高數(shù)B版1-1(5)課件

1、第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)一、基本概念一、基本概念二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)七、小結(jié)七、小結(jié) 思考題思考題五、初等函數(shù)五、初等函數(shù)六、六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無(wú)限集無(wú)限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說(shuō)說(shuō)則則必必若若BABxA

2、x .BA 記作記作數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是一類特殊的數(shù)集是一類特殊的數(shù)集.,baRba 且且bxax 稱為開(kāi)區(qū)間稱為開(kāi)區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxabox

3、abbxax bxax 稱為半開(kāi)區(qū)間稱為半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間稱為半開(kāi)區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義區(qū)間長(zhǎng)度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長(zhǎng)度線段的長(zhǎng)度)稱為區(qū)間的長(zhǎng)度稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx . 0)(0 axxa

4、U二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念例例 圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)nnrSn sin2, 5 , 4 , 3 n3S5S4S6S圓內(nèi)接正圓內(nèi)接正n 邊形邊形Orn )因變量因變量自變量自變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxfDx .),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 變量變量y按照一定法則總有按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱y是是x的的函數(shù)函數(shù)，記作，記作定定義義 設(shè)設(shè)x和和y是是兩兩個(gè)個(gè)變變量量, ,D是是一一個(gè)個(gè)給給定定的的數(shù)數(shù)集集，數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的叫做

5、這個(gè)函數(shù)的定義域定義域)(xfy 如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)Dx ,()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點(diǎn)集點(diǎn)集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總

6、時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)則叫與多值函數(shù)例如，例如，222ayx (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)表示不超過(guò) 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取

7、最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù)式子來(lái)表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).例例1 1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖其波形如圖所示所示,寫(xiě)出電壓寫(xiě)出電壓U與時(shí)間與時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式.)0( tt解解UtoE),2(E )0 ,( 2 ,2, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ttEU2 ;2tE 單三角脈沖信號(hào)的電壓

8、單三角脈沖信號(hào)的電壓,2(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t. 0 U其表達(dá)式為其表達(dá)式為是一個(gè)分段函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),)(tUU ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例2 2.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設(shè)設(shè) xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無(wú)界無(wú)界M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性

9、函數(shù)的有界性:.)(否否則則稱稱無(wú)無(wú)界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果

10、對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對(duì)于對(duì)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱設(shè)設(shè),DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 4、函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f x的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈。如果存在一個(gè)不為。如果存在一個(gè)不為零的數(shù)零的數(shù)l ，使得對(duì)任一使得對(duì)任一xD，有有()xlD，且且( )f x lf

11、x 恒成立，則稱恒成立，則稱( )f x為周期函數(shù)為周期函數(shù)，l稱為稱為( )f x的周期的周期。2l 2l23l 23l（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.四、反函數(shù)四、反函數(shù) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函數(shù)函數(shù)oxyDW)(yx 反函數(shù)反函數(shù)o1、反函數(shù)、反函數(shù))(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.xy 例例3 3解解,01)( QxQxxD設(shè)設(shè).)().21(),57(的性質(zhì)的性質(zhì)并討論并討論求求xD

12、DDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1單值函數(shù)單值函數(shù), 有界函數(shù)有界函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù),周期函數(shù)周期函數(shù)(無(wú)最小正周期無(wú)最小正周期)不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),2.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 定義定義: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 為為x的的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù).,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y注意注意: :1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy

13、例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成合構(gòu)成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(21

14、22 xxxxxexexfxx 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).五、初等函數(shù)五、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)六、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).1.雙曲

15、函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21xxxxeeeexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2.反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反反雙雙曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內(nèi)單調(diào)增

16、加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 : D y反反雙雙曲曲余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反反雙雙曲曲正正切切tanharxytanh arxtanharx y七、小結(jié)七、小結(jié)基本概念基本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)反函數(shù) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)數(shù)函數(shù)的分類函數(shù)的分類:函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函

17、數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )思考題思考題設(shè)設(shè)0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達(dá)達(dá)式式.思考題解答思考題解答設(shè)設(shè)ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若2251tttf , ,則則_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若

18、3,sin3, 1)(xxxt, , 則則)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的區(qū)間表示法是的區(qū)間表示法是_._. 4 4、設(shè)、設(shè)2xy , ,要使要使 ), 0( Ux 時(shí)，時(shí)，)2 , 0(Uy , , 須須 _._.練練 習(xí)習(xí) 題題二、證明二、證明xylg 在在), 0( 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. .三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和. .四、設(shè)四、設(shè))(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)，且且 10, 001,)(2xxxxf, ,試在試在),( 上繪出上繪出)(xf的圖形的圖形. .五