矩陣論、數(shù)值分析復(fù)習(xí)_2014

1、矩陣論復(fù)習(xí)一、線性空間（子空間）的基與維數(shù)的求法、直和的概念二、兩個(gè)基之間過渡矩陣的求法線性變換的特征值、特征向量的計(jì)算四、特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式、Cayley-Hamilton定理六、向量與矩陣的范數(shù)、條件數(shù)的概念與計(jì)算七、矩陣的三角分解五、會(huì)求可逆矩陣將方陣化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型三、線性變換的概念及其矩陣表示的簡單應(yīng)用12.B B 中的向量中的向量)1 (nii稱為第稱為第i個(gè)個(gè)基向量基向量. 定義定義 nV中給定順序的中給定順序的n個(gè)線性無關(guān)向量個(gè)線性無關(guān)向量n,21所成的向量組稱為所成的向量組稱為nV的一個(gè)的一個(gè)基基,21n(或或基底基底), 記為記為B B =nV定理定理 設(shè)設(shè)B B

2、是是的一個(gè)基的一個(gè)基,則則Vn中任一向量都中任一向量都可由可由B B 唯一表示。唯一表示。,21nB,21nB是是nV的兩個(gè)基的兩個(gè)基,則每個(gè)則每個(gè))1 (njj都可由都可由B線性表出線性表出:., 2 , 1,21211njppppnjjjnniiijj一、線性空間（子空間）的基與維數(shù)的求法、直和的概念3.pppppppppnnnnnnnn 2122221112112121 將將njj1 ,按順序排列按順序排列,并使用矩陣記號(hào)并使用矩陣記號(hào),則得則得TnjjjjpppP21就是就是B中第中第j個(gè)基向量個(gè)基向量j在基在基B 其中其中 n 階方陣階方陣ijpP 稱為由基稱為由基B到到B(或或過渡

3、矩陣過渡矩陣).顯然顯然,基變換矩陣基變換矩陣P中的第中的第j個(gè)列向量個(gè)列向量的的變換矩陣變換矩陣下的坐標(biāo)下的坐標(biāo).PBB簡記為簡記為4 解解 ,111101011111100101P故故.2120111121111001011111010111P 例例 已知已知3R的兩個(gè)基是的兩個(gè)基是,111,100,101,110,101,11121BB求由求由1B到到2B的變換矩陣的變換矩陣P.二、兩個(gè)基之間過渡矩陣的求法5例例 4R中的兩個(gè)子空間是中的兩個(gè)子空間是,0110,0011 span211TTaaW234span0 0 1 1 ,1 0 0 1 ,TTWaa求求2121WWWW及的基和維數(shù)。

4、的基和維數(shù)。.,span432121WW但由于但由于,3214且且32, 1,線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以21WW 的一個(gè)基為的一個(gè)基為,0011 1T. 3)dim(, 1100,01102132WWTT解解維數(shù)公式（維數(shù)公式（*）給出）給出. 1)dim(dimdim)dim(212121WWWWWW 21,WW.dimdim)dim()dim(212121WWWWWW定理定理 設(shè)設(shè)是是V的兩個(gè)子空間，則的兩個(gè)子空間，則為了求為了求21WW 的基，設(shè)的基，設(shè)21WW ，則由，則由1W知，存在知，存在21,kk使使2211kk，又由，又由2W知，存在知，存在43,kk使使4433kk因而，因

5、而，4321,kkkk應(yīng)滿足方程。應(yīng)滿足方程。,44332211kkkk即即. 0)()(44332211kkkk用矩陣表示則為用矩陣表示則為011000110001110014321kkkk解得解得, 1111 4321TTckkkk其中其中c為任意為任意非零非零實(shí)數(shù)，從而實(shí)數(shù)，從而.0101 )(21Tcc 因此，因此，,0101span21TWW即即T0101 是是21WW 的一個(gè)基。的一個(gè)基。 7定義定義 若若21WW 中任一向量只能唯一地分解為中任一向量只能唯一地分解為1W中的一個(gè)向量與中的一個(gè)向量與2W中的一個(gè)向量之和，則中的一個(gè)向量之和，則21WW 稱為稱為21,WW的直和，記為

6、的直和，記為.21WW （2）; 0),2 , 1(, 02121則若iWii（3）.dimdim)dim(2121WWWW定理定理 2121WWWW的充分必要條件是下列條件的充分必要條件是下列條件的之一滿足：的之一滿足：;021WW （1）例例 設(shè)設(shè) 是是 R4的一個(gè)基，的一個(gè)基， ， ，證明：，證明： ,4321,21211 spanV,41432spanV214VVR8在在T下的下的像像，定義定義 mnVV 到的變換的變換T T 稱為線性的，如果對(duì)任意的稱為線性的，如果對(duì)任意的nVk及中的任意向量中的任意向量,恒有恒有.)(,)(kTkTTTT特別，當(dāng)特別，當(dāng)T是是nV到自身的一個(gè)線性變

7、換，則稱到自身的一個(gè)線性變換，則稱T是是nV的的線性變換線性變換。記記,mVT則稱則稱為稱為的的原像原像。數(shù)數(shù)mnVV 和中分別取基中分別取基,2121mnBB和則則ja的像的像1 (jTa)nj 可由基可由基B唯一地線性表出：唯一地線性表出：mnVV 到的線性變換，在的線性變換，在設(shè)設(shè)T是是mimjjjmiijjaaaaT12121三、線性變換的概念及其矩陣表示那么上式可簡寫為那么上式可簡寫為 .2122221112112121mnmmnmnaaaaaaaaaTTTn為了簡化記法和便于運(yùn)算，令為了簡化記法和便于運(yùn)算，令,21naTTTTB 其中其中nm矩陣矩陣.212222111211mnm

8、mnaaaaaaaaaAn,ABTB（1.2-1）（1.2-1）式叫做）式叫做T的矩陣表示，稱的矩陣表示，稱A為為T在在基偶基偶下的矩陣。下的矩陣。,BB9如果把如果把njTj1 ,按順序排列，并使用矩陣記號(hào)，按順序排列，并使用矩陣記號(hào)，則有則有10則稱則稱0是是T的一個(gè)的一個(gè)特征值特征值，稱為稱為T關(guān)于關(guān)于0特征向量特征向量。的的定義定義 的一個(gè)線性變換，如果存在的一個(gè)線性變換，如果存在, 0)(,0且FVFn使使 ,0T（1.2-5）)(FVTn是設(shè)T的特征值問題與的特征值問題與 A 的特征值問題是一一對(duì)應(yīng)的。由于相似矩的特征值問題是一一對(duì)應(yīng)的。由于相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，所以我們可以

9、把陣有相同的特征多項(xiàng)式，所以我們可以把A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式 nnnnnbbbAIf111)det()(稱為稱為T的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，于是，于是T的特征值就是的特征值就是T的特征多項(xiàng)式的根。的特征多項(xiàng)式的根。三、線性變換的特征值、特征向量的計(jì)算11為了求出為了求出T的特征值和特征向量，在的特征值和特征向量，在nV中取一個(gè)基中取一個(gè)基,21nB，且設(shè)，且設(shè)T在在B下的矩陣是下的矩陣是A。那么那么可由可由B的線性表出：的線性表出：,121niTniixxxxBxx是是 T 的一個(gè)特征向量，的一個(gè)特征向量，0是相應(yīng)的特征值，即是相應(yīng)的特征值，即, 0,0T如果如果.0 xAx可推得可推得解

10、解 取取)(2tP的一個(gè)基的一個(gè)基21, ,Bt t則則T在在B下的下的.300220011A矩陣是矩陣是A的特征值是的特征值是相應(yīng)的特征向量相應(yīng)的特征向量. 121 ,011 ,001 321TTTkkk, 3, 2, 1321分別為分別為, 3, 2, 1321因此，因此，T的特征的特征T關(guān)于關(guān)于321,的特征向量的特征向量),21 (),1 (,2321ttktkk上述的上述的321,kkk和可為任意非零實(shí)數(shù)?？蔀槿我夥橇銓?shí)數(shù)。值是值是分別是多項(xiàng)式分別是多項(xiàng)式12 例例 )(2tP的線性變換的線性變換T的定義為的定義為),() 1()()(tpdtdttptTp求求T的特征值和特征向量。

11、的特征值和特征向量。13nnnnnnnaaaaaaaaaAI212222111211)det(.)det()(111nnnnnbbbAIf這個(gè)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域有這個(gè)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域有n 個(gè)根個(gè)根.,21n 特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式對(duì)于復(fù)數(shù)域上對(duì)于復(fù)數(shù)域上n 階方陣階方陣A=aij，它的特征多項(xiàng)式它的特征多項(xiàng)式 是是的的 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式四、特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式、Cayley-Hamilton定理的簡單應(yīng)用14nnnnbbbAIf111)det()(定理定理(Cayley-Hamilton) 設(shè)設(shè)n 階方陣階方陣A 的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為則則f (A)=O,即即A 的

12、特征多項(xiàng)式是的特征多項(xiàng)式是A 的一個(gè)零化多項(xiàng)式的一個(gè)零化多項(xiàng)式.定義定義 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè)n 階方陣階方陣,g(t)是一多項(xiàng)式是一多項(xiàng)式,如果如果g(A)=O,則則稱稱g(t)是是A 的零化多項(xiàng)式的零化多項(xiàng)式.A的的最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式，記為，記為 。)(Am定義定義A的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱為的零化多項(xiàng)式中，次數(shù)最低的首一多項(xiàng)式稱為且且 是唯一的。是唯一的。定理定理A的最小多項(xiàng)式的最小多項(xiàng)式 可整除可整除A的任何零化多項(xiàng)式的任何零化多項(xiàng)式)(Am)(g)(Am,15)(Am定理定理 00是是A 的特征值的充分必要條件是的特征值的充分必要條件是 00是是A 的最小多項(xiàng)式的最小多

13、項(xiàng)式 的根。的根。42112012A例例求求的最小多項(xiàng)式。的最小多項(xiàng)式。32)2)(3(;)2)(3();2)(3(解解 由于由于 所以所以A的最小多項(xiàng)式只能的最小多項(xiàng)式只能3)2)(3()det(AI有下列三種可能：有下列三種可能：,00000010O2211001012121011)2)(3(IAIA但但.)2)(3()(,)2)(3(22AmOIAIA故而而04168212416)2(xxIA例如，例如， 725,54411zxT6168412414A例例 設(shè)設(shè)求可逆矩陣求可逆矩陣P使使P1AP為為Jordan矩陣。矩陣。2,)2()det(3AI解解 是是A的三重特征值。齊次線性方程組

14、的三重特征值。齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣 A2I 的秩是的秩是1，因而基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量，因而基礎(chǔ)解系有兩個(gè)解向量，16sixIAi, 2 , 1, 0)(征值的各級(jí)根向量征值的各級(jí)根向量.1.1級(jí)根向量可以解齊次線性方程組級(jí)根向量可以解齊次線性方程組把把 相似簡化為相似簡化為JordanJordan矩陣的關(guān)鍵是矩陣的關(guān)鍵是, ,尋找尋找 關(guān)于其特關(guān)于其特AA注：注：五、會(huì)求可逆矩陣將方陣化為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型Tcccccczcxcy21212112117524542121217524544168212416ccccccx2121212121212000)2( 40005441675

15、41624821254416cccccccccccc且通解的表達(dá)式為且通解的表達(dá)式為對(duì)它的增廣矩陣施行行初等變換：對(duì)它的增廣矩陣施行行初等變換：17代入代入 式式 得得, yxIAi）（由此可見由此可見,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)這個(gè)非齊次方程組才有解。時(shí)這個(gè)非齊次方程組才有解。0221 cc3232xxAxTxycc121, 3/1,32221這時(shí)若取若取性方程組的一個(gè)解是性方程組的一個(gè)解是 ，且有，且有 ，即，即Tx010323)2(xxIA, 上述非齊次上述非齊次線線015124014321xxxP因此，取因此，取21221APP18數(shù)值分析復(fù)習(xí)一一 誤差分析1 舍入誤差、截?cái)嗾`差、有效數(shù)字；

16、2 數(shù)值計(jì)算的一些原則；如：P10-例1.3、例1.6。3 數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。19二.插值法1.插值的概念：（1）問題的引出；（2）唯一性：待定系數(shù)法；反證法。2.構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法：（1）待定系數(shù)法；（2）基函數(shù)法；（3）承襲性思想。203 插值的分類：（1）不含導(dǎo)數(shù)插值條件（Lagrange型插值）； Lagrange插值公式、Newton插值公式。（2）含導(dǎo)數(shù)插值條件（Hermite插值）；構(gòu)造法、 帶重節(jié)點(diǎn)的Newton插值法。4 余項(xiàng)表達(dá)式、截?cái)嗾`差估計(jì)、總的誤差界。5 差商的定義、基本性質(zhì)。6 例.21三、函數(shù)逼近221 最小二乘擬合問題：給出數(shù)據(jù)能求出擬合曲線；教P69.例3.

17、4，3.5，3.7四、數(shù)值積分1、基本概念： (1) 代數(shù)精度； (2)插值型求積公式； (3)復(fù)化求積公式； (4)Gauss型求積公式； (5)收斂階(復(fù)化)； (6)計(jì)算的穩(wěn)定性。232、構(gòu)造求積公式的方法： (1)待定系數(shù)(利用代精)； (2)插值型求積公式； (3)Newton-Cotes公式； (節(jié)點(diǎn)等距)，幾種低階， 及余項(xiàng)。梯梯形形simpsonbadxxklkA)(;.求積節(jié)點(diǎn)給定求積節(jié)點(diǎn)給定定定求積節(jié)點(diǎn)、系數(shù)均未給求積節(jié)點(diǎn)、系數(shù)均未給nkjjjxkxjxxxkl1)(教P91,例4.2P101例：P96例4.4243、提高求積公式精度的方法： (1)增加求積節(jié)點(diǎn)及采用Gau

18、ss型求積公式； (2)構(gòu)造復(fù)化求積公式； 誤差的 (3)線性外推公式、Romberg算法。先驗(yàn)誤差事后誤差估計(jì)P92,93例：P94.例4.5P95,96254、Gauss型求積公式： (1)Gauss點(diǎn)的概念及其有關(guān)定理； (2)利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造Gauss求積公式； (3)利用Gauss型求積公式構(gòu)造奇異積分的數(shù)值方法。例：P109 例4.11例：P111例4.12系數(shù)特點(diǎn)穩(wěn)定、收斂例：P113 例4.14、例。26五、常微分方程數(shù)值解將方程離散化的三種方法。掌握Euler法和改進(jìn)的Euler法、隱式Euler法和梯形法的基本公式和構(gòu)造。領(lǐng)會(huì)R-K方法的基本思想，會(huì)進(jìn)行二階R-K方法的推導(dǎo)。會(huì)求差分格式的局部截?cái)嗾`差及方法的階。能利用單步法收斂定理判斷方法的收斂性。能給出一般單步法的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域（區(qū)間）。p13727掌握線性多步法的構(gòu)造原理，能構(gòu)造線性多步格式。8. 例P147.例5.1028六 、線性代