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬時，可把輸入信號近似看作白噪聲。5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2835 5.2.1 時域分析法時域分析法 系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性 前提: 系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時。在這種情況下，t=0系統(tǒng)輸出響應(yīng)在已處于穩(wěn)態(tài) 結(jié)論1：若輸入是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。X( ) tY( ) t結(jié)論2：若輸入

28、是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出 也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 X( ) tY( ) t結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2836結(jié)論1：若輸入是 寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。X( ) tY( ) tX( ) tXX( )mtm常數(shù)X12X( , )( )Rt tR12tt YX0( )mmhdXY12( , )Rt tX0( )()h u Ru duX( )( )RhXY( )RYX12( , )Rt tX0( )()h

29、 u Ru du X( )()RhYX( )R若輸入若輸入為寬平穩(wěn)隨機過程，則有：為寬平穩(wěn)隨機過程，則有： Y12XXY00( , )( ) ( )()( )( )()( )Rt th u h v Ruv dudvRhhR 5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2837結(jié)論2：若輸入 是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出 也是嚴(yán)平穩(wěn)的。 X( ) tY( ) t因為0Y( )( )()thX td 對于時不變系統(tǒng)，若時移常數(shù)T，有0Y()( )()tThX tTd輸出 和 分別是輸入 和 與 的卷積，即可以表示成級數(shù)和的形式。由于隨機信號 是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以 與

30、 具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣 與 也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。Y()tTY( ) tX()tTX( ) t)(thX( ) tX()tTX( ) tY()tTY( ) t5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2838由 的寬遍歷的定義得 結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t則輸出 的時間平均XX( ) tmXX( )()( )t X tRX( ) tY( ) t1Y( )( )2TTTtlimY t dtT01( )()2TTTlimh

31、u X tu du dtT 01X() ( )2TTTlimtu dt h u duTX0( )m h u duYm5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2839結(jié)論3：若輸入 是寬遍歷性的，則輸出 也是寬遍歷性的，且 聯(lián)合遍歷 X( ) tY( ) tY( ) tX( ) t1Y( ) ()( ) ()2TTTt Y tlimY t Y tdtT001()() ( ) ( )2TTTlimX tu X tv dt h u h v dudvT X00() ( ) ( )Ruv h u h v dudv Y( )R 1X( ) ()X( )Y(

32、)2TTTt Y tlimttdtT01( )X()X( )2TTTlimh utut du dtT 01()X( ) ( )2TTTlimX tut dt h u duTX0() ( )Ru h u duXY( )R 5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2840 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)

33、時間系統(tǒng)的分析2022-3-2841 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm H thtmtmXY HmmXY對于平穩(wěn)過程對于平穩(wěn)過程5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2842 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、

34、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 YX( )( )( )()RRhh2YXX( )( )( )()( )( )SSHHSHjsYX( )( )( )()SsSs H s Hs 由，兩邊取付氏變換得： 表示，有： 5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2843 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 XYX( )( )( )S

35、SHYXX( )( )()SSHYXYYX( )( )()( )( )SSHSHYXYYX( )( )()( )( )SsSs HsSs H s hRRXXY hRRXYX5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2844 5.2.2 頻域分析法頻域分析法 1、輸出的均值、輸出的均值 2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度、系統(tǒng)輸出的功率譜密度 3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度 4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系、拉氏變換與付氏變換關(guān)系 dteetfdtetfsFtjtst)()()(js)(tftetf)(當(dāng)不可積時，可積。因此對于隨機信號，通

36、常情況下其拉氏變換存在。 5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-2845 RCX( ) tXmX( ) t02( )N 例例5. 圖示的低通圖示的低通電路，已知輸入信號電路，已知輸入信號是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機信號，其均值為是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機信號，其均值為，假設(shè)，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：的白噪聲，求：求輸出均值；求輸出均值；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出平均功率；輸出平均功率；輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析解解: thtXt

37、Y系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 ， ，輸出信號為 tUbethbtRCb1由于輸入信號是平穩(wěn)的,因而輸出信號Y(t)也是平穩(wěn)的(1) 輸出信號的均值00( )( )(0)YXXXmmhdm Hm HXm() 輸出信號自相關(guān)函數(shù) 2HSSXY22202bbN bYebNR40所以5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析47() 輸出信號平均功率 400bNRQY() 輸出輸入互相關(guān)函數(shù) HSSXXYjbbN20 XYYXRR0,20, 00hN 其它, 00,20hN XYR所以所以5.2 5.2 隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析隨機信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2022-3-

38、2848 5.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2849 5.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)0)()()(dtxhty0Y( )( )X()knh knk系統(tǒng)的輸出等于輸入信

39、號與單位沖激響應(yīng)的卷積和 可以證明，在假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的、輸入有界的條件下，上式在均方收斂的意義下是存在的。 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2850 5.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) 證明證明 若若為平穩(wěn)為平穩(wěn) SP，則，則Y0( ) ( )( ) ()kmnE Y nh k E X nkYX0( )kmmh kX( )n5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離

40、散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2851 5.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) XY( ,)( ) ()Rn nmE X n Y nm0( )( )()kE X nh k X nmk0( ) ( )()kh k E X n X nmkX0( )( ,)kh k Rn nmkX0( ,)( )(,)YXkRn nmh k Rnk nmXYXX0( )( )()( )*( )kRmh k Rmkh mRmYXXX0( )

41、( )()()*( )kRmh k RmkhmRm5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2852 5.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)Y( ,) ( ) ()Rn nmE Y n Y nm00( )()( )()kjEh k X nkh j X nmj00( ) ( )()()kjh k h j E X nk X nmjX00( ) ( )(,)kjh k h j Rnk nm

42、j 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2853 5.3.1 時域分析法時域分析法 1、輸出表達(dá)式、輸出表達(dá)式 2、輸出的均值、輸出的均值 3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù) 4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù) YX00( ) ( )()kjRmh k h j RmkjXXY( )* ( )* ()( )* ()Rmh mhmRmhmYX( )* ( )Rmh m 2X00( )( ) ( )()kjE Ynh k h j Rkj 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的

43、分析的分析2022-3-2854 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2855 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 若系統(tǒng)輸入隨機信號是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的，那么有YX10( )(1)kzXkmmh k zHmXYX( )( )( )SzH z Sz1YXX( )()( )SzH zSz1YX( )( )()( )SzH z H

44、zSz1XYYX()( )( )( )H zSzH z SzjzeX( )()( )jXYSH eSX( )()( )jYXSH eS2YXX( )()()( )()( )jjjSH eH eSH eS5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2856 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)為 11( )( )2mYYlRmSz zdzj2YX1( )()( )2jjmRmH eSed5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)

45、的分析的分析2022-3-2857 5.3.2 頻域分析法頻域分析法 1、功率譜密度表達(dá)式、功率譜密度表達(dá)式 2、輸出平均功率的計算、輸出平均功率的計算 2111( )( )()( )2XlE YnH z H zSz z dzj 22X1( )()( )2jE YnH eSd 式中 l 代表 z 平面上的單位圓 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2858 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 問題：如何設(shè)計一個線性系統(tǒng)，使輸入為白噪聲時，輸出問題：如何設(shè)計一個線性系統(tǒng)，使輸入為白噪聲時，輸出信號具有所希望的功率譜密

46、度？信號具有所希望的功率譜密度？問題：如何設(shè)計一個線性系統(tǒng)，將輸入的色噪聲轉(zhuǎn)化為輸出問題：如何設(shè)計一個線性系統(tǒng)，將輸入的色噪聲轉(zhuǎn)化為輸出是白噪聲？是白噪聲？5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-28591. 色噪聲的產(chǎn)生色噪聲的產(chǎn)生設(shè)輸入信號為具有單位功率譜密度的白噪聲，則系統(tǒng)輸出信號的功率譜密度為 sHsHsSsSXY sHsH 2HSY 1zHzHzSzSXY2jjYeHeS 1zHzH 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析譜分解定理譜分

47、解定理1：對于實平穩(wěn)連續(xù)時間隨機信號，若其功率譜密度是：對于實平穩(wěn)連續(xù)時間隨機信號，若其功率譜密度是一個有理譜，則存在一個有理函數(shù)，它的極點在一個有理譜，則存在一個有理函數(shù)，它的極點在s平面的左半面，零點全在左半面或虛軸上，且滿足：平面的左半面，零點全在左半面或虛軸上，且滿足： sSY sSY sSY sSsSYY譜分解定理譜分解定理2：對于實平穩(wěn)離散時間隨機信號，若其功率譜密度是：對于實平穩(wěn)離散時間隨機信號，若其功率譜密度是一個有理譜，則存在一個有理函數(shù)，它的極點在單一個有理譜，則存在一個有理函數(shù)，它的極點在單位圓內(nèi)，零點全在單位圓上或單位圓內(nèi)，且滿足：位圓內(nèi)，零點全在單位圓上或單位圓內(nèi)，且

48、滿足： zSY zSY YSz YYSz Sz 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2861 sSY sHsH sSY sSsSYY所以 sSsHY zSY zHzH zSY zSzSYY所以 zSzHY連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng) 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2862解:由題知 9104925242ssssSY33115757sssss

49、s sSY3157sss sSsHY例例5.6 設(shè)計一穩(wěn)定線性系統(tǒng)設(shè)計一穩(wěn)定線性系統(tǒng),使其在具有單位譜的白噪聲使其在具有單位譜的白噪聲激勵下輸出譜為激勵下輸出譜為: 9104925242YS3157sss5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2863解:由題知 91064244ssssSY33118888ssssjsjsss sSY sSsHY例例5.7 設(shè)計一穩(wěn)定線性系統(tǒng)設(shè)計一穩(wěn)定線性系統(tǒng),使其在具有單位譜的白噪聲使其在具有單位譜的白噪聲激勵下輸出譜為激勵下輸出譜為: 91064244YS3188ssjss3188ssjss5.3 5.3

50、隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-28642. 白化濾波器白化濾波器 1sHsHsSsSXY sSsHsHX1 sSsSXX1 sSsHX1 11zHzHzSzSXY zSzHzHX11 zSzSXX1 zSzHX1連續(xù)時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng) 5.3.3 色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器色噪聲的產(chǎn)生和白化濾波器 5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析例例5.8 求功率譜密度為求功率譜密度為 的白化濾波器的白化濾波器. cos25. 1cos4 . 004. 1XS cos25. 1cos4 . 004.

51、 1XS解解:jwjwjwjweeee5 . 025. 12 . 004. 1 115 . 025. 12 . 004. 1zzzzzSX115 . 05 . 02 . 02 . 0zzzz 5 . 02 . 0zzzSX 2 . 05 . 01zzzSzHX5.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的分析的分析2022-3-2866例例5.9 求功率譜密度為求功率譜密度為 的白化濾波器的白化濾波器. 9322XS解解: 33sssSX 331sssSsHX 9322XS 9322sssSXssss33335.3 5.3 隨機信號隨機信號通過通過離散離散時間系統(tǒng)時間系統(tǒng)的

52、分析的分析2022-3-28675.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬5.4.1 3dB帶寬帶寬2022-3-28685.4.2 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析白噪聲通過線性系統(tǒng)分析)(H)(sHX( )S20N設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ，或或其輸入白噪聲功率譜密度為其輸入白噪聲功率譜密度為 ，那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為 20Y( )( )2NSH或物理譜密度為或物理譜密度為2Y0( )( )GHN0注意注意：該式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出該式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機信號的功率譜密度

53、主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保端隨機信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因為無線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允持常數(shù)。這是因為無線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-28695.4.2 白噪聲通過線性系統(tǒng)分析白噪聲通過線性系統(tǒng)分析20Y( )( )4jNRHedduuhuhN00)()(2輸出自相關(guān)函數(shù)為輸出自相關(guān)函數(shù)為 輸出平均功率為輸出平均功率為2200( )( )2NE YtHd 5.4 3dB5.4

54、3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-28705.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 引入目的：引入目的： 當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特性是困難的。性是困難的。 在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應(yīng)為在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實際系統(tǒng)，矩形的理想系統(tǒng)等效代替實際系統(tǒng)， 等效時要用到一個非常重要的概念等效時要用到一個非常重要的概念等效噪聲等效噪聲帶寬帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3

55、-28715.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2872 等效原則等效原則 理想系統(tǒng)與實際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下理想系統(tǒng)與實際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下,兩兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等個系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實際系統(tǒng)的最大增益理想系統(tǒng)的增益等于實際系統(tǒng)的最大增益5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2873計算實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬計算實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬e H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜

56、密度為功率譜密度為20N白噪聲激勵白噪聲激勵 消耗在消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為 dwwHNtYE02022理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 22200202ewwKNdwKNtYEe5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2874 實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1對于一般的低通濾波器對于一般的低通濾波器)( H的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在 0處，即處，即)0()(maxH

57、H 對于中心頻率為對于中心頻率為0 帶通系統(tǒng)帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路如單調(diào)諧回路) )( H的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在處，即處，即0 )()(0maxHH5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2875 實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 dwwHwHwe022max1 dssHsHwHjwjje2max21拉氏變換拉氏變換 代入代入 2max02wHwNPe dwwHNtYE02022系統(tǒng)輸出平均功率系統(tǒng)輸出平均功率 5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶

58、寬和等效噪聲帶寬2022-3-2876小結(jié)：小結(jié)：由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬e 可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時，僅使用參數(shù)可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時，僅使用參數(shù)e 和和max)( H就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。 5.4.3 等效噪聲帶寬等效噪聲帶寬 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2877解: dHHe022max1例例5.10 計算低通濾波器計算低通濾波器 的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 jbbH和和3dB帶寬。帶寬。 由 知 ， jbbH 222

59、2bbH 10 HHmax所以，等效噪聲帶寬dbb02220arctanbbb22eef4b5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬又因為 222bbH所以21222bbb3dB帶寬為2bf 5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬例例5.10 計算低通濾波器計算低通濾波器 的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 jbbH和和3dB帶寬。帶寬。 2022-3-2879解: dHHe022max1例例5.11 計算低通濾波器計算低通濾波器 的等效噪聲帶寬的等效噪聲帶寬 0,2H和和3dB帶寬。帶寬。 所以，等效噪聲帶寬d02241322eef31由 知 ，

60、222H 20 HHmax 2H5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2880wA02w2w設(shè)白噪聲的物理譜設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù)輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù)輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時間輸出相關(guān)時間 5.4.4 白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng) 0)(AH/2 其它0( )XGN5.4 3dB5.4 3dB帶寬和等效噪聲帶寬帶寬和等效噪聲帶寬2022-3-2881wA02w2w設(shè)白噪聲的物理譜設(shè)白噪聲的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù)輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù)