誤差基本理論

1、第二章誤差基本理論第二章誤差基本理論 測量誤差的基本概念測量誤差的基本概念測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征u 2.3 2.3 測量誤差的估計(jì)和處理測量誤差的估計(jì)和處理 u 2.4 2.4 測量不確定度測量不確定度 u 2.5 2.5 測量數(shù)據(jù)處理測量數(shù)據(jù)處理一、一、 測量誤差的定義測量誤差的定義u 測量的目的測量的目的: : 獲得被測量的獲得被測量的真值真值（約定真值）。（約定真值）。u 真值真值: : 在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，被測量在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，被測量本身所具有的真實(shí)數(shù)值。本身所具有的真實(shí)數(shù)值。 A0u 所有測量結(jié)果都帶有誤差，因?yàn)檎嬷凳菧y不

2、出來所有測量結(jié)果都帶有誤差，因?yàn)檎嬷凳菧y不出來的。的。u 測量誤差測量誤差 : :測量結(jié)果與真值的差別測量結(jié)果與真值的差別二、二、 測量誤差的來源測量誤差的來源 三、測量誤差的表示方法三、測量誤差的表示方法0AxxxxAxx：示值示值 ，即，即 測量值測量值讀數(shù)：直接從儀表讀出的數(shù)。讀數(shù)：直接從儀表讀出的數(shù)。指針式：讀數(shù)示值數(shù)字式：讀數(shù)=示值xAxCCxA0100%xA 100%AxA 100%xxx x 很小時(shí)，可以用示值相對誤差代替實(shí)際相對誤差，絕對誤差大時(shí)不準(zhǔn)確。100%mmmxx 0 0mx|mx |mx A AxAmAmx A mmmxx:mmxx儀表某量程儀表某量程內(nèi)的最大絕對誤差

3、m %mxxSx|%mS因?yàn)楹笳叩恼`差范圍小，所以測量結(jié)果更好。%2 . 2%5 . 090400%1Sxxmx%7 . 1%5 . 190100%2Sxxmx20lg(1)20lg(1)dBxAA20lg()xxGA dB oxiVAV AAAx若測量的是功率增益，則分貝誤差為：若測量的是功率增益，則分貝誤差為：10lg(1)dBx2.2 2.2 測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征1211nniixxxxxnn u隨機(jī)誤差定量定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一隨機(jī)誤差定量定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差被測量進(jìn)行無

4、限多次測量所得結(jié)果的平均值之差 iixx()n0 xA二、二、 測量結(jié)果的表征測量結(jié)果的表征iiiixAxxxAx0 xAiixx()n 射擊誤差射擊誤差示意圖示意圖 2. 測量結(jié)果的表征測量結(jié)果的表征|xA 是粗大誤差是粗大誤差4x圖3-1 誤差在數(shù)軸上的分布 1iipixE(X) dxxxpXE)()( )(XD 為什么？為什么？一般情況下，認(rèn)為測量中隨機(jī)誤差的分布和隨機(jī)一般情況下，認(rèn)為測量中隨機(jī)誤差的分布和隨機(jī)誤差影響下的測量數(shù)據(jù)的分布服從正態(tài)分布。誤差影響下的測量數(shù)據(jù)的分布服從正態(tài)分布。)2exp(21)(22 p2)(exp21)(22 xxp0)2exp(21)()(22 ddpE

5、222222)2exp(21)()0()( ddpED2 隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差差相同，只是橫坐標(biāo)相差( (a a) )隨隨 機(jī)機(jī) 誤誤 差差( (b b) ) 測測 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)0 )( p x xp p( (x x) )0 0圖圖 3 3 1 1 隨隨 機(jī)機(jī) 誤誤 差差 和和 測測 量量 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù) 的的 正正 態(tài)態(tài) 分分 布布 曲曲 線線隨機(jī)誤差特點(diǎn)：隨機(jī)誤差特點(diǎn)：對稱性對稱性 單峰性單峰性 有界性有界性 抵償性抵償性 0)(p1 2 3 a bP(x)概率密度概率密度: :均值均值:

6、 : 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差: : 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 01)(abxpbxaxbxa ,2ba ba 32ab 3b ba 0 用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率。用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率。貝努力定理：事件發(fā)生的頻度依概率收斂于事件發(fā)生的概率。貝努力定理：事件發(fā)生的頻度依概率收斂于事件發(fā)生的概率。nnxpxXEimiimiii 11)(令令n n個(gè)相同的測試數(shù)據(jù)個(gè)相同的測試數(shù)據(jù)x xi i(i=1.2(i=1.2,n),n) 次數(shù)都計(jì)為次數(shù)都計(jì)為1 ,1 ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則時(shí)，則 niiniixnnxXE1111)(（1 1）有限次測量的）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值數(shù)學(xué)期望的估

7、計(jì)值算術(shù)平均值算術(shù)平均值估估計(jì)計(jì)()n ()n niixnx11有限次測量值的算術(shù)平均有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？值比測量值更接近真值？ *)()()(1)(1)1()(222122122122nniiniixxxnxnxnx )(1)(1222XnXnn nXx)()( n采用統(tǒng)計(jì)平均的方法可以有效地減弱隨機(jī)誤差。采用統(tǒng)計(jì)平均的方法可以有效地減弱隨機(jī)誤差。算術(shù)平均值算術(shù)平均值：殘差：殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值 ：xxii 2222111111( )()()

8、111innniiiiis xxxxnxnnnnxsxs)()( niixnx11()()()()()(xExxnsxxsnxxxxs【例【例3.13.1】 用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得1111個(gè)測個(gè)測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：解：平均值平均值 用公式用公式 計(jì)算各測量值殘差列于上表中計(jì)算各測量值殘差列于上表中實(shí)驗(yàn)偏差實(shí)驗(yàn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差)( 1 .530)531530532530529533531527529531528(11111Cxnxonii xxii )(7

9、67.111)(12Cnxsonii ()1.767()0.5()11os xs xCnx內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率 k kxEx )(置信概率是圖中置信概率是圖中陰影部分面積陰影部分面積u 當(dāng)分布和當(dāng)分布和 k 值確定之后，則置信概率可定值確定之后，則置信概率可定 u 正態(tài)分布正態(tài)分布,當(dāng)當(dāng) k =3時(shí)時(shí)kPc kkdpkPkxExP)()(997. 0)2exp(21)()3(223333 ddpP區(qū)間越寬，區(qū)間越寬，置信概率越大置信概率越大u t 分布與測量次數(shù)有關(guān)。分布與測量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)當(dāng)n20以后，以后，t 分布趨分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布于正態(tài)分布。正

10、態(tài)分布是是t分布的極限分布。分布的極限分布。u 當(dāng)當(dāng)n很小時(shí)，很小時(shí)，t分布的中分布的中心值比較小，分散度較心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 u 給定置信概率和測量次給定置信概率和測量次數(shù)數(shù)n，查表得置信因子，查表得置信因子kt 自由度：自由度：v=n-1t 分布圖t 分布圖ktkt（P=1)反正弦均勻三角分布236kka3a 3akka 3 k- -a aa aP P( (x x) )x x0 0關(guān)于置信區(qū)間的例題：關(guān)于置信區(qū)間的例題： c a 0 t 圖3 7 多 種 系 統(tǒng) 誤 差 的 特

11、征 其 中 ： a -不 變 系 差 b -線 性 變 化 系 差 c -周 期 性 系 差 d -復(fù) 雜 規(guī) 律 變 化 系 差 d b 在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。號保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。 多次測量求平均不能減少系差多次測量求平均不能減少系差。 ii0ii0 存在線性變化的系統(tǒng)誤差存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差 馬利科夫判據(jù)：馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D 值應(yīng)明顯異于零。值應(yīng)明顯異于零。當(dāng)當(dāng)n

12、為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)， 阿貝赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。阿貝赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。 12111( )niiins x / 21/ 21nniiiinD(1 ) / 21(1 ) / 2nniiiinDxs (b) 對稱橋式結(jié)構(gòu)(b) 對稱橋式結(jié)構(gòu)s sx激勵源激勵源y=0y=02r1r當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 12rxsr 12rr xs 0-v+vxs測量值 xs xsxsxsxxsxsx測量儀器的誤差測量儀器的誤差 對測量的影響被大大地削弱。對測量的影響被大大地削弱。/ 例例 對某信號源的輸出頻率進(jìn)行了對某信號源的輸出頻率進(jìn)行了1212次等精度測量（單位次

13、等精度測量（單位kHzkHz），結(jié)果如下。），結(jié)果如下。請分別用殘差觀察法、馬利科夫及阿貝請分別用殘差觀察法、馬利科夫及阿貝- -赫梅特判據(jù)判別是否存在變值系差。赫梅特判據(jù)判別是否存在變值系差。 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 110.105 110.090 110.090 110.070 110.060 110.055 110.050 110.040 110.030 110.035 110.030 110.020 ix110( 5%)0.05%99xsxsxxxxsxsxUUUVUUUUUUUUUUUUUU 解：n1234560.04880.03380.03380.

14、01380.0038-0.0062n789101112-0.0062-0.0162-0.0262-0.0212-0.0262-0.0362iviv 殘差觀察法殘差觀察法結(jié)論：結(jié)論：存在線性、存在線性、累進(jìn)性變值累進(jìn)性變值系差。系差。解：解： 馬利科夫判據(jù)馬利科夫判據(jù)612170.2650iiiiDvv結(jié)論：存在累進(jìn)性變值系差。結(jié)論：存在累進(jìn)性變值系差。 阿貝阿貝- -赫梅特判據(jù)赫梅特判據(jù)2221111110.000756;10.002510.00590.0025niiiiisnsnvv結(jié)論：存在周期性變值系差。結(jié)論：存在周期性變值系差。統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)統(tǒng)計(jì)學(xué)的

15、方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。并予以剔除。 萊特檢驗(yàn)法萊特檢驗(yàn)法 格拉布斯檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法 3()isxm ax()Gs x式中，式中，G G值按值按重復(fù)測量次數(shù)重復(fù)測量次數(shù)n n及及置信概率置信概率PcPc確定確定 3456789101195%1.151.461.671.821.942.032.112.182.2399%1.161.491.751.942.12.222.322.412.4812131415161718192095%2.292.332.372.412.

16、442.472.52.532.5699%2.552.612.662.72.742.782.822.852.88cpncpnm axm inm axm ax,xxxx隨機(jī)誤差符合正態(tài)分布，且測隨機(jī)誤差符合正態(tài)分布，且測量次數(shù)充分大（量次數(shù)充分大（1010次）次）解：解： 計(jì)算得計(jì)算得 s=0.033s=0.033計(jì)算計(jì)算殘差填入表殘差填入表3 37 7， 最大，最大， 是可疑數(shù)據(jù)。是可疑數(shù)據(jù)。 用萊特檢驗(yàn)法用萊特檢驗(yàn)法 3 3 s=3 s=30.033=0.0990.033=0.099 故可判斷故可判斷 是粗大誤差，應(yīng)予剔除。是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再 對 剔 除 后 的 數(shù) 據(jù) 計(jì) 算 得 ：再

17、 對 剔 除 后 的 數(shù) 據(jù) 計(jì) 算 得 ： s s = 0 . 0 1 6 = 0 . 0 1 6 3 3s s= 0.048= 0.048各測量值的殘差各測量值的殘差V V填入表填入表3 37 7，殘差均小于，殘差均小于3 s3 s故故1414個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)。404.20 x104. 08 8x8x411.20 x【例【例3.33.3】 對某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測量，所得對某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測量，所得結(jié)果列于表結(jié)果列于表3 37 7，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。序號序號測量值測量值 xi / 殘差殘差vi / 殘差殘差xi

18、/ （去掉粗大誤差后）（去掉粗大誤差后）120.42+0.016+0.009220.43+0.026+0.019320.40-0.004-0.011420.43+0.026+0.019520.42+0.016+0.009620.43-0.026+0.019720.39-0.014+0.029820.30-0.104-920.40-0.004-0.0111020.43+0.026+0.0191120.42+0.016+0.0091220.41+0.006-0.0011320.39-0.014-0.0211420.39-0.014-0.0211520.40-0.004-0.011表表3-7 3-7

19、 電爐溫度測量值電爐溫度測量值2iiW miimiiimiimiiiWxWxx1112121 11niixxniixx10nii211()1niisxn()()s xs xn( )Axk s x 65.2065x誤差傳播定律誤差傳播定律(1)PIUPIUPPPIUIUU II UPIUPIU 即222(2)222PRUUPRPPPRURUUURURRPRUPRU 即22(3)222PRIPI RPPPRIRIIRIR RPRIPRI 即說明：誤差的合成不是分項(xiàng)誤差的簡單相加，而與它們之間的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)； 對測量方法選擇測量方法選擇有指導(dǎo)作用。 12313123233121123lnln

20、lnlnlnyixxxiix xyyxxxxxxxyxxxxx1niiifyxx 測量不確定度不確定度擴(kuò)展不確定度B 類類標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)不不確確定定度度Bu標(biāo)準(zhǔn)不確定度A 類類標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)不不確確定定度度Au合合成成標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)不不確確定定度度CuU99U95U()3kU()2k相對不確定度測量誤差測量誤差測量不確定度測量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個(gè)定性的概念是一個(gè)定性的概念表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗(yàn)、資料等信息定量評定。試驗(yàn)、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認(rèn)識程度而改變誤差是不以人的認(rèn)識程度而改變與人們對被測量和影響量及測

21、量過與人們對被測量和影響量及測量過程的認(rèn)識有關(guān)。程的認(rèn)識有關(guān)。隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差性質(zhì)的誤差A(yù) A類或類或B B類不確定度是兩種不同的評類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之定方法，與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結(jié)果中應(yīng)修正確定的在最后測量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入修正值，但應(yīng)

22、考慮修正不完善引入的不確定度分量。的不確定度分量?！罢`差傳播定律誤差傳播定律”可用于間接測可用于間接測量時(shí)對誤差進(jìn)行定性分析。量時(shí)對誤差進(jìn)行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評定測量結(jié)果的合成不確定度評定測量結(jié)果的合成不確定度 niixnx111)()(12 nxxXSniinXSxSuA)()( 自由度意義：自由度意義：自由度數(shù)值越大，自由度數(shù)值越大，說明測量不確定說明測量不確定度越可信。度越可信。2. 2. 標(biāo)準(zhǔn)不確定度的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B B類評定方法類評定方法u B B類方法評定的主要信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、類方法評定的主要信息來源是以前測量的數(shù)據(jù)、

23、生產(chǎn)廠的技術(shù)證明書、儀器的鑒定證書或校準(zhǔn)證生產(chǎn)廠的技術(shù)證明書、儀器的鑒定證書或校準(zhǔn)證書等。書等。u 確定測量值的誤差區(qū)間（確定測量值的誤差區(qū)間（, -），并假設(shè)被測量），并假設(shè)被測量的值的的值的概率分布概率分布，由要求的，由要求的置信水平置信水平估計(jì)置信因估計(jì)置信因子子k，則，則 B 類標(biāo)準(zhǔn)不確定度類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 uB 為為 其中其中 a 區(qū)間的半寬度；區(qū)間的半寬度； k置信因子，通常在置信因子，通常在23之間。之間。 kuB 分布分布三角三角梯形梯形均勻均勻反正弦反正弦 k (p=1)概率概率P%5068.27909595.459999.73置信因置信因子子0.67611.6451.9602

24、2.5763u 表表3 39 9正態(tài)分布時(shí)概率與置信因子的關(guān)系正態(tài)分布時(shí)概率與置信因子的關(guān)系626/ 1+32u 表表3 31010幾種非正態(tài)分布的置信因子幾種非正態(tài)分布的置信因子k k 若沒有明確指出或不能分析得出分布情況，可假定為均勻分布若沒有明確指出或不能分析得出分布情況，可假定為均勻分布（假設(shè)為正態(tài)分布）（假設(shè)為正態(tài)分布）)(),(yxyxEYXCov niiixyyyxxnS1)(11)()(),(),(YXYXCovYXQ )()()1()()()()()()(),(111221ySxSnyyxxyyxxyyxxySxSSyxrniiininiiiniiixy 1/2212111(

25、 )()2(,) () ()NNNCiijijiij iiijfffuyuxr x x u x u xxxx NiiCuu122/1122)()( Niiicxuxfyuifx u uC C(y(y) )1()()NCiiifuyuxx 1 / 2221()()NCiiiuyA ux NiiiiCxxuPYyu12/)()(1212NpppNYXXX 22()()VPIuuuPIV 22222222()()PIVIVPPuuuV uI uIV算術(shù)平均值算術(shù)平均值Pk57.741951.65991.711001.73表表3 311 11 均勻分均勻分布時(shí)置信概率與置布時(shí)置信概率與置信因子信因子k

26、 k的關(guān)系的關(guān)系1 ni NiiiiCeffvxuCyuv1444)()(2)()(21 iixuxu2VPR電壓的電壓的B類類不確定度不確定度電阻的電阻的B類類不確定度不確定度電壓的電壓的A類類不確定度不確定度解：解：（1 1）數(shù)學(xué)模型）數(shù)學(xué)模型（2 2）計(jì)算測量結(jié)果的最佳估計(jì)值）計(jì)算測量結(jié)果的最佳估計(jì)值RVP2 VVnVVnii32. 255 . 22 . 24 . 23 . 22 . 2/1 WWRVP027. 099.199)32. 2()(22 （3 3）測量不確定度的分析）測量不確定度的分析本例的測量不確定度主要來源為本例的測量不確定度主要來源為電壓表不準(zhǔn)確；電壓表不準(zhǔn)確；電阻不準(zhǔn)

27、電阻不準(zhǔn)確；確；由于各種隨機(jī)因素影響所致電壓測量的重復(fù)性。由于各種隨機(jī)因素影響所致電壓測量的重復(fù)性。 VnVVnii32.21 VVxxSii13. 0418. 012. 008. 002. 012. 015)(22222512 VVnSxSVu058. 0513. 0)()(2 （4 4）標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的評定）標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的評定電壓測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度電壓測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度(a)(a)電壓表不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量電壓表不準(zhǔn)引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u u1 1（V V）按）按B B類評定。類評定。 a a1 1=2.32V=2.32V1%=0.023V 1%=0.023V (b)

28、 (b) 電壓測量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量電壓測量重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u u2 2（V V）。按）。按A A類評定。類評定。VkaVu013. 03023. 0)(111 222212( )( )( )0.0130.0580.059cu Vu Vu VVV3 .44058.010013.00594.0)()()(4442421414)( vVuvVuVuvCVeff 01. 0202. 0)(22kUkaRuRVP2 )()()(222221RucVucPuC /023.099.19932.2221VRVVPc2222222(2.32)0.00013/(199.99)PVcVRR WPuC0014. 0)01. 0()00013. 0()059. 0()023. 0()(2222 e