高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解題思維提升專題立體幾何大題部分

1、最新高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和真題匯總專題12立體幾何大題部分【訓(xùn)練目標(biāo)】1、掌握三視圖與直觀圖之間的互換，會(huì)求常見(jiàn)幾何體的體積和表面積；2、掌握空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，以及位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理；并能依此判斷命題的真假；3、掌握空間角即異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角的求法；4、掌握等體積法求點(diǎn)面距；5、掌握幾何體體積的幾種求法；6、掌握利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題。7、掌握常見(jiàn)幾何體的外接球問(wèn)題?！緶剀靶√崾尽苛Ⅲw幾何素來(lái)都是高考的一個(gè)中點(diǎn)，小題，大題都有，一般在17分到22分之間，對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，立體幾何就是送分題，因?yàn)橹灰辛己玫目臻g感，熟記那些判定定理和性質(zhì)定理，然后熟練空間角和

2、距離的求法，特別是掌握了空間向量的方法，更覺(jué)得拿分輕松。【名校試題薈萃】ABC-AyBiCiAA=AC=瓜1、已知直三棱柱中，AC1.CB,D為啟B中點(diǎn)，CB=1.求證：ECi平面ACD；求三棱錐a一4畫(huà)的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）4【解析-1（1）證明：連結(jié)4cl交AiC于。點(diǎn)，連結(jié)DO,則。和D分別為ACi和A方的中點(diǎn)，所以DO/EC1,而DO匚平面AiDC,BCiC平面AiDC,所以BCM/平面.(2)因?yàn)锽C1平面AlDC,所以點(diǎn)Ci和S到平面41DC的距離相等，從而有二一$、1PM"-i4二一XS1臚42=-其一用CBC，44JJL&ILA-,1Hil1JLa

3、mli，h33262=-xlx>/3xlxA/3=-624AB J-BC. AD B C. AB = BC最新高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和真題匯總PAD2、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形,是正三角形，E是PD的中點(diǎn).i9/l,(1)求證：AD_LPC;(2)判定CE是否平行于平面PAB,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)平行【解析】取必的中點(diǎn)為“，連接PM.CM,由于AP3是正三角形，所以,山？又易知四邊形麗乂是平行四邊形,所以:心JAB_AD,所以_AD，PC二平面PCA/iP3Z=平面PCM,又MCc尸材=%乙故點(diǎn)？一平面尸CW,又尸Cu平面尸QV*故(2)CE平行于平面P

4、AB,理由如下：取PA的中點(diǎn)為F,連接EF,BF.EFfAD.EF上如2可知一,BC,?所以四邊形BCEF為平行四邊形，故CE/BF.又BF仁平面PAB,CE紅平面PAB,所以CE/平面PAB.3、在四棱錐PABCD中，PD_L平面ABCD,且底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的菱形，NBAD=60°,PD=2.AB(1)證明：面PAC，面PDB；(2)在圖中作出點(diǎn)D在平面PBC內(nèi)的正投影M(說(shuō)明作法及其理由)，并求四面體PBDM的體積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)述21【解析】41二面血D(1)因?yàn)镻D，平面ABCD,，所以PD_LAC,PDIBD二Dk，面啊在菱形ABCD中，AC_LBD,且，

5、所以，Cu面以CRif。面PD3又因?yàn)?，所以?2)取BC的中點(diǎn)E,連接DE,PE,易得4BDC是等邊三角形，所以BC_LDE,又因?yàn)镻D _L平面ABCD，所以PD _LBC ,又PDTDE 用BC一面破在面PDE中，過(guò) D作DM _LPE于M ,即 M是點(diǎn)D在平面PBC內(nèi)的正投影,則 DM _L BC ,又DM lPBC,所以DE =展,在 RtAPDE 中,經(jīng)計(jì)算得4、如圖，ABEDFC為多面體，平面 ABED與平面ACFD垂直，點(diǎn)O在線段AD上,0一1”一- . AOAB , OAC , ODE , ODF 都是正三角形。(1)證明：直線BC /面OEF ;(2)在線段DF上是否存在一

6、點(diǎn) M ,使得二面角M-0E-D的余弦值是£ ,若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由,13若存在請(qǐng)求出M點(diǎn)所在的位置?！敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)M為DF中點(diǎn)【解析】(1)依題意，在平面以DFC中,ZCdO=ZFOD=60°,/.AC7OF,又QF匚平面0EF-4C平面。EF，同理，在平面區(qū)BED中，二S3。=lEOD=600,，4R"QE二平面0£F；-ABCAC=ATOEnOF=O.AB)EF,AC面印,。上匚面O£F,OFu面OEF,由0可得，平面48cM平面OEF、又ECu面MFC,所以直線EC"面OEF.(本題可先證明BC/EF后得證；也可建立

7、空間直角坐標(biāo)系得證，請(qǐng)，酌情給分。)(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為G,以G為原點(diǎn)，GE、GD、GF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。易知，-0(0,-1,0),E(V3,0,0),F(0,07'3),D(0,1,0).設(shè)DMfDF,九10,1.可得MiOJYJJ，),設(shè)打=(xy：幻為平面MOE的法向量,(2+岳Y=0-廣任+廣0-可取一Y信"-2),又面OED的法向量可取用=(0Q1),KTW尸'37TJ-所以-cos8=1cos<m.n>|=所以(2"1)Q+D=o,XAep,1,/.X嗎D為BC的中點(diǎn).,存在滿足條件的點(diǎn)川，.廿為DF

8、中點(diǎn).5、如圖，在三棱錐PABC中，PA_L底面ABC,AB=2,AC=4(1)求證：AD_LPB;(2)若二面角APBC的大小為45°,求三棱錐PABC的體積.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4(1)在4ABC中，由余弦定理得EC=4-16-一上,則bc=2".BD=CD=J1因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，則弋mrimimr2inutw：i皿、WimiuuAD=(AB+ACJAD=|AS*AC|=AB*AClABAC因?yàn)?，則44=-14-16+2x2x4|=3+J0*=4+3=7=BD*,所以AD=J3.因?yàn)?，則AB_LAD.(5分)因?yàn)镻A_L底面ABC,則PA1AD,所以AD，平面

9、PAB,從而AD_LPB.(2)分別以直線AB,AD,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)PA=a,則點(diǎn)B(2,0,0),D(0,73,0),P(0,0,a).弱=(0)器式00所以,.設(shè)平面衣的法向量為入伍,5則二矍：取戈=<51則j=2,小獨(dú)，所以隊(duì)因?yàn)?t=(<U01為平面以8的法向量,貝|J|cos<me)|=8545,=拳，即所以解得/ =12 j所以以“ =2底所以=1x2x4xanl20cx2j3=4.6、如圖，在四棱錐PABCD4底面ABCD邊長(zhǎng)為2的菱形，/DAB=60°,/ADP=90°,平面ADPL平面ABCD點(diǎn)F為棱P

10、D的中點(diǎn).(1)在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使得AF/平面PCE并說(shuō)明理由;(2)當(dāng)二面角 D FC B的余弦值為,求直線PB與平面ABC所成的角.【答案】(1)點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn)(2) 60°(1)在棱AB上存在點(diǎn)E,使得AF/平面PCE，點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).理由如下：取PC的中點(diǎn)Q連結(jié)EQFQ1111由題意，F(xiàn)Q/DC且FQ=gCDAE/CD且AE=2CQ故AE/FQ且AE=FQ.所以，四邊形AEQF為平行四邊形.所以，AF/EQ又EQ跳面PECAF?平面PEC所以，AFT面PEC.(2)由題意知Aabd為正三角形，所以ed_Lab,亦即ed_Lcd,又/ADP=90*，所以PD1

11、AD,且平面他?_|_平面ABCD,平面ADPfl平面ABCD二AB,所以PD_L平面ABCD,故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè)FT=a,則由題意知Di。，Oj0),F(0,0C(0,2,。：匚E1,1,0),FC=(。，2,-a),CB=(帆1,0),設(shè)平面FBC的法向量為mr(x,y,z),UULUUULBLLaz= 0,廣令 x=1,則 y = 3-y = 0,2 3 z=mFC-QtmCB=00，0)，則由'得所以取f，、3,I；顯然可取平面DFC的法向量n=(1,由題意：乎=|cosmin>|=一,1,所以a=%3.412寸+3+孑由于PD!平面ABCD所以P

12、B在平面ABCM的射影為BR所以/PBD為直線PB與平面ABC所成的角,一,PD易知在RtPBD中，tanZPBD=a=J3,從而/PBD=60,BD所以直線PB與平面ABC所成的角為60°7、已知三棱柱ABOAB'C'的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC/BAO90°,點(diǎn)MN分別是AB和B'C'的中點(diǎn)。(1)證明：MN/平面AA'CC;(2)設(shè)AB=入AA',當(dāng)入為何值時(shí)，CNL平面AMN試證明你的結(jié)論.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)也r解析】(1)取4#的中點(diǎn)瓦連接與版因?yàn)辄c(diǎn)跖"分別是4£和£'廠

13、的中點(diǎn)，所以鹿"T不,題,又月'Cf?面口,C1fAAJ?面用'CfC,所以噩"平面AAfCfC,越”平面AAf所以平面蛇“平面Mf5因?yàn)榍捌矫婺锹樗缘腤平面AAfcfa(2)連接BN設(shè)AA=a,則AB=入a,由題意知BC=入a,NC=BN=7a。；C' ±平面 BB C' C,三棱柱ABC-ABC'的側(cè)棱垂直于底面，平面AB',AB=AC點(diǎn)N是B'C'的中點(diǎn)，AN，平面BBCC,CNLAN.=2,要使CNL平面AMN只需CNLBN即可，CN+bN=bC,2ja2+-2x2a2；=2X2a2?X.當(dāng)

14、入=2時(shí)，CNL平面A'MN8、如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，毯C=9002c二UDD=2PB-PCPD二戊,.(1)求證：平面PBC_L平面ABCD;(2)若PC=PB,求點(diǎn)D到平面PAB的距離.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)j22【解析】(1)證明：取BC中點(diǎn)M,連接DM,PMKD二加二1可知且MD_LBCQPR_PCBC=2又'，:在RtPBC有PM=1P一口口r-:.PD:=PI:+MD:g,又PPD=V2,即MD-LPM,QVD_BCP111BC=LFM匚又”“平面PBC,BC匚平面PBC,MD_L平面PBC,又MMD仁平面ABCD,平面PBCL平面A

15、BCD(2)設(shè)點(diǎn)D到平面PAB的距離為h,:PC=PBC_PB,PXf-BC又：平面尸BC_平面,13CQ,且平面PBCD平面ABCD=BCfPAf一面ABCD：.Vp皿=-IPSfISij5jn=ixxixlxl=-JJJ0在中有產(chǎn)合二=下,AB:=PA1.PB_HB，S.OiS，B，LU'ViKq所以點(diǎn)D到平面PAB的距離為9、如圖,在三棱柱超,'EG中，點(diǎn)P,G分別是AA1,B1c1的中點(diǎn)，已知AA_L平面AA=3C=34H=AC=2ABC,，一(1)求異面直線A1G與AB所成角的余弦值(2)求證：AG_L平面BCC1B1.(3)求直線PC1與平面BCC1B所成角的正弦值

16、.【答案】(1)W(2)見(jiàn)解析t解析】(1)二44二月，/G支空是導(dǎo)面直線4G與145所成的角.:4耳=4C=2,G為3c的中點(diǎn)、，二Afi，百J,在孜3G44甲，乙4G耳=觀1即異面直線AG與所成角的余炫值為十.在三棱柱”C-44G中,AA1_L平面ABC,AGU平面ABC,.AA_LAG,.BB1_LAG,又菲一沁郎翠:=，,.AG上平面BCCiBi.(3)解：取BC的中點(diǎn)H，連接AH,HG;取HG的中點(diǎn)O,連接OPQC1.,'POUAG,PO_L平面BCC1B1,/PCQ是PCi與平面BCCiBi所成的角.由已知得，sinZPCO2P0=XG=七2直線PCi與平面BCCiBi所成

17、角的正弦值為510、如圖，在底面是正三角形的三棱錐P-ABC中，PA=AB=2PB=PC=2j2(1)求證：PA1平面ABCD- AB- C的余弦值.(2)若點(diǎn)D在線段PC上，且直線BD與平面ABC所成角為求二面角6【答案】(1)見(jiàn)解析(2)H7【解析】證明：(D1在底面是正三角形的三棱錐P-ABC中，F(xiàn)A=PB由口=2料./.PAJ+AB：=PB:?PA;+ACr=PCS，pa_Lae,pa±ac?'ABnAOA,平面ABC.(2)以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B(V5,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),設(shè)D(0,b,c),PD=XPC

18、,0W入W1,則(0,b,c-2)=(0,2入，-2入),D(0,2入，2-2入)，BD=(-/j,2入-1,2-2入),直線BD與平面ABC所成角為,平面ABC的法向量n=(0,0,1),62-2%.sin匹=萼泡"+(21-1+(2-2%產(chǎn),6|BDHnI解得入?；蛉?2(舍)，2DD(0,1,1),AB=(V5，1，0),AD=(0,1,1),設(shè)平面ABD的法向量IT=(x,y,z),mABW5K+y=0-Vs,a),則口應(yīng)機(jī)二°，取x=1,平面ABC的法向量展=(0,0,1),設(shè)二面角D-AB-C的平面角為。，貝Ucos0=二面角D-AB-C的余弦值為逛L.711、

19、如圖，在斜三棱柱即CTJiG中4超=乙*£ab=ac,4'=雜=。，側(cè)面B1BCC1與底面ABC所成的二面角為120。，E,F分別是棱B1CVAA的中點(diǎn)(1)求AA與底面ABC所成的角；(2)證明AE平面B1FC;(3)求經(jīng)過(guò)A1A,B,C四點(diǎn)的球的體積.【答案】(1)60。(2)見(jiàn)解析(3)&反兀a327【解析】(I)過(guò)必作AlH_L平面ABC,垂足為H.連接皿，并延長(zhǎng)交BC于G,于是/瓜皿為&A與底面ABC所成的角.N4AB二/&AC為/BM的平分線.又二軸=AC,，AGj_BC,且G為BC的中點(diǎn).因此由三垂線定理a：a_Lbc.'.'AiA/E；B,且J.EG1BC.于是NE為二面角A-BC-E的平面角,即NAGE.由于四邊形A1AGE為平行四邊形，得/A1AG=60.(n)證明：設(shè)EG與BC的交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P為EG的中點(diǎn).連接PF.在平行四邊形AGEA中，因F為A1A的中點(diǎn)，故AE/FP.而FP?平面BFC,AE?平面B1FC,所以A1E/平面B1FC.(III)連接AC.在和&AB中？由于AC=AB,ZA；AB=ZAlACj貝ll生AC絲A；ABj故A；C=A：B.由已知得氐A(chǔ)=