第4章 流體流動的守恒定律

1、Southwest University of Science and Technology教材：工程流體力學(xué)（第教材：工程流體力學(xué)（第2 2版）版）. .黃衛(wèi)星黃衛(wèi)星 化學(xué)工業(yè)出版社化學(xué)工業(yè)出版社.2008.12.2008.12學(xué)時(shí)：學(xué)時(shí)：40 40 學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)教師：楊教師：楊 軍軍Southwest University of Science and Technology第四章 流體流動的守恒原理4.1 概述概述 4.1.1 系統(tǒng)與控制體 4.1.2 輸運(yùn)公式4.2 質(zhì)量守恒方程質(zhì)量守恒方程（重點(diǎn)）（重點(diǎn)） 4.2.1 控制面上的質(zhì)量流量 4.2.2 控制體質(zhì)量守恒方程 4.2.3 多組分系

2、統(tǒng)的質(zhì)量守恒方程 4.3 動量守恒方程動量守恒方程 （重點(diǎn)，難點(diǎn)）（重點(diǎn)，難點(diǎn)） 4.3.1 控制體動量守恒方程 4.3.2 動量守恒方程簡化形式4.4 動量矩守恒方程動量矩守恒方程 （重點(diǎn)）（重點(diǎn)） 4.4.1 動量矩定律 4.4.2 控制體動量矩守恒方程4.5 能量守恒方程能量守恒方程 （重點(diǎn)）（重點(diǎn)） 4.5.1 運(yùn)動流體的能量 4.5.2 控制體能量守恒方程 4.5.3 化工流動系統(tǒng)的能量方程 4.5.4 伯努利方程及其應(yīng)用說明4.6 守恒方程的綜合應(yīng)用守恒方程的綜合應(yīng)用 4.6.1 小孔流動問題 4.6.2 管流中的液體汽化問題 4.6.3 駐點(diǎn)壓力與皮托管 4.6.4 管道局部阻力

3、損失分析Southwest University of Science and Technology4-1 概述4.1.1基本概念：系統(tǒng)與控制體基本概念：系統(tǒng)與控制體本章研究流體運(yùn)動的宏觀行為，其對象為流場內(nèi)占據(jù)一定幾何空間中的流場（控制體），其方法是流動過程必然遵循物質(zhì)運(yùn)動的基本原理（質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒等）。系統(tǒng)系統(tǒng)：確定不變的物質(zhì)集合，其特點(diǎn)是質(zhì)量不變但其邊界形狀可能在不停的改變?？刂企w控制體：根據(jù)需要所選取的具有一定位置和形狀的流場空間。Southwest University of Science and Technology4-1 概述簡單的講簡單的講：系統(tǒng)考察流體對象在流

4、動中的形態(tài)變化；控制體考察某體積內(nèi)的流入流出情況！4.1.1基本概念：系統(tǒng)與控制體基本概念：系統(tǒng)與控制體Southwest University of Science and Technology4-1 概述4.1.2 輸運(yùn)公式輸運(yùn)公式提示提示：流體作為特定形態(tài)的物質(zhì)，其運(yùn)動規(guī)律滿足牛頓力學(xué)體系，但牛頓力學(xué)體系的通常理解是針對“質(zhì)點(diǎn)”（或剛體）的，應(yīng)用于流體時(shí)，適用于流體“系統(tǒng)”，而非“控制體”，故需要將通常的數(shù)學(xué)描述轉(zhuǎn)換為適用于“控制體”，轉(zhuǎn)換過程使用的公式，即為輸運(yùn)公式?？刂企w內(nèi)所包含的流體系統(tǒng)的變化率=控制體內(nèi)的變化率+流入量-流出量-+-+-+()v()()dmdtdmdtdEdt系統(tǒng)

5、系統(tǒng)系統(tǒng)輸出控制體 輸入控制體 控制體內(nèi)的的質(zhì)量流量 的質(zhì)量流量質(zhì)量變化率輸出控制體 輸入控制體 控制體內(nèi)的的動量流量 的動量流量動量變化率輸出控制體 輸入控制體 控制體內(nèi)的的能量流量 的能量流量能量變化率輸運(yùn)公式將系統(tǒng)與控制體聯(lián)系起來，是拉格朗日觀點(diǎn)和歐拉觀點(diǎn)的橋梁。系統(tǒng)尺度量的變化包括兩個(gè)方面: (1)流體輸出輸入控制體引起的尺度量變化；(2)控制體內(nèi)尺度量隨時(shí)間的變化Southwest University of Science and Technology4-2 質(zhì)量守恒方程()mAqdAv n定義 為質(zhì)量通量質(zhì)量通量，表示單位面積上的質(zhì)量流量。()v n當(dāng)控制體表面法向與流速夾角小于

6、90時(shí)，必有流量流出控制體，反之，夾角大于90時(shí)，必有流量流入控制體。流入的質(zhì)量流量：流入的質(zhì)量流量：11()mAqdA v n流出的質(zhì)量流量：流出的質(zhì)量流量：22()mAqdAv n4.2.1 控制面上的質(zhì)量流量控制面上的質(zhì)量流量coscosnvvv n | v| |n|dA面上流體的法向速度：面上流體的法向速度：(),mnqv dAdAdv nSouthwest University of Science and Technology4-2 質(zhì)量守恒方程4.2.2 控制體質(zhì)量守恒方程控制體質(zhì)量守恒方程從控制體內(nèi)總流出從控制體內(nèi)總流出的質(zhì)量為2101221cs=A +A +A()()()mm

7、AAqqdAdAdA v nv nv n控制體內(nèi)控制體內(nèi)的質(zhì)量為 ，從而控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率質(zhì)量變化率為VmdVCVVdmddVdtdt系統(tǒng)的質(zhì)量守恒方程即為系統(tǒng)的質(zhì)量守恒方程即為210CVmmdmqqdt(),)0-+(dmdmdtdt系統(tǒng)輸出控制體 輸入控制體 控制體內(nèi)的的質(zhì)量流量 的質(zhì)量流量質(zhì)量變化率Southwest University of Science and Technology4-2 質(zhì)量守恒方程210CVmmdmqqdt或()0AVddAdVdtv n對于穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)， ，即有：0CVdmdt210mmqq或()0AdAv n對于穩(wěn)態(tài)不可壓縮系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)不可壓縮系統(tǒng) ，則

8、有：const1122v Av A4.2.2 控制體質(zhì)量守恒方程控制體質(zhì)量守恒方程管道截面流體平均速度管道截面流體平均速度11()mmnmmmAAqvdAv dAAAAv nSouthwest University of Science and Technologyu例題例題1如圖所示，不可壓流體在管內(nèi)做層流流動，已知進(jìn)口截面1速度均勻分布，截面2上的速度分布為22max1() rvvR試確定vmax與v1的關(guān)系解：取兩截面間的部分為控制體，對于不可壓縮流，質(zhì)量不隨時(shí)間變化，故有控制體的總流量為0，即系統(tǒng)質(zhì)量變化=流出質(zhì)量-流入質(zhì)量+控制體內(nèi)的質(zhì)量變化1212AAv dAv dA2222max

9、1maxmax1200(1)22RrvvRdvrdrRvvR Southwest University of Science and Technologyu例題例題2 如圖所示，初始時(shí)，槽內(nèi)有100kg水，現(xiàn)分別以150kg/h和30kg/h注入水和鹽，并視槽內(nèi)攪拌充分（密度均勻），溶液以120kg/h流出。試確定1h后出口溶液的濃度。解：去1-1,2-2截面內(nèi)為控制體，題目條件僅告訴了質(zhì)量流量，所以根據(jù)質(zhì)量守恒式：系統(tǒng)質(zhì)量變化=流出質(zhì)量-流入質(zhì)量+控制體內(nèi)的質(zhì)量變化1212()0()mmmmmmdqqqmdtmqqqtC初始條件，t=0時(shí)，m=100kg，得C=100kg設(shè)溶液濃度為x，則鹽

10、成分質(zhì)量守恒有2()0mmdq xqmxdtSouthwest University of Science and Technology設(shè)溶液濃度為x，則鹽成分質(zhì)量守恒有2()0mmdq xqmxdt12()mmmmqqqtC12121221212212()()21212()()0()() ()1 (1)mmmmmmmmmmmmmmmmmqqqqqmmmmmmdxqqxqqqqtCdtdtdxqqqtCqqqxqqqqxtqqC代入已知數(shù)據(jù)，得1h后出口溶液中鹽的質(zhì)量分率為：x=0.126Southwest University of Science and Technology4-3 動量守

11、恒方程4.3.1 控制體動量守恒方程控制體動量守恒方程根據(jù)牛頓力學(xué)可知：系統(tǒng)動量的變化率=系統(tǒng)所受的作用力，即：dmdtvF系統(tǒng)-+v()dmdt系統(tǒng)輸出控制體 輸入控制體 控制體內(nèi)的的動量流量 的動量流量動量變化率控制面上凈輸出的動量流量()mnqv dAdAdv n控制微元面dA上的質(zhì)量流量為：則，控制微元面dA上的動量流量為：()mqdAvdvv n定義 為動量通量通量，則從控制體內(nèi)流出的動量為：()v v n()CSdAv v n控制體內(nèi)控制體內(nèi)的動量為 ，從而控制體內(nèi)的動量變化率動量變化率為：VdVvVddVdtv則動量守恒方程為則動量守恒方程為()CSVddAdVdtFv v nv

12、Southwest University of Science and Technology4-3 動量守恒方程4.3.2 動量守恒方程的簡化形式動量守恒方程的簡化形式以平均速度表示的動量方程以平均速度表示的動量方程221122112211xxmxmxCVyymymyCVzzmzmzCVdv qv qvdVdtdv qv qvdVdtdv qv qvdVdtFFF穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)的動量方程穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)的動量方程221122112211xxmxmyymymzzmzmv qv qv qv qv qv qFFFSouthwest University of Science and Technologyu

13、例題例題3 如圖所示彎管，試確定穩(wěn)態(tài)流體對彎頭的作用力。解：1-1,2-2截面間流體為控制體；動量的變化率即為力（動量定理）；穩(wěn)態(tài)流動，控制體內(nèi)的動量無變化；所以2211mmqqFvv2211221122cossinmmmmmqqv qv qv qFvvF控制體所受的力有流體壓力、重力和管壁的作用力，即221122cos0sin0 xyFp Ap AFp AGF流體壓力重力管壁對流體的作用力聯(lián)立兩式，即可求解聯(lián)立兩式，即可求解Fx，F(xiàn)y221121222cos(cos)sin(sin)xxmyymFFp Ap Avv qFFp AvqG Southwest University of Scie

14、nce and Technologyu例題例題4 小車以v0速度前行取水，取水管截面積A，求小車內(nèi)的水在x方向?qū)π≤嚨淖饔昧。解：1-1,2-2為控制體，根據(jù)動量守恒有2212mmqqFvv112200 xmymVFv qddVFv qdtFv控制體內(nèi)，vx=0，所以在x方向有0 xVdv dVdt從而得2110 xmFv qvASouthwest University of Science and Technology4-4 動量矩守恒方程4.4.1 動量矩定律動量矩定律dmrdtvrF系統(tǒng)動量矩定義為質(zhì)點(diǎn)矢徑與質(zhì)點(diǎn)動量的叉乘，即 。mrv方程式左邊項(xiàng)：=rFrFM方程式右邊項(xiàng)：dd()d

15、d()d()d ()=mmmmdtdtdtdtmmdtdtvrvrrvrvrvrvM系統(tǒng)系統(tǒng)即動量矩定律動量矩定律 系統(tǒng)所受力矩之和等于系統(tǒng)動量矩隨時(shí)間的變化率系統(tǒng)所受力矩之和等于系統(tǒng)動量矩隨時(shí)間的變化率Southwest University of Science and Technology4-4 動量矩守恒方程4.4.2 控制體動量矩守恒方程控制體動量矩守恒方程根據(jù)動量守恒方程=()AVddAdVdtFv v nv即有() ()()AVddAdVdtMrvv nrv作用于控制作用于控制體的總力矩體的總力矩控制面凈輸出控制面凈輸出的動量矩流量的動量矩流量控制體內(nèi)瞬間動控制體內(nèi)瞬間動量矩的變

16、化率量矩的變化率動量矩守動量矩守恒方程恒方程=+ 二維穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)的動量矩方程二維穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)的動量矩方程在x-y平面內(nèi)穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)，動量矩就只有z方向一個(gè)分量形式22221 111(sin)(sin)zmmMr vqrvq進(jìn)出、口多個(gè)分速度條件下，則22221111(sin)(sin)ziimiimMrvqrvqSouthwest University of Science and Technologyu例題例題5 如圖所示噴水管，其旋轉(zhuǎn)速度為 ，噴嘴噴射的相對速度v，管徑截面和噴嘴截面分別為A1,A2，試確定噴管輸出的力矩。解：解：取其一半流體為控制體，入口半徑為零，動量矩為0；出口動量矩

17、流量即為輸出力矩222 sin(90)sin( 90 )2 ( cos)mmMr vrqr vrq式中222222cos/mqvArhRRhR帶入上式得2222()MvA vRhR22221111(sin)(sin)ziimiimMrvqrvqSouthwest University of Science and Technology4-5 能量守恒方程4.5.1運(yùn)動流體的能量運(yùn)動流體的能量 內(nèi)能內(nèi)能：流體物質(zhì)微觀運(yùn)動的能量，包括分子熱運(yùn)動的動能、分子間作用力形成的勢能和維持分子結(jié)構(gòu)的原子能、化學(xué)能及電磁能，并定義單位質(zhì)量流體的內(nèi)能為u。對于無相變的流體，其內(nèi)能的變化只于溫度的增量有關(guān)，即 動

18、能動能：流體宏觀運(yùn)動v所具有的做功能力，并定義單位質(zhì)量流體所具有的動能為 位能位能：流體在重力場中因相對位置高度所具有的做功能力，并定義單位質(zhì)量流體具有的位能為vucT cv表示比定容熱容2/2vgz運(yùn)動流體的能量由儲存能儲存能和遷移能遷移能組成。儲存能儲存能是指因流體運(yùn)動（包括微觀和宏觀運(yùn)動）而具有的能量（包括內(nèi)能、動能、位能）；Southwest University of Science and Technology4-5 能量守恒方程u運(yùn)動流體的能量運(yùn)動流體的能量22veugz運(yùn)動流體的能量由儲存能儲存能和遷移能遷移能組成。儲存能儲存能單位質(zhì)量流體所具有的儲存能為遷移能遷移能是指流體系

19、統(tǒng)與外界進(jìn)行熱、功交換所傳遞的能量（熱量、功量） 熱量熱量：即單位時(shí)間內(nèi)，流體系統(tǒng)與外界交換的熱流量Q，并約定，系統(tǒng)吸熱時(shí)Q0；系統(tǒng)放熱時(shí)，Q0時(shí)，有能量輸出控制體；當(dāng)(v.n)A2，故v10；z2-z1=-h，由于p2-p1=gh1時(shí)：Cc=0.62；Cv=0.98；Cd=0.61當(dāng)孔徑d/壁厚1時(shí)：Cc=1；Cv=Cd=0.86 (孔內(nèi)邊緣為直角) Cc=1；Cv=Cd=0.98 (孔內(nèi)邊緣為圓弧)若容器內(nèi)為自由液面，則液面下降，成為非穩(wěn)態(tài)問題，此時(shí)在t時(shí)刻22212121( )( )( )02v tv tppg zz t仍可近似為2222( )( )0( )2( )2( )2( )Vdv

20、 tgh tv tgh tqtCgh t ASouthwest University of Science and Technology4.6.1小孔流動問題小孔流動問題同時(shí)，流量qV又滿足1( )( )VqtdtA zdz 從而有21110222( )( )( )1( )2( )2( )dhhddCgh t AdtA hdhA hA zdtdhtdzC Agh tC Agz t Southwest University of Science and Technology小孔流動應(yīng)用例題小孔流動應(yīng)用例題如圖所示兩容器，通過相同大小和條件的小孔排水，比較兩者的排水時(shí)間。解：根據(jù)液面高度和時(shí)間的關(guān)

21、系1021( )2( )hhdA ztdzC Agz t 筒體和錐體的面積表達(dá)式分別為 ；從而有2222/4/(4)ADAD zH筒錐，當(dāng)h=0時(shí)，t筒=5t錐，但V筒=3V錐，易知，錐體比筒體的排水效果更好。222222()2 2()10 2ddDtHhgC ADhtHhHgC A筒錐Southwest University of Science and Technology小孔流動應(yīng)用例題小孔流動應(yīng)用例題HVt采用錐體排水，試討論錐體的錐角與排水時(shí)間的關(guān)系。解：體積一定，則高度為323tanVHh=0時(shí)的排放時(shí)間為2226632222331tantan10 210 210 2dddDDVD

22、VtHgC AgC AgC A2211() (tan ) 33VHrHHt()是單調(diào)減函數(shù)，故在允許的條件內(nèi)，錐角盡可能的取大值，可有效的縮短排水時(shí)間。Southwest University of Science and Technology4.6.2 管流中的液體汽化問題管流中的液體汽化問題虹吸管流動虹吸管流動如圖所示，在1-1,2-2截面間，根據(jù)伯努力方程可知22212121()02fvvppg zzgh仍然有 ，或22 ()fvg hh22vgh在1-1,a-a截面間應(yīng)用伯努力方程22111()02aaavvppg zz得到20101()2aavppghpg hh由該式可知，當(dāng)h1+h

23、達(dá)到一定值時(shí)，pa減小；當(dāng)pa小到一定值時(shí)，在a-a截面產(chǎn)生氣泡破壞流動的連續(xù)性，使流動將中斷，因此，抽水泵離液面的安裝高度不能超過某一界限值，即泵的理論安裝高度。Southwest University of Science and Technology1.駐點(diǎn)壓力駐點(diǎn)壓力4.6.3駐點(diǎn)壓力與皮托管駐點(diǎn)壓力與皮托管如圖所示，流體繞物流動時(shí)會存在動能全部轉(zhuǎn)變?yōu)閴毫δ艿狞c(diǎn)（駐點(diǎn)駐點(diǎn)）。在流線上應(yīng)用伯努力方程有22()02BABABAvvppg zz2022222AABAABBvppvppv駐點(diǎn)非駐點(diǎn)從而將駐點(diǎn)壓力表示為202BBBppv該式表明流場上壓力由靜壓力和動壓力兩部分組成，表述為：全壓頭全壓頭=靜壓頭靜壓頭+動壓頭動壓頭利用該原理進(jìn)行速度測定皮托管測速Southwest University of Science and Technology2.皮托管測速皮托管測速4.6.3駐點(diǎn)壓力與皮托管駐點(diǎn)壓力與皮托管皮托管為一直角彎管，前端為半球面，小孔處的壓力通過 h0 顯示出來，即00Bpgh同時(shí)，C點(diǎn)壓力可表示為1()Cpg hz由伯努利方程，B,C點(diǎn)壓力的關(guān)系為1BCppgzghBCppgz或202BBBppv根據(jù) 可知：102BBBv