電阻電路的一般分析方法

1、.第二章電阻電路的一般分析方法322.1 電阻的串聯(lián)和并聯(lián)322.1.1 電阻的串聯(lián)322.1.2 電阻的并聯(lián)332.1.3 電阻的混聯(lián)及Y等效變換352.2 電阻電路功率及負(fù)載獲得最大功率的條件382.3 電路中各點(diǎn)電位的計(jì)算392.4 應(yīng)用基爾霍夫定律計(jì)算線性網(wǎng)絡(luò)412.5 網(wǎng)孔分析法422.6 節(jié)點(diǎn)分析法452.7 彌爾曼定理50習(xí) 題51:第二章 電阻電路的一般分析方法 53第二章 電阻電路的一般分析方法電路分析的基本任務(wù)就是根據(jù)已知的激勵（獨(dú)立源）、電路的結(jié)構(gòu)以及元件參數(shù)求出電路的響應(yīng)（電流、電壓等）。分析的理論依據(jù)是根據(jù)元件的伏安特性和基爾霍夫定律。本章以線性電阻電路為對象，介紹幾

2、種常用的電路分析方法和若干重要定理。這些方法和定理也是分析動態(tài)電路和正弦穩(wěn)態(tài)電路的重要基礎(chǔ)。2.1 電阻的串聯(lián)和并聯(lián) 串聯(lián)和并聯(lián)是電阻常見的兩種連接方式，在進(jìn)行電路分析時，往往用一個等效電阻來代替，從而達(dá)到簡化電路組成、減少計(jì)算量的目的。下面討論串、并聯(lián)電路的分析以及等效電阻的計(jì)算和應(yīng)用。2.1.1 電阻的串聯(lián)I N1 + + I N2 U1 R1 + - +U U2 R2 U R - + U3 R3 - - -(a) (b) 圖2-1 電阻串聯(lián)電路圖2-1是三個電阻串聯(lián)的電路，電阻串聯(lián)(series connection)的特點(diǎn)是： (1)根據(jù)KCL，通過串聯(lián)電阻的電流是同一個電流； (2)

3、根據(jù)KVL，串聯(lián)電路兩端口總電壓等于各個電阻上電壓的代數(shù)和，即U=U1+U2+U3 （2-1）應(yīng)用歐姆定律，有 U=R1I+R2I+R3I=(R1+R2+R3)I=RI （2-2）式中 R=R1+R2+R3 (2-3)R稱為三個串聯(lián)電阻的等效電阻。“等效”是電路分析中的一個基本概念。如果二端電路N1、N2（如圖2-1(a)、(b)）的端口伏安特性完全相同，就稱N1與N2是互為等效的電路。換句話說，互換N1和N2，不會改變外電路中（等效電路以外）任一處的電流和電壓。這種等效電路之間的互換，稱為等效變換。所謂等效，是指外電路而言的，它們的作用效果是相同的。式（2-2）表明，圖2-1(a)、(b)電

4、路端口的伏安特性相同，因此兩個電路是等效的。利用式（2-2）和U1、U2、U3與電流的關(guān)系，可求得 （2-4）（2-4）式表明，各串聯(lián)電阻上的電壓和消耗的功率均與它們的電阻值成正比。2.1.2 電阻的并聯(lián)圖2-2是三個電阻并聯(lián)的電路，電阻并聯(lián)(parallel connection)電路的特點(diǎn)是：(1)根據(jù)KVL，各并聯(lián)電阻的端電壓是同一個電壓；(2)根據(jù)KCL，通過并聯(lián)電路的總電流是各并聯(lián)電路中電流的代數(shù)和，即 I=I1+I2+I3 (2-5)應(yīng)用歐姆定律，上式可表示為 (2-6)式中： I I + I1 I2 I3 + R1 R2 R3 U R- -(a) (b)圖2-2 電阻并聯(lián)電路 （

5、2-7）式（2-7）中的R稱為并聯(lián)電阻的等效電阻，它的倒數(shù)等于各個并聯(lián)電阻倒數(shù)的總和。式（2-6）表明，等效電阻R滿足式（2-7）關(guān)系時，圖2-2（b）與圖2-2（a）電路具有相同的伏安關(guān)系，對其相連的外部電路而言，它們是互為等效的電路。應(yīng)用式（2-6）及I1、I2、I3與電壓U的關(guān)系，可求得 （2-8）上式表明，各個并聯(lián)電阻中流過的電流和消耗的功率均與電阻值成反比。對于只有兩個電阻并聯(lián)的電路，通常記為R1/R2，由上面結(jié)論可得等效電阻的倒數(shù)其等效電阻為 （2-9）由式（2-8）和式（2-9）可求出兩個電并聯(lián)時各支路電流為 （2-10）式（2-9）和式（2-10）會經(jīng)常用到，應(yīng)該熟記。例2-1

6、 電路如圖2-3(a)所示，求ab端等效電阻。a Rabb(c) R1 a R2 R4R3 b R5 (a) a R3 R2 R1 b R5 R4 (b)圖2-3 例2-1電路圖圖2-4 例2-2電路圖及簡化過程 a 50 c 50 50 25 b 50 (a) a 50 c 50 50 25 50 b (b)a a50 50 50 b b(d) (e)50a c5050 50 25b(c)解：先將圖2-3(a)在不改變元件連接關(guān)系的條件下，改畫成容易看出的串并聯(lián)關(guān)系如圖2-3(b)。逐步利用電阻串聯(lián)或并聯(lián)等效電阻加以代替，最后求出ab端等效電阻如圖2-3(c)所示。 例2-2 電路如圖2-4

7、(a)所示，求等效電阻Rab。解：初看起來圖(a)電路比較復(fù)雜，各電阻之間的關(guān)系不能一下子看出。遇此情況，應(yīng)先觀察電路共有幾個節(jié)點(diǎn)，先設(shè)置這幾個節(jié)點(diǎn)的位置如圖(b)所示。然后將各個節(jié)點(diǎn)之間的電阻用最短的線段重新畫在節(jié)點(diǎn)之間，如圖(c)所示。此圖中各電阻的連接關(guān)系就比較明顯了，經(jīng)過不斷化簡如圖(d)、(e)，可求得等效電阻為 2.1.3 電阻的混聯(lián)及Y等效變換有一些混聯(lián)電阻的電路，既不屬于電阻的串聯(lián)，也不屬于電阻的并聯(lián)。如圖2-5所示就是其中一例。此時無法用串、并聯(lián)的公式進(jìn)行等效化簡。仔細(xì)分析這類電路，可發(fā)現(xiàn)存在如下的典型連接：即星形連接（Y形或T形連接），或三角形連接（形連接或形連接），如圖2

8、-6所示。 R1 R2 R3 R4 R5圖2-5 具有Y連接的電路1 1R1 R31 R12 R3 R2 R23 3 2 3 2 R1 R2 R12 1 2 1 2R3 R31 R23 3 3 (a) Y或T形電路 (b) 或形電路 圖2-6 兩種典型的連接電路當(dāng)它們被接在復(fù)雜的電路中，在一定的條件下可以等效互換，而不影響其余未經(jīng)變換部分的電壓和電流；經(jīng)過等效變換可使整個電路簡化，從而能夠利用電阻串并聯(lián)方法進(jìn)行計(jì)算。兩個電路相互等效的條件是要求它們端點(diǎn)的伏安特性關(guān)系完全相同。下面證明Y形連接與形連接電路等效變換的公式：所謂等效變換，就是變換前后網(wǎng)絡(luò)的外特性不變。像圖2-7(a)、(b)中分別施

9、加相同的電流源I1和I2，則對應(yīng)得端點(diǎn)間電壓U13和U23不變。對于圖2-7(a)所示電路有 U13=R1I1+R3(I1+I2) U23=R2I2+R3(I1+I2)即 （2-11） 1 R1 R2 2 1 I0 R12 2I1 R3 I2 I1 R31 R23 I2 3 3 (a) (b)圖2-7 電流源施加于Y（T）形網(wǎng)絡(luò)和（）形網(wǎng)絡(luò)對于2-7(b)所示的網(wǎng)絡(luò)，將電流源并聯(lián)電阻模型轉(zhuǎn)換為電壓源串聯(lián)電阻模型后可得 以及 U13=R31I1-R31I0 U23=R23I0+R23I2由此可得 （2-12）令（2-11）和（2-12）兩式中I1和I2前面的系數(shù)分別相等，可得 （2-13）解（2

10、-13）式可得將形連接等效變換為Y形連接時 （2-14）由（2-13）式也可解得將Y形連接等效電路變換為形連接時 （2-15）由式（2-14）可知，當(dāng) 時，有，并有 （2-16）同樣，由式（2-15）可知，當(dāng)時，有，并有 （2-17）為了便于記憶式（2-14）和（2-15），可寫成如下形式： 1 3 5+ 2 10V 3 2- I 1 1 4(a)例2-3 如圖2-8所示電橋電路，求電流I。1 1 11.5 1.5 1.5+ 0 + + 10V 0.6 1 10V I 0 10V 0- - - 3 I 2 1.6 2 0.89 1 1 4 4 4 (b) (c) (d) 圖2-8 例2-3電路

11、及簡化電路解：可運(yùn)用Y變換使原電路化為簡單電路后求解電流I。有好幾種變換方式可供采用。例如，可把5、2、3三個電阻形成的形化為等效的Y形；也可把5、2、1（指2、4間）三個電阻形成的Y形電路化為等效形電路；還可以把2、1、1三個電阻形成的形電路化為等效的Y形電路，但這一變換方式將使待求電流的支路消失。下面采用第一種方式對圖2-8(a)的電路進(jìn)行簡化，其過程如圖2-8(b)、(c)、(d)所示。根據(jù)式（2-14）求出從圖2-8(d)可以求得 再由圖2-8(c)可以求得 2.2 電阻電路功率及負(fù)載獲得最大功率的條件一個實(shí)際的電源，它產(chǎn)生得功率通常由兩部分組成，即電源內(nèi)阻所消耗的功率和輸出到負(fù)載上的

12、功率。在電子技術(shù)中總希望負(fù)載上得到的功率越大越好，那么，怎樣才能使負(fù)載從電源獲得最大的功率呢？設(shè)電路如圖2-9所示，電源的開路電壓為Us，內(nèi)阻為Rs，負(fù)載電阻為R，則 I Rs+ RUs-圖2-9 負(fù)載可變的串聯(lián)電阻 負(fù)載功率為 若將負(fù)載R看作為自變量來確定功率P得最大值，則利用數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)時求得的R，即為P取得最大值得負(fù)載電阻。 即 (R+Rs)2-2R(R+Rs)=0亦即 R=Rs滿足R=Rs時，稱為最大功率“匹配”(match)，此時負(fù)載所得的最大功率為 （2-18）2.3 電路中各點(diǎn)電位的計(jì)算在電路的分析計(jì)算中，特別是在電子電路中，除經(jīng)常使用“電壓”這個物理量之外，還常用到另一個物

13、理量“電位”。電壓和電位有什么區(qū)別呢？在1.2.2中已經(jīng)提到，電壓可用“電位差”表示。以圖2-10(a)所示電路為例，可以列出下列各式Uab=R1I1Uad=Us1Uac=R1I1-R2I2Ubd=R3I3 I1 R1 b R2 I2 a I1 R1 b R2 I2 ca c +Us1 +Us2 I3 I3 Us1 R3 Us2 R3 d d (a) (b)圖2-10 電位的計(jì)算圖Ucd=-Us2那么，“電位”又是什么呢？在電路中任選一個“參考點(diǎn)”，電路中某一點(diǎn)到參考點(diǎn)的電壓降就叫做這一點(diǎn)的電位。電位也用U表示，a點(diǎn)的電位記為Ua。在圖2-10中，若選d點(diǎn)為參考點(diǎn)，則Ua=Uad=Us1Ub=

14、Ubd=R3I3Uc=Ucd= -Us2Ud=Udd=0因此，電位雖是指一點(diǎn)而言，但實(shí)際上還是兩點(diǎn)之間的電壓，只不過這第二點(diǎn)是規(guī)定了的參考點(diǎn)。所以能夠計(jì)算電路中任何兩點(diǎn)的電壓，也就可以計(jì)算電位。參考點(diǎn)又叫“零電位點(diǎn)”。零電位一經(jīng)選定，其它各點(diǎn)均有一定的電位。參考點(diǎn)可以任意選定，但一經(jīng)選定，其它各點(diǎn)的電位就以該點(diǎn)為準(zhǔn)計(jì)算的。如果更換參考點(diǎn)，則各點(diǎn)的電位也會隨之改變。在工程上常常選大地作為參考點(diǎn)，即認(rèn)為地電位為零。在電子電路中則常選一條特定的公共線作為參考點(diǎn)，這條公共線常是很多元件匯集處且與機(jī)殼相聯(lián)接，這條線也叫“地線”。因此，在電子電路中，參考點(diǎn)用機(jī)殼符號“”表示。在電路圖中，不指定參考點(diǎn)而談?wù)?/p>

15、電位是沒有意義的。為什么在電路分析中還要引用電位呢？確實(shí)，很多問題不必用電位去分析，但在電子電路中卻常常遇到用電位而不用電壓來進(jìn)行分析、計(jì)算的情況。這是因?yàn)橛秒娢环治觯袝r可以使問題簡化，以圖2-10所示電路為例。它共有a、b、c、d四個不同的節(jié)點(diǎn)，任何兩點(diǎn)之間都有一定的電壓，計(jì)有Uab、Uac、Uad、Ubc、Ubd、Ucd等6個不同的電壓。若用電位來討論，只要指定任一點(diǎn)作為零電位點(diǎn)，討論其余三點(diǎn)的電位就可以了。這樣，就使要討論的對象數(shù)目大為減少，而且，當(dāng)各點(diǎn)的電位已知后，任意兩點(diǎn)的電壓都是可以算出。 R1 +Us a R1 R2 a Uo Us b R2 b (a) R1 a +Us1 R

16、2R1 R2 R3 R +Us2 R3 a -Us3 UoUs1 Us2 Us3 b R b (b)圖2-11 電子電路的習(xí)慣畫法根據(jù)上述情況，并考慮到電子電路中一般都把電源、信號輸入和信號輸出的公共端接在一起作為參考點(diǎn)，因此，電子電路有一種習(xí)慣畫法，即：電源不再用電源符號表示，而改為標(biāo)出其電位的極性及數(shù)值。圖2-11列舉兩個例子，把一般電路的畫法和電子電路中的習(xí)慣畫法并列，以資比較和熟悉。例2-4 求圖2-12電路中，當(dāng)K閉合時，Ua、Ub各為多少？開關(guān)兩端的電壓、電阻兩端的電壓各為多少？K打開時，上列各項(xiàng)又為多少？解：K閉合時，電路內(nèi)由a向b有電流流過，其值為 12V 2k Kb a圖2-

17、12 例2-4電路圖 a點(diǎn)經(jīng)閉合的開關(guān)K接地，故 Ua=0 或經(jīng)電源路徑計(jì)算，得 Ub=-12V開關(guān)兩端電壓為零。電阻兩端電壓則為 或 Uab=Ua-Ub=0-(-12)=12V當(dāng)開關(guān)打開時，電路內(nèi)沒有電流，電阻上沒有壓降，在計(jì)算Ua時，只能經(jīng)由2k及12V電壓源路徑計(jì)算，得 同樣得 Ub=-12V開關(guān)兩端電壓，即a點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的電壓，亦即a點(diǎn)的電位，由于電阻中無電流流過，因此，電阻兩端的壓降為零，故a點(diǎn)的電位與b點(diǎn)電位相同均為-12V。2.4 應(yīng)用基爾霍夫定律計(jì)算線性網(wǎng)絡(luò)對于電阻電路的分析問題，運(yùn)用基爾霍夫定律和歐姆定律總能得到解決，下面用一個具體的例子來說明這一點(diǎn)。電路圖如圖2-13所示

18、，已知各電壓源電壓及電阻，求各支路電流。設(shè)各支路的電流的參考方向如圖2-13所示，先運(yùn)用KCL，可以得到如下四個方程（電流流入節(jié)點(diǎn)為負(fù)，流出節(jié)點(diǎn)為正），即節(jié)點(diǎn)a -I1-I2+I5=0 (2-19a)節(jié)點(diǎn)b I1-I3-I4=0 (2-19b)節(jié)點(diǎn)c I2+I3-I6=0 (2-19c)節(jié)點(diǎn)d I4-I5+I6=0 (2-19d） I1 R1 a R2 I2 + I5 +Us1 Us2 - R5 - Us4 - + R4 d R6 b c I4 I6 R3 I3 + Us3 - 圖2-13 用基爾霍夫定律分析電路例子這四個方程中只有三個獨(dú)立方程，因?yàn)槠渲腥魏我粋€方程總可以由其它三個方程相加得出

19、。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在四個方程中每個支路電流都出現(xiàn)兩次，一次為正值，一次為負(fù)值。按基爾霍夫電流定律列出獨(dú)立方程的節(jié)點(diǎn)，稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。由以上分析可知，在n個節(jié)點(diǎn)中，任意的(n-1)個節(jié)點(diǎn)是獨(dú)立的，余下一個節(jié)點(diǎn)是非獨(dú)立的。以上六個電流變量，但是只有三個獨(dú)立的方程，所以還需提供另外三個方程。如何得到其余的三個方程呢？根據(jù)KVL可以得到如下三個方程：R1I1+R5I5+R4I4+Us4-Us1=0 (2-20a)R2I2+R5I5+R6I6-Us2=0 (2-20b)R3I3-R4I4+R6I6-Us3-Us4=0 (2-20c)這三個方程中哪一個也不能從另兩個相加減而得出，因而它們是獨(dú)立的。若另取一

20、個回路，譬如回路badcb，則可以得出如下方程R1I1+R5I5+R6I6+R3I3-Us3-Us1=0而該式可以由（2-20a）和（2-20c）相加得到。如果再取別的回路，所得的方程也不是獨(dú)立的。為什么（2-20a）、（2-20b）和（2-20c）恰好是獨(dú)立的呢？仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，這三個方程中依次都至少有一項(xiàng)為以前方程中所沒有的。所以要使方程獨(dú)立，在選取回路時，每次所取回路至少含有一條為其他回路所沒有包含的支路即可。由KCL和KVL得到六個獨(dú)立的方程就可以求出支路電流I1、I2、I3、I4、I5、I6。在一般情況下，KVL能夠提供的獨(dú)立方程個數(shù)總能等于支路數(shù)b與獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)數(shù)(n-1)的差值。

21、按KVL能列出的獨(dú)立方程的那些回路稱為獨(dú)立回路，以l表示其數(shù)目，則 l=b-(n-1) (2-21)因此，在分析電阻電路時，以支路電路為求解對象，運(yùn)用基爾霍夫兩個定律總能列出足夠的獨(dú)立方程。解方程組就可以得到各支路電流。2.5 網(wǎng)孔分析法用基爾霍夫定律分析電路時，在支路較多情況下，聯(lián)立方程中的方程個數(shù)就較多（它是以支路電流為求解量），求解很麻煩，如何能減少聯(lián)立方程中方程的數(shù)目呢？在圖2-13中總共有六個支路，因此需要六個獨(dú)立的方程來求解。如果設(shè)想在電路的每個網(wǎng)孔里，有一個假想的網(wǎng)孔電流沿著網(wǎng)孔的邊界流動，如圖2-14(a)中的虛線所示，并以網(wǎng)孔電流作為求解對象，則方程組的數(shù)目就會大大減少，而且

22、支路電流也可以通過網(wǎng)孔電流求得。首先參看圖2-14(b)可知，電路中各支路的電流都可以用網(wǎng)孔電流來表示，所以一旦求出網(wǎng)孔電流，所有支路的電流隨之而定，由此可知，作為求解量的網(wǎng)孔電流是完備的（complete）。所謂“完備”就是指可以利用網(wǎng)孔電流求出電路中的所有的電流和電壓。 I1 R1 a R2 I2+ I1+I2 +Us1 Us2 - R5 - Us4 R4 R6 b - + d c I1-I3 I2+I4 R3 I3 Us3 + - (b) 由網(wǎng)孔電流確定各支路電流 R1 a R2 + +Us1 I1 I2 Us2 - R5 - Us4 R4 R6 - + d b c I3 R3 Us3

23、+ - (a) 網(wǎng)孔電流圖2-14 網(wǎng)孔分析法圖另外，還可以看到，各網(wǎng)孔電流不能運(yùn)用基爾霍夫電流定律。因?yàn)槊恳粋€網(wǎng)孔電流沿著閉合的網(wǎng)孔流動，當(dāng)它流經(jīng)某一節(jié)點(diǎn)時，從該節(jié)點(diǎn)流入，必又從該節(jié)點(diǎn)流出。也就是說，就電流定律而言，各網(wǎng)孔電流是相互獨(dú)立無關(guān)的。網(wǎng)孔電流可以作為網(wǎng)絡(luò)的一組獨(dú)立電流變量，它們的數(shù)目等于網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)孔數(shù)，也即獨(dú)立的回路數(shù)。為了求解網(wǎng)孔電流，可以為每個網(wǎng)孔列出以網(wǎng)孔電流為求解量的基爾霍夫電壓定律方程組。這些方程必然是夠數(shù)的和獨(dú)立的，能夠唯一地求出解答。由圖2-14(a)，根據(jù)KVL可得如下方程 R1I1+R5I1+R5I2+R4I1-R4I3-Us1+Us4=0 (2-22a) R2I2

24、+R5I2+R5I1+R6I2+R6I3-Us2=0 (2-22b)R3I3+R4I3-R4I1+R6I3+R6I2-Us4-Us3=0 (2-22c)經(jīng)過整理可得(R1+R4+R5)I1+R5I2-R4I3=Us1-Us4 (2-23a)R5I1+(R2+R5+R6)I2+R5I3=Us2 (2-23b)-R4I1+R6I2+(R3+R4+R6)I3=Us3+Us4 (2-23c)研究(2-23)各式，從中可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律性的東西。下面以第一個網(wǎng)孔的方程式(2-23a)為對象進(jìn)行研究。（R1+R4+R5）I1是網(wǎng)孔電流I1流經(jīng)網(wǎng)孔中的各電阻R1、R4、R5時所引起的電壓降。R1、R4與R5的

25、總和就是第一個網(wǎng)孔內(nèi)所有電阻的總和，可以用符號R11這個符號來概括，并稱R11為第一網(wǎng)孔的自電阻(self resistance)。這樣，方程式的第一項(xiàng)可寫為R11I1。由于繞行方向與網(wǎng)孔電流方向一致，因此，電壓降R11I1的方向總是與繞行方向一致。亦即：沿繞行方向電壓降R11I1總是正值。R5是第一網(wǎng)孔和第二網(wǎng)孔的公共電阻，I2流過R5產(chǎn)生的電壓降R5I2，R5是第一網(wǎng)孔和第二網(wǎng)孔的公共電阻，用符號R12來表示，并稱R12為第一、第二網(wǎng)孔的互電阻(mutual resistance)。方程式的第二項(xiàng)就可以寫為R12I2。由于電流I2與網(wǎng)孔電流I1方向相同，因此，R12I2為正值，習(xí)慣上稱R1

26、2是正的。同理，R4在第一網(wǎng)孔中引起的電壓降用R13I3來表示，由于網(wǎng)孔電流I1與電流I3方向相反，但習(xí)慣上仍將R13I3前冠以正號，而認(rèn)為互電阻R13= -R4，也即互電阻為負(fù)的。因此，自電阻總是正的，而互電阻既可為正也可為負(fù)，這取決于流過互電阻的兩個網(wǎng)孔電流是否一致。經(jīng)過如此概括以后，(2-23a)式的左端就可以改寫為：R11I1+R12I2+R13I3，這是第一網(wǎng)孔的全部電阻壓降，該式的右端則為該網(wǎng)孔中全部的電壓源所引起的電壓升。順著繞行方向，Us1是電壓升、Us4是電壓降，故全部的電壓源的電壓升為Us1-Us4，用Us11這個符號來概括，因此，式(2-23a)就可以概括為普遍的形式：

27、R11I1+R12I2+R13I3=Us11 （2-24a）同理可將（2-23b）和（2-23c）式概括為 R21I1+R22I2+R23I3=Us22 （2-24b） R31I1+R32I2+R33I3=Us33 （2-24c）式(2-24)是以網(wǎng)孔電流為求解量、根據(jù)電壓定律列出的方程組普遍形式。這種形式的方程可以推廣到多個網(wǎng)孔的場合。例如，在電路有四個網(wǎng)孔時，方程組的普遍形式為： (2-25)例2-5 電橋電路如圖2-15(a)所示。已知Us=12V、Rs=1、R1=4、R2=2、R3=3、R4=5及RM=2，試求流過RM的電流I。R2 R1 Us I1 I2 Rs R3 R4 I3 RM

28、 I (b) R2 R1 I2Us I RM I1Rs I3 R3 R4 (a)圖2-15 例2-5電路解：本題只求一條支路內(nèi)的電流，如在原電路圖2-15(a)中，為每一網(wǎng)孔設(shè)一網(wǎng)孔電流，則I=I3-I2。這就是說，列出網(wǎng)孔方程后，應(yīng)解出I3及I2，才能算出I。如果將原電路改畫為2-15(b)，并沒有改變電路的連接方式，但是，在這個電路圖中，若為每一網(wǎng)孔設(shè)一網(wǎng)孔電流，則所求的支路電流I恰好就是網(wǎng)孔電流I3。這樣，列出網(wǎng)孔方程后，只要解出I3這個網(wǎng)孔電流就行了。根據(jù)圖2-15(b)可得方程把數(shù)據(jù)代入，得解得I3 25 99,000I1 100k - +U I1 I2 10k- 100 (b) I

29、C=0.99I1 I1 25 100K 100 10K Ri (a)圖2-16 例2-6電路 所以 I=I3=75mA例2-6 具有受控電流源的電路如圖2-16(a)所示，試求輸入電阻Ri。解：所謂輸入電阻(input resistance)就是從電路的某兩端看進(jìn)去的電阻，又叫做該兩端的輸入電阻。把受控電流源變換為等效受控電壓源如圖2-16(b)所示。設(shè)在其輸入端接入電壓源U，求出輸入端的電流I1，則求出I1可用網(wǎng)孔分析法。設(shè)網(wǎng)孔電流如圖2-16(b)所示，并把受控源暫看作獨(dú)立是獨(dú)立電源，得 125I1-100I2=U -100I1+110,100I2=99,000I1受控源的電壓與I1有關(guān)，

30、故可與方程式左端的I1項(xiàng)合并。得125I1-100I2=U -99,100I1+110,100I2=0解I1，得 故得 2.6 節(jié)點(diǎn)分析法I5 G5 I1 G1 2 G3 I31 3 I2 I4 + +Is U2 G2 G4 U3- -4圖2-17 節(jié)點(diǎn)分析法用圖若求解支路電壓，那么對于一個具有b個支路的網(wǎng)絡(luò)而言，就需要b個方程?，F(xiàn)在要做的是如何減少聯(lián)立方程中方程的數(shù)目。引入“節(jié)點(diǎn)電位”的概念可以達(dá)到這一目的。什么是“節(jié)點(diǎn)電位”呢？在一個電路中任選一個節(jié)點(diǎn)作為參考節(jié)點(diǎn)，其余的每個節(jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間的電壓就叫做該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電位。顯然一個具有n個節(jié)點(diǎn)的電路就有(n-1)個節(jié)點(diǎn)電位。對于圖2-17所

31、示的電路來說，共有4個節(jié)點(diǎn)，若選節(jié)點(diǎn)4作為參考節(jié)點(diǎn)，其余三個節(jié)點(diǎn)分別對參考節(jié)點(diǎn)的電位是U1、U2及U3，即為節(jié)點(diǎn)電位。在求解電路時，以節(jié)點(diǎn)電位為求解量，則聯(lián)立方程中方程的數(shù)目可以減少，而各支路的電壓仍能求得。其原因是：電路中所有的支路電壓都可以用節(jié)點(diǎn)電位來表示。這是因?yàn)殡娐分械闹坊蚴墙釉诠?jié)點(diǎn)與參考節(jié)點(diǎn)之間，或是接在節(jié)點(diǎn)之間。對前一種情況而言，其支路電壓值即為節(jié)點(diǎn)電位值；對后一種情況而言，其支路電壓必然會和兩個有關(guān)的節(jié)點(diǎn)電位構(gòu)成一個閉合回路，而這一支路電壓可以根據(jù)基爾霍夫電壓定律表示為這兩個節(jié)點(diǎn)電位的代數(shù)和。如圖2-17電路中，前一種支路電壓可寫為：U14=U1；U24=U2；U34=U3。后

32、一種支路電壓可寫為U12=U1-U2；U23=U2-U3；U13=U1-U3。所以一旦求出節(jié)點(diǎn)電位，所有支路的支路電壓就隨之而定。由于節(jié)點(diǎn)電位彼此獨(dú)立無關(guān)，因此，節(jié)點(diǎn)電位可以作為一組獨(dú)立電壓變量，它們的數(shù)目等于網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)。為了求解節(jié)點(diǎn)電位，可以為每個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列出以節(jié)點(diǎn)電位為求解量的基爾霍夫電流定律方程組。方程組中的各方程式的數(shù)目是足夠且是獨(dú)立的，能夠唯一地求出解答。如何列出以節(jié)點(diǎn)電位為求解量的方程組呢？在線性電路的條件下，各支路電流可以通過歐姆定律和支路電壓相聯(lián)系的，而支路電壓又總可以用節(jié)點(diǎn)電位來表示。因此，把電流定律和歐姆定律相結(jié)合就可以得到用節(jié)點(diǎn)電位來表示的電流定律方程節(jié)點(diǎn)方程。以下

33、列出圖2-17所示電路以節(jié)點(diǎn)電位為求解量的方程組，即節(jié)點(diǎn)方程。各節(jié)點(diǎn)的電位U1、U2、U3通常都假定比參考節(jié)點(diǎn)電位為高，各支路電流的參考方向假定如圖所示。在節(jié)點(diǎn)1、2、3可運(yùn)用電流定律 (2-26)為了使方程中包含求解量U1、U2、U3，可運(yùn)用歐姆定律找出各電導(dǎo)上電壓與電流的關(guān)系，得 (2-27)將式（2-27）代入式（2-26）中整理后得(G1+G5)U1-G1U2-G5U3=Is （2-28a）-G1U1+(G1+G2+G3)U2-G3U3=0 (2-28b)-G5U1-G3U2+(G3+G4+G5)U3=0 (2-28c)這就是以三個節(jié)點(diǎn)電位為變量的三個方程。它們是來源于式(2-26)，

34、由于式(2-26)是獨(dú)立的，因此這三個方程也是獨(dú)立的。解這三個方程就可以求出節(jié)點(diǎn)電位U1、U2、U3。從節(jié)點(diǎn)電位可以得出所有的支路電壓。為了使今后在選定節(jié)點(diǎn)電位之后，能夠直接列出(2-28)方程組，對式(2-28)進(jìn)行分析，找出規(guī)律性的東西?，F(xiàn)在重點(diǎn)分析式(2-28a)。該式第一項(xiàng)系數(shù)(G1+G5)是直接匯集于節(jié)點(diǎn)1的所有電導(dǎo)的總和，用G11來概括；第二項(xiàng)和第三項(xiàng)前的系數(shù)分別是節(jié)點(diǎn)1、2之間和節(jié)點(diǎn)1、3之間的電導(dǎo)，它們都是負(fù)值，分別用G12和G13來表示，即G12=-G1，G13=-G5。因此，該式的左端就可以寫為G11U1+G12U2+G13U3，其中G11稱為節(jié)點(diǎn)1的自電導(dǎo)，G12和G13

35、則分別稱為節(jié)點(diǎn)1、2間和節(jié)點(diǎn)1、3間的互電導(dǎo)。自電導(dǎo)總為正值，而互電導(dǎo)總為負(fù)值，這是由于節(jié)點(diǎn)電位一律假定為正的緣故。等式左端代表從節(jié)點(diǎn)1通過各電導(dǎo)流出的全部電流，其右端是電流源輸送給該節(jié)點(diǎn)的全部電流，即流入節(jié)點(diǎn)的電流源為正，流出節(jié)點(diǎn)的電流源為負(fù)，可將Is用Is11來概括。因此，式(2-28a)可以概括成如下普遍形式 G11U1+G12U2+G13U3=Is11 （2-29a）同理可將(2-28b)和(2-28c)概括為如下形式 G21U1+G22U2+G23U3=Is22 （2-29b） G31U1+G32U2+G33U3=Is33 （2-29c）其中G22、G33分別為直接匯集于節(jié)點(diǎn)2、3所

36、有電導(dǎo)的總和，稱之為節(jié)點(diǎn)2、3的自電導(dǎo)。G21、 G23、 G31、 G32分別為其下標(biāo)數(shù)字所示節(jié)點(diǎn)間所接電導(dǎo)的總和，稱為互電導(dǎo)。Is22、Is33則分別為電流源送給節(jié)點(diǎn)2、3電流的代數(shù)和。(2-29)式是三個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)電路、以節(jié)點(diǎn)電位為求解量、電流定律方程組的普遍形式。它便于記憶，并且很容易推廣到多個節(jié)點(diǎn)的場合，例如，對于有四個獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電路，有 (2-30)一般來說，如果網(wǎng)絡(luò)的獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)少于網(wǎng)孔數(shù)，本法和網(wǎng)孔法相比，方程數(shù)就少一些，較易求解。但也應(yīng)考慮到其它一些因素，譬如網(wǎng)絡(luò)中的電源種類。如果已知的電源是電流源，則節(jié)點(diǎn)分析法較方便，方程可直接由觀察直接寫出。如果電源為電壓源，則網(wǎng)孔分析法較為

37、方便。此外還應(yīng)注意，網(wǎng)孔分析法只適合平面網(wǎng)絡(luò)，而節(jié)點(diǎn)分析法無此限制。0.1S 1 1S 2 0.5S 3 0.25S 4 + + + +1A 0.1S U1 1S U2 0.5A U3 0.25S U4 0.5S - - - - 圖2-18 例2-7電路圖例2-7 列出圖2-18電路的節(jié)點(diǎn)方程式。解：該電路共有5個節(jié)點(diǎn)，選其中的一個作為參考節(jié)點(diǎn)，標(biāo)以接地的符號。設(shè)其余四個節(jié)點(diǎn)的電位分別為U1、U2、U3、U4，極性如圖所示。直接匯集于節(jié)點(diǎn)1的電導(dǎo)總和為G11=0.1+1+0.1=1.2S；G12=-1S；G13=0；G14=-0.1S。注意，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)1、3間無直接的公有電導(dǎo)，故G13=0。又電流源電流是流入節(jié)點(diǎn)1的，故Is11=1A。對節(jié)點(diǎn)1可得 1.2U1-U2-0.1U1=1同理，對節(jié)點(diǎn)2、3、4可得 -U1+2.5U2-0.5U3=-0.5 -0.5U2+1.25U3-0.25U4=0.5 -0.1U1-0.25U3+0.6U4=014A 5 20 10 1A (b)I1 1 I2 5 I3 10 + +20V 20 10V - - (a)圖2-19 例2-8電路例2-8 試用節(jié)點(diǎn)分析法求圖2-19(a)電路的各支路電流。本例說明：（1）有電壓源時如何運(yùn)用節(jié)點(diǎn)分析法；（2）用節(jié)點(diǎn)分析法求解支路電流的整個步驟。如果電壓源有電阻串聯(lián)，如本題電路所