線性代數(shù)單元輔導(dǎo)

1、.d1180cedd9096bfb268402aaca58af4a.pdf 第 9 頁 共 9 頁芁蕿螁螞羈莁蚇螁肅薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁蠆螇節(jié)蒆薅螆羂艿蒁裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃艿蒃薂袃肈芆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿膃螅羆膂荿蟻羅芄節(jié)薇羄羄蕆蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅蒂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆蚄腿莃蒂蚃芁蕿螁螞羈莁蚇螁肅薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁蠆螇節(jié)蒆薅螆羂艿蒁裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃艿蒃薂袃肈芆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿膃螅羆膂荿蟻羅芄節(jié)薇羄羄蕆蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅蒂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆

2、蚄腿莃蒂蚃芁蕿螁螞羈莁蚇螁肅薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁蠆螇節(jié)蒆薅螆羂艿蒁裊肄蒄螀襖膆芇蚆袃艿蒃薂袃肈芆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃蕿蠆衿肅莂薅羈膇薈蒁羇芀莀蝿羇罿膃螅羆膂荿蟻羅芄節(jié)薇羄羄蕆蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肁芀羋薄肁羀蒄蒀肀肂芆袈聿芅蒂螄肈莇蒞蝕肇肇薀薆蚄腿莃蒂蚃芁蕿螁螞羈莁蚇螁肅薇薃螀膆莀葿蝿莈膂袇蝿肈蒈螃螈膀芁蠆螇節(jié)蒆薅螆羂艿蒁 線性代數(shù)單元輔導(dǎo)1I、基本要求1. 熟練掌握n階行列式的定義2. 熟練掌握行列式的性質(zhì)及計(jì)算方法3. 熟練求解線性方程組的克萊姆法則II、內(nèi)容提要一、主要概念，重要性質(zhì)1. n階行列式n階行列式定義為（為行列式記號） 其中為第i行第j列第元素，為的代數(shù)余子式一階

3、行列式定義為：二階、三階行列式可用“對角線法則”記憶，但是四階四階以上的行列式不使用對角線法則：注：對角線法則記憶順序 2. 余子式、代數(shù)余子式的定義行列式中，刪去所在的第i行第j列所得到的n1階行列式，稱為的余子式，記為，而稱為的代數(shù)余子式3. 特殊行列式（三角行列式，對角行列式，奇數(shù)階的反對稱行列式、范德蒙行列式）的計(jì)算上三角行列式下三角行列式（包括對角形行列式）等于對角元之積奇數(shù)階的反對稱行列式值為0n階范德蒙行列式等于個(gè)因子的連乘積：4. 行列式的性質(zhì)（1） 行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等行列式表示行列式的轉(zhuǎn)置行列式，并且因此，行列式對于列成立的性質(zhì)對于行也成立； 行列式對于行成立的性質(zhì)對于

4、列也成立。（2） 行列式兩行（列）對換，其值不變 （3） 若行列式的某一行的元素有公因子，則可把公因子提出 推論：如果行列式中有某行（或某列）元素全為0，則行列式值為0（4） 若行列式中某行元素均為兩項(xiàng)之和，則可拆開即 注意其他元素均保持不變（5） 若把行列式的某行乘上一常數(shù)加到另一行上，則行列式的值不變 推論：如果行列式有兩行（或兩列）元素相同，則行列式值為0（6） 行列式可按任一行展開（7） 行列式中任意一行的元素與另一行相應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零即設(shè)n階行列式為D，則有 或者 5. 行列式計(jì)算的方法：（1） 利用行列式公式或利用展的性質(zhì)簡化行列式，使許多元素成為0，而且要盡量使0出

5、現(xiàn)在同一行（列）中，從而展開逐次降階，直至2階（或3階）行列式而算出（2） 利用行列式的性質(zhì)，將其化為上三角或下三角行列式，則其值即為對角線上元素之積（3） 如果行列式為特殊的行列式，則可直接得出結(jié)果例：奇數(shù)階的反對稱行列式值為0范德蒙行列式可由公式直接得出結(jié)果對角行列式、三角行列式的值為對角線上元素之積等等6. 克萊姆法則計(jì)算n元一次方程組的解（1）如果線性方程組的系數(shù)行列式，則這個(gè)方程組有唯一解，并可以表示為 其中，是把中的第j列換成常數(shù)項(xiàng)，其余各列均不變得行列式 （2）如果齊次線性方程組 的系數(shù)行列式，則這個(gè)方程組只有零解。二、例題解析1. 為什么是錯(cuò)誤的？解：四階或四階以上的行列式，“

6、對角線法則”不再成立，正確的解法是，按第一行展開 2. （1），對嗎？ （2），對嗎？解：都不對（1） 原化簡過程是第2行乘以2，再減去第1行，應(yīng)該注意，當(dāng)?shù)?行乘以2時(shí)，行列式變成原行列式的2倍，所以錯(cuò)。應(yīng)該修改成 （2） 原化簡過程師第1，2行對調(diào)，再用新的第2行減去新的第一行的2倍。當(dāng)?shù)?，2行對調(diào)時(shí)，行列式改變了符號，所以錯(cuò)。按照行列式的性質(zhì)，應(yīng)該有 3. 中元素的余子式， ，代數(shù)余子式 解：，4. （ ）A BC D解：A中利用展開的性質(zhì)可得B中行列式是把原行列式中第2行乘以（1），再把第1行加到第2行，因此他等于原行列式的相反數(shù) C 犯了“連環(huán)減”的錯(cuò)誤：C中行列式恒等于零。因?yàn)槿?/p>

7、果把它的第2，3行都加到第1行，則第一行元素全變成0 D 中的行列式等于原行列式的2倍，因?yàn)榘言辛惺降?行乘以2以后，再減去第1行得到的5. 已知104，143，377均能被13整除，試不算出行列式的值，用行列式的性質(zhì)證明 能被13整除證明：（巧用行列式的性質(zhì)）將第一行乘以100，第二行乘以10，加到第三行得到最右端行列式元素皆整數(shù)，由行列式定義，知道其值為整數(shù)，故原行列式能被13整除6. 設(shè)，（1）求（2）利用（1）的結(jié)果求解：（1） （2）利用行列式的展開定理進(jìn)行計(jì)算 第二行元素乘以第四行元素的代數(shù)余子式相加，得 于是，7.計(jì)算行列式 解：法一（化三角行列式法）原式19法二（逐次降階法）

8、原式8.計(jì)算行列式解：按第1列展開可以得到一個(gè)遞推式，依次進(jìn)行計(jì)算 9. 證明證明：（拆行（列）發(fā)計(jì)算行列式） 對于左端利用行列式的性質(zhì)，將第1列拆開得到兩個(gè)行列式 左端 將第一個(gè)行列式中用第3列減去第1列，在第2個(gè)行列式中用第2列減去第1列 左端 右端 得證。10（利用范德蒙行列式的結(jié)論計(jì)算行列式）計(jì)算解：依次將第1行換到第行得 依次類推再作交換可得標(biāo)準(zhǔn)的范德蒙行列式如下 11.（克萊姆法則的應(yīng)用）方程組有唯一解時(shí)的值為 解：根據(jù)克萊姆法則可知，方程組有唯一解的充分必要條件是計(jì)算得 因?yàn)榭傻?肀荿蝿肅聿蒁薂羈膈薃螇袆膇芃薀螂膆蒅螆?bào)⒛g薈蚈肇膅芇襖羃膄荿蚇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄芁芄蒈羀芀莆蚃袆艿薈蒆袂艿羋螂螈羋莀薄肆芇蒃螀羂芆薅薃袈蒞芅螈螄莄莇薁肅莃葿螆罿莃螞蕿羅莂莁裊袁羈蒄蚈螇羇薆袃肅羇芅蚆羈羆莈袁袇肅蒀蚄螃肄薂蕆肂肅節(jié)螞肈肂蒄薅羄肁薇螁袀肁芆薄螆肀荿蝿肅聿蒁薂羈膈薃螇袆膇芃薀螂膆蒅螆?bào)⒛g薈蚈肇膅芇襖羃膄荿蚇衿膃蒂袂螅膂薄蚅肄芁芄蒈羀芀莆蚃袆艿薈蒆袂艿羋螂螈羋莀薄肆芇蒃螀羂芆薅薃袈蒞芅螈螄莄莇薁肅莃葿螆罿莃螞蕿羅莂莁裊袁羈蒄蚈螇羇薆袃肅羇芅蚆羈羆莈袁袇肅蒀蚄螃肄薂蕆肂肅節(jié)螞肈肂蒄薅羄肁薇螁袀肁芆薄螆肀荿蝿肅聿蒁薂羈膈薃螇袆膇芃薀螂膆蒅螆?bào)⒛g薈蚈肇膅芇