檢測(cè)與估計(jì)理論-第二章

1、1 目錄目錄u概論概論u第一章第一章 信號(hào)的矢量與復(fù)數(shù)表示信號(hào)的矢量與復(fù)數(shù)表示u第二章第二章 噪聲和干擾噪聲和干擾u第三章第三章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)u第四章第四章 確知信號(hào)的檢測(cè)確知信號(hào)的檢測(cè)u第五章第五章 具有隨機(jī)參量信號(hào)的檢測(cè)具有隨機(jī)參量信號(hào)的檢測(cè)u第八章第八章 信號(hào)的參量估計(jì)信號(hào)的參量估計(jì)u第九章第九章 信號(hào)參量的最佳線性估計(jì)信號(hào)參量的最佳線性估計(jì)2 噪聲和干擾噪聲和干擾u噪聲：與有用信號(hào)無關(guān)的一些破壞性因素；噪聲：與有用信號(hào)無關(guān)的一些破壞性因素；如：通信中的各種工業(yè)噪聲、交流聲、脈沖噪聲、銀河系如：通信中的各種工業(yè)噪聲、交流聲、脈沖噪聲、銀河系噪聲、大氣噪聲、太陽系噪聲、熱噪聲等；噪聲、

2、大氣噪聲、太陽系噪聲、熱噪聲等；u干擾：與有用信號(hào)有關(guān)的一些破壞性因素；干擾：與有用信號(hào)有關(guān)的一些破壞性因素；符號(hào)間干擾符號(hào)間干擾ISI (Inter-symbol Interference)ISI (Inter-symbol Interference)多址干擾多址干擾MAI (Multiple Access Interference) MAI (Multiple Access Interference) 共信道干擾共信道干擾(Co-channel Interference)(Co-channel Interference)多小區(qū)干擾、鄰信道干擾多小區(qū)干擾、鄰信道干擾ACI (Adjacent

3、 Cell Interference or ACI (Adjacent Cell Interference or Adjacent Channel Interference)Adjacent Channel Interference)人為干擾等；人為干擾等； 3 信號(hào)信號(hào)u信號(hào)信號(hào)荷載信息的一個(gè)時(shí)間波形或其他函數(shù)；荷載信息的一個(gè)時(shí)間波形或其他函數(shù)；隨機(jī)信號(hào)：一些參數(shù)受所荷載信息支配；隨機(jī)信號(hào)：一些參數(shù)受所荷載信息支配；u噪聲和干擾噪聲和干擾用隨機(jī)過程的理論來描述噪聲和干擾；用隨機(jī)過程的理論來描述噪聲和干擾；隨機(jī)過程的復(fù)表示；隨機(jī)過程的復(fù)表示；4 噪聲和干擾噪聲和干擾u第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)噪聲隨機(jī)

4、噪聲u第二節(jié)第二節(jié) 高斯噪聲高斯噪聲u第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)高斯過程復(fù)高斯過程5 隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲u在電子信息系統(tǒng)中，描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性的數(shù)學(xué)模型在電子信息系統(tǒng)中，描述噪聲的統(tǒng)計(jì)特性的數(shù)學(xué)模型有很多種，其中十分重要、也是最常用的數(shù)學(xué)模型是有很多種，其中十分重要、也是最常用的數(shù)學(xué)模型是時(shí)域的高斯噪聲和頻域的白噪聲時(shí)域的高斯噪聲和頻域的白噪聲；6 白噪聲白噪聲u噪聲過程的頻域描述是其功率譜密度；噪聲過程的頻域描述是其功率譜密度；u隨機(jī)噪聲：隨機(jī)噪聲：u如按平穩(wěn)噪聲過程如按平穩(wěn)噪聲過程n(t)的功率譜密度分類，在理論和的功率譜密度分類，在理論和實(shí)際中具有重要意義的是經(jīng)過理想化的白噪聲；實(shí)際中具有重要意義的

5、是經(jīng)過理想化的白噪聲；u白噪聲：白噪聲：u白噪聲可以定義為均值為白噪聲可以定義為均值為0 0，自相關(guān)函數(shù)為，自相關(guān)函數(shù)為 函數(shù)的噪函數(shù)的噪聲隨機(jī)過程；聲隨機(jī)過程；)()(ft00( )( )2( )2NtNf 7 熱噪聲熱噪聲u熱噪聲的功率譜：熱噪聲的功率譜：其中：其中： 是噪聲器件的電導(dǎo)率，是噪聲器件的電導(dǎo)率，R R是其電阻；是其電阻； 是玻爾茲曼常數(shù)；是玻爾茲曼常數(shù)； 是絕對(duì)溫度；是絕對(duì)溫度； 是噪聲器件中電子的平均碰撞率；是噪聲器件中電子的平均碰撞率； u熱噪聲：熱噪聲：在在 ， 范圍內(nèi)功率范圍內(nèi)功率譜是平坦的；譜是平坦的；噪聲的單邊功率譜為：噪聲的單邊功率譜為： 2)2(12)(fKT

6、Gf1 RG161.38 10/K爾格 度1410KT013410( 10)HzGHz13410(10)HzGHzKTGN208 白噪聲的特性白噪聲的特性u(píng)白噪聲在頻域上的功率譜密度為均勻分布，在時(shí)域上白噪聲在頻域上的功率譜密度為均勻分布，在時(shí)域上的自相關(guān)函數(shù)是的自相關(guān)函數(shù)是 函數(shù)，因此函數(shù)，因此任意兩個(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變?nèi)我鈨蓚€(gè)時(shí)刻的隨機(jī)變量量n(ti)和和n(tj)是不相關(guān)的是不相關(guān)的；u如果一個(gè)噪聲過程時(shí)域的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是如果一個(gè)噪聲過程時(shí)域的隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是高斯分布，頻域的功率譜密度是均勻分布，則稱這樣高斯分布，頻域的功率譜密度是均勻分布，則稱這樣的噪聲過程是的噪聲過程是高

7、斯白噪聲過程高斯白噪聲過程；u高斯白噪聲過程的重要特性：高斯白噪聲過程的重要特性：任意兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)刻的隨機(jī)變量任意兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)刻的隨機(jī)變量n(tk)(k=1,2,)不僅不僅是是互互不相關(guān)不相關(guān)的，而且是相互的，而且是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；9 有色噪聲有色噪聲u有色噪聲：有色噪聲：如果噪聲過程的功率譜密度在頻域上的分布不是均勻分布，如果噪聲過程的功率譜密度在頻域上的分布不是均勻分布，則稱為有色噪聲。則稱為有色噪聲。在有色噪聲中通常采用具有高斯功率譜密度的模型，即在有色噪聲中通常采用具有高斯功率譜密度的模型，即2002()( )( )exp()2nfffff 1020N20)(2fHN

8、)( fH)(th線性濾波器線性濾波器 白族噪聲白族噪聲u當(dāng)濾波器是由電阻、電容、電感組成時(shí)，線性系統(tǒng)的當(dāng)濾波器是由電阻、電容、電感組成時(shí)，線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：傳輸函數(shù)為：11()( )Re0,Re0()MlllkNkkfjhH fhmNMfjm11 白族噪聲白族噪聲u噪聲的功率譜為：噪聲的功率譜為：u這樣產(chǎn)生的噪聲稱為白族噪聲。這樣產(chǎn)生的噪聲稱為白族噪聲。2201221()( )Re0,Re02()MllnlkNkkfhNfhmNMfm12 白化濾波器白化濾波器u若有色噪聲的功率譜密度是頻率的若有色噪聲的功率譜密度是頻率的有理函數(shù)有理函數(shù) ，就可以將它分，就可以將它分解成：解成：其中的零極

9、點(diǎn)全部位于實(shí)軸之上；其中的零極點(diǎn)全部位于實(shí)軸之上；物理可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)。物理可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)。u白化濾波器：白化濾波器：*0( )( )( )2NfH f Hf 0( )2Nf1( )Hf20( )( )2NfH f白白族族噪噪聲聲 白白噪噪聲聲 13 噪聲和干擾噪聲和干擾u第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲u第二節(jié)第二節(jié) 高斯噪聲高斯噪聲u第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)高斯過程復(fù)高斯過程14 中心極限定理中心極限定理 u在一般條件下，在一般條件下，NN個(gè)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量nk之和之和 在在NN時(shí)，其概率密度函數(shù)趨于高斯分布，時(shí)，其概率密度函數(shù)趨于高斯分布，而不管每個(gè)變量的具

10、體分布如何。而不管每個(gè)變量的具體分布如何。u實(shí)際上只要實(shí)際上只要NN足夠大，每個(gè)分量之間不一定完全統(tǒng)計(jì)足夠大，每個(gè)分量之間不一定完全統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，但不存在占支配地位的若干分量，則它們和的獨(dú)立，但不存在占支配地位的若干分量，則它們和的分布就可近似為高斯分布。分布就可近似為高斯分布。u在電子信息系統(tǒng)中，噪聲服從高斯分布在許多情況下在電子信息系統(tǒng)中，噪聲服從高斯分布在許多情況下是合理的。是合理的。1Nkinn15 高斯噪聲高斯噪聲u隨機(jī)噪聲一維概率分布必然是高斯分布：隨機(jī)噪聲一維概率分布必然是高斯分布： 是隨機(jī)過程是隨機(jī)過程 在某一時(shí)刻的樣值；在某一時(shí)刻的樣值； 是該樣值的均值是該樣值的均值, , ；

11、是該樣值的方差，是該樣值的方差， 。 xN(m, 2) 221/221( )(2)exp2p xxmx( )n tm( )mE x22Var( )x16 高斯分布高斯分布u正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布；型分布；u德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)近似公式，這一公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面；分布的首次露面；u正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布以推廣，所以通常稱為高斯分布德莫佛德莫佛17 高斯分布高斯分布up (x)所確定的曲線叫作所確定的曲線叫作正

12、態(tài)曲線：正態(tài)曲線：2( ,)XN m記作：記作： 22()21( ),2x mp xex 其中：其中： 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， 00，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. . 2mm2m18 高斯分布高斯分布u高斯分布的特性：高斯分布的特性：u正態(tài)分布正態(tài)分布 圖形特點(diǎn)圖形特點(diǎn)正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于m 對(duì)稱的鐘形曲線；對(duì)稱的鐘形曲線；特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)兩頭小，中間大，左右對(duì)稱稱”；(1)( )0(2)( )1p xp x dx2( ,)XN mm19 高斯分布高斯分布u正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖

13、形特點(diǎn)um決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形中峰的陡峭程度決定了圖形中峰的陡峭程度. .2( ,)XN mm1 m2 m320 高斯分布高斯分布u當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，p(x) 0,u這說明曲線這說明曲線 p(x)向左右伸展時(shí)，越來越貼近向左右伸展時(shí)，越來越貼近x軸。軸。 即即p (x)以以x軸為軸為漸近線漸近線。22()21( ),2x mp xex 21 高斯噪聲高斯噪聲uNN維矢量的高斯分布：維矢量的高斯分布： 令：令： 高斯矢量；高斯矢量； 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 則：則：12,.,TNx xxx =12,.,TNm mmm, Tk lN NE xmxm1/2/211(

14、)(2 )exp2NTpxxmxm 22 特征函數(shù)特征函數(shù)u概率密度函數(shù)是隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性的完整數(shù)學(xué)描述；概率密度函數(shù)是隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性的完整數(shù)學(xué)描述；u求相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率密度函數(shù)時(shí)，特征求相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率密度函數(shù)時(shí)，特征函數(shù)非常有用；函數(shù)非常有用；u可以利用特征函數(shù)求隨機(jī)變量的各階矩；可以利用特征函數(shù)求隨機(jī)變量的各階矩；23 特征函數(shù)特征函數(shù)uNN維隨機(jī)矢量的特征函數(shù)：維隨機(jī)矢量的特征函數(shù)： 其中：其中：u特征函數(shù)與概率密度函數(shù)之間是一對(duì)傅氏變換關(guān)系特征函數(shù)與概率密度函數(shù)之間是一對(duì)傅氏變換關(guān)系即：即： 1( )expTTNjjkkkhE eE eEjxxx12,.

15、TN ( )( )phx( )( )Tjhped xxx1( )( )2Tjphed xx24 特征函數(shù)的性質(zhì)特征函數(shù)的性質(zhì)u特征函數(shù)存在的必然性特征函數(shù)存在的必然性u(píng) 隨機(jī)變量線性變換的特征函數(shù)隨機(jī)變量線性變換的特征函數(shù) y=ax+b hy(w)=hx(aw)exp(jwb)( )( )( )( )1jwxjwxh wp x edxp x edxp x dx25 特征函數(shù)的主要性質(zhì)特征函數(shù)的主要性質(zhì)u相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)12112( )( )( ) .( )( )( )().()NNiiyxxxNyxh whwhwhwp yp xp xp x26

16、例例u求兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量和的分布求兩個(gè)相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量和的分布x1N(0,1)，x2N(0,1)求求 y=x1+x2u解：解：121112222212112222( )( )( )( )exp()()exp()11exp()exp()exp()exp()2222exp()1( )( )exp()21exp()42yxxyh whwhwp xjwx dxp xjwx dxxxjwx dxjwx dxwp yh wjwy dwy27 特征函數(shù)和矩之間的關(guān)系特征函數(shù)和矩之間的關(guān)系000()( )( )( )exp()( )( )exp()( )( )exp()( )( )( )( )

17、()( )exp()()mmwwmmmwwmE xx p x dxh wp xjwx dxdh wjxp xjwx dxdwdh wjxp xjwx dxdwdh wjxp x dxE xdwd h wjx p xjwx dxE xdw 28 特征函數(shù)和矩之間的關(guān)系特征函數(shù)和矩之間的關(guān)系u特征函數(shù)和矩之間關(guān)系：特征函數(shù)和矩之間關(guān)系：12121212121(,.,).TNNMkkkMjNNkkkNNiid h j E x xx edddkM x12121212120(,.,).NNMkkkMNNkkkNd h E x xxjddd29 高斯矢量的特征函數(shù)高斯矢量的特征函數(shù)1/2/21121/2/

18、211111(,.,)(2 )exp221(2 )exp()21()exp21exp21exp2NTTNNTTTTTNNNkkkkllkklh jdjjdjjjm xmxm xxxmxmx m m30 高斯過程的矩函數(shù)高斯過程的矩函數(shù)u當(dāng)當(dāng)m=0=0時(shí)；時(shí)；1221.0KE x xx K K為任意整數(shù)為任意整數(shù)1212E x x1234123413241423E x x x x 31 高斯隨機(jī)矢量高斯隨機(jī)矢量u高斯隨機(jī)矢量之和仍是高斯矢量，不管它們是否相互高斯隨機(jī)矢量之和仍是高斯矢量，不管它們是否相互獨(dú)立；獨(dú)立；u由于積分是求和的極限，因此對(duì)高斯矢量任何線性運(yùn)由于積分是求和的極限，因此對(duì)高斯矢

19、量任何線性運(yùn)算的積分，其概率密度仍是高斯型的。算的積分，其概率密度仍是高斯型的。u如果一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入是高斯隨機(jī)過程，其輸出也如果一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入是高斯隨機(jī)過程，其輸出也是高斯過程；是高斯過程；32 噪聲和干擾噪聲和干擾u第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)噪聲隨機(jī)噪聲u第二節(jié)第二節(jié) 高斯噪聲高斯噪聲u第三節(jié)第三節(jié) 復(fù)高斯過程復(fù)高斯過程33 復(fù)高斯過程復(fù)高斯過程u 若若 高斯過程；高斯過程； 則則 高斯過程。高斯過程。 稱稱 復(fù)高斯過程復(fù)高斯過程u令：令： 則則 是是MM維復(fù)高斯矢量；維復(fù)高斯矢量； ( )n t( )n t( )( )( )n tn tjn t( ),1, 2,.,mmzn tttmM12.TMz zzZ34 復(fù)高斯矢量復(fù)高斯矢量u定義：定義： 稱為復(fù)高斯矢量，如果滿足下面稱為復(fù)高斯矢量，如果滿足下面條件：條件： 和和 是實(shí)高斯隨機(jī)變量；是實(shí)高斯隨機(jī)變量； ,1,2,.,mmmzxjymMmxmymmmmE zxjy*,1 2mmnnm nX mnY mnEzzj,mmnnmmnnX mnExxxxEyyyy,()()()()mmnnmmnnY mnEyyxxExxyy 12.TMz zzZ35 復(fù)高斯矢量的概率密度函數(shù)復(fù)高斯矢量的概率密度函