建筑制圖第二章 正投影基礎(chǔ)2

1、A采用多面投影采用多面投影。 過空間點(diǎn)過空間點(diǎn)A作作H面的投射線面的投射線（垂線），與投影面（垂線），與投影面H的交點(diǎn)即的交點(diǎn)即為點(diǎn)為點(diǎn)A在在H面上的面上的投影投影。B B1 B2 點(diǎn)在一個(gè)投影面上點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。間位置。一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影22 22 點(diǎn)的投影點(diǎn)的投影解決辦法？解決辦法？HaHbHWV二、點(diǎn)的三面投影二、點(diǎn)的三面投影投影面投影面正面投影面（簡稱正正面投影面（簡稱正 面或面或V面）面）水平投影面（簡稱水水平投影面（簡稱水 平面或平面或H面）面）側(cè)面投影面（簡稱側(cè)側(cè)面投影面（簡稱側(cè) 面或面或W面）面）

2、投影軸投影軸oXZOX軸軸OZ軸軸OY軸軸Y三個(gè)投影面三個(gè)投影面互相垂直互相垂直V面與面與H面的交線面的交線H面與面與W面的交線面的交線V面與面與W面的交線面的交線WHVoX空間點(diǎn)空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影在三個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)點(diǎn)A的正面投影的正面投影a點(diǎn)點(diǎn)A的水平投影的水平投影a 點(diǎn)點(diǎn)A的側(cè)面投影的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。小寫字母表示。aaaAZY向下翻向下翻投影面展開投影面展開aHa WYHa VXZOWHVoXa aa AZY不動(dòng)不動(dòng)向右翻向右翻YwY點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的投影規(guī)律:Zaza XaywOaaxayHa YHYwX

3、YZOVHWAaa a xaazaywayH 點(diǎn)的水平投影與正面投影的連線垂直于OX軸 即 a aOX軸軸點(diǎn)的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸 即 a a OZ軸軸點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離，即 aax= a aza ax= a ayw=A到到H 面面的距離的距離aayH= a az=A到到W 面面的距離的距離=A到到V 面面的距離的距離a aax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通過作通過作45線線使使a az=aax解法二解法二:用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量取取a az=aaxa OXZY三

4、、兩點(diǎn)的相對位置三、兩點(diǎn)的相對位置ZXYHYWOaaabbb x 坐標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上判斷方法：判斷方法：B點(diǎn)在點(diǎn)在A點(diǎn)之后點(diǎn)之后之左、之下。之左、之下。 兩點(diǎn)的相對位置指兩兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的點(diǎn)在空間的上下、前后、上下、前后、左右左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。a a ab b bBA重影點(diǎn)：重影點(diǎn)： 空間兩點(diǎn)在某一投空間兩點(diǎn)在某一投影面上的影面上的投影重合為一投影重合為一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該該投影面投影面的重影點(diǎn)。的重影點(diǎn)。A、C為為H面的重影點(diǎn)面的重影點(diǎn)a a c c 被擋住的投被擋住的投影加影加( )(

5、)A、C為哪個(gè)投為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)影面的重影點(diǎn)呢？呢？a caabbccaabb cc例例2 2：已知各點(diǎn)的兩個(gè)投影，求其：已知各點(diǎn)的兩個(gè)投影，求其第三第三投影。投影。 b ba(c)aa a b b b 兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。直線的同名投影。 直線對一個(gè)投影面的投影特性直線對一個(gè)投影面的投影特性ABab直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長投影反映線段實(shí)長 ab=AB直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)投影重合為一點(diǎn)ab=0 積聚性積聚性AMBabmabABA32 直線的投

6、影直線的投影直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段投影比空間線段ab=ABa acos一、一、直線的投影直線的投影投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面二、各

7、種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性以正平線為例，討論其投影特性以正平線為例，討論其投影特性 :OXZYabababABaXabab baOZYHYW 同樣，對于水平線和側(cè)平線也可得到類似的特性同樣，對于水平線和側(cè)平線也可得到類似的特性。 直線的正面投影直線的正面投影ab反映直線反映直線 AB 的實(shí)長的實(shí)長,并且反映并且反映直線直線 AB 對對H、W面的傾角面的傾角、。 直線的水平投影直線的水平投影ab和側(cè)面投影和側(cè)面投影 ab 分別平行分別平行于于OX 軸和軸和OZ 軸。軸。a 投影特性：投影特性：1.正平線正平線只平行于正面投影面的直線只平行于正面投影面的直線b a aba b

8、b aa b ba 投影面平行線投影面平行線 在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，并在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，并 反映直線與另兩投影面傾角反映直線與另兩投影面傾角。 另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線投投 影影 特特 性：性：與與H H面的夾角面的夾角: : 與與V V面的角面的角: : 與與W W面的夾角面的夾角: : 實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長實(shí)長ba aa b b 表 2-1 投 影 面 平 行 線zzd 水 平 線投影特性abYHdc立體圖投影圖名 稱CbBzaxaobXHbAoxYWabodcY

9、aWXHDaVzb正 平 線cVceYHfYHecfYWcdfxeYdoWeHXffYWoaezfFoWY側(cè) 平 線VeEz1.ab=AB 2.ab/OX ab/OZ 3.ab反 映 AB的 傾 角a、1.cd=CD 2.cd/OX cd/OYW 3.cd反 映 CD的 傾 角、1.ef=EF2.ef/OYH ef/OZ3.ef反 映 EF的 傾 角a、OXZY2.投影面的垂直線：投影面的垂直線：水平投影水平投影abOX, 側(cè)面投影側(cè)面投影abOZ。投影特性投影特性:直線直線AB的正面投影的正面投影ab積聚成一點(diǎn)積聚成一點(diǎn);只垂直于一個(gè)投影面的直線只垂直于一個(gè)投影面的直線。以正垂線為例，討論其

10、投影特性以正垂線為例，討論其投影特性:同樣，對于鉛垂線、側(cè)垂線也可得到類似的特性。同樣，對于鉛垂線、側(cè)垂線也可得到類似的特性。AB（a）babbazX（a）b baOYHYWab 投影面投影面垂直線垂直線的的投影特性投影特性: :鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個(gè)投影另外兩個(gè)投影，反映線段實(shí)長，且垂直于相反映線段實(shí)長，且垂直于相 直線在其垂直投影面上的直線在其垂直投影面上的投影，積聚為一點(diǎn)。投影，積聚為一點(diǎn)。a (b )abb a c d c (d)c d e f efe (f )應(yīng)的投影軸。應(yīng)的投影軸。立體圖投影圖投影特性名 稱正 垂 線 鉛 垂 線側(cè) 垂 線XYWVzXDVYW

11、EfXYFoWVzABabzoCfeYWYHYHYWaxbYHYWz1.ab積 聚 成 一 點(diǎn) ;2.ab、 ab=AB1.cd 積 聚 成 一 點(diǎn) ；2.c d 、 c d = CD1.e f 積 聚 成 一 點(diǎn) ;2.ef 、 e f = EF. c(d)a(b)cddcc(d)bae(f)a(b)abefefe (f)cdcd表 2-2 投 影 面 垂 直 線zzxx且 ab OX,ab OZ且 cd OX,cd OYW且 ef OYH,efOZ Z Z b b a a c c X X 0 0 Y Yw w c c a a b b Y YH H A AB B 是是 線線， 反反映映 A

12、AB B 實(shí)實(shí)長長； A AC C 是是 線線。 反反映映 A AC C 實(shí)實(shí)長長 正正平平線線a ab b a ac cb ba ac c例例5 5： 已知直線已知直線ABAB、ACAC的兩投影，求兩直線的第的兩投影，求兩直線的第三投影三投影, ,并指出其空間位置和反映實(shí)長的投影。并指出其空間位置和反映實(shí)長的投影。 水平線水平線 OXZY三個(gè)三個(gè)投影投影都都小于實(shí)長小于實(shí)長，而且而且與三根投影軸都與三根投影軸都傾斜傾斜。 投影特性：投影特性：3. 一般位置直線一般位置直線 與三個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜都傾斜的直線。的直線。abbabaZXaaaOYHYWbbbb ba a 例例4 4：已知

13、立體上直線：已知立體上直線 ABAB、CD CD 的空間位置，的空間位置， 在投影圖中標(biāo)注其投影位置，并填空。在投影圖中標(biāo)注其投影位置，并填空。 a a b b c c d d a a b b c c （d d） (c(c ) ) (d(d ) ) 鉛垂鉛垂 一般位置一般位置一般位置直線一般位置直線 投影特性：投影特性： 三個(gè)投影三個(gè)投影都縮短了。即都縮短了。即: 都不反映空間都不反映空間線段的實(shí)長及線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面與三個(gè)投影面夾夾 角，且與角，且與三根投影軸都三根投影軸都傾斜。傾斜。HXVaWAaOaYBbbbbag三、三、直線與點(diǎn)的相對位置直線與點(diǎn)的相對位置 點(diǎn)與直線的相對位置可以

14、分為兩種，即點(diǎn)與直線的相對位置可以分為兩種，即點(diǎn)在點(diǎn)在直線上直線上和和點(diǎn)不在直線上點(diǎn)不在直線上。 （1）若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線）若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的同名投影上，并將線段的各個(gè)投影分割成定比。的同名投影上，并將線段的各個(gè)投影分割成定比。 如圖所示，C點(diǎn)在直線AB上，則C點(diǎn)的正面投影 c在直線 AB 的正面投影 ab上，C點(diǎn)的水平投影c在直線 AB 的水平投影ab上，同樣c在ab上,而且AC/CB= ac/cbBcaaHbcAACaCWVb= ac/cb=ac/cb，（2）若點(diǎn)的投影有一）若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)肯定不在該上，

15、則該點(diǎn)肯定不在該直線上。直線上。 反之，若點(diǎn)的各投反之，若點(diǎn)的各投影分別屬于直線的同名影分別屬于直線的同名投影，且分割線段的投投影，且分割線段的投影長度成定比，則該點(diǎn)影長度成定比，則該點(diǎn)肯定在該直線上?？隙ㄔ谠撝本€上。BcaaHbcAACaCWVbccaYHcXabOaWHbZbYw其投影為：其投影為：BcaaHbcAACaCWVb例例1：判斷點(diǎn)：判斷點(diǎn)K是否在線段是否在線段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點(diǎn)故點(diǎn)K不在不在 AB 上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法另一判斷法?四、兩直線的相對位置四、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：

16、空間兩直線的相對位置分為：平行平行、相交相交、交叉交叉。 兩直線平行兩直線平行投影特性：投影特性： 空間兩直線平空間兩直線平行，則其各行，則其各同名投同名投影影必相互平行，反必相互平行，反之亦然。之亦然。aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 例例2：判斷圖中兩條直線是否平行：判斷圖中兩條直線是否平行 對于一般位置直對于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就平行。兩直線就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：AB與與CD不平行。不平行。例例2：判斷圖中兩條直線是否平

17、行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 兩直線相交兩直線相交判別方法：判別方法： 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同名投影則其同名投影 必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)線的共有點(diǎn)d b a abcdc1 (2 )3(4 ) 兩直線交叉兩直線交叉投影特性投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交點(diǎn)交點(diǎn)”不符合空間不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。 “交點(diǎn)交點(diǎn)”是兩直線

18、上是兩直線上的一的一 對對重影點(diǎn)的投影重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線的空間位置。的空間位置。、是面的重影點(diǎn)，是面的重影點(diǎn)，、是是H面的重影點(diǎn)。面的重影點(diǎn)。為什么？為什么？123 4 兩直線相交嗎？兩直線相交嗎？ 兩直線垂直相交（或垂直交叉）兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：直角的投影特性： 若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角。上的投影仍為直角。設(shè)設(shè) 直角邊直角邊BC/H面面因因 BCAB, 同時(shí)同時(shí)BCBb所以所以 BCABba平面平面直線在直線在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 abc

19、為直角為直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.證明：證明： b aacbcbaacbcaabcbcabcabcdd b b c c b bc cPPVPHPVPHQVQHQHQVQQ為側(cè)垂面一般位置平面PH 平面平面P的水平面跡線的水平面跡線PV 平面平面P的正面跡線的正面跡線二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行平行垂直垂直傾斜傾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-實(shí)形性實(shí)形性 平面垂直投影面平面垂直投影面-積聚性積聚性 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-相似性相似性 平面對一個(gè)投影面的投影特性平面對一個(gè)投影面

20、的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑?鉛垂面鉛垂面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面2、 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面類似形類似形類似形類似形積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影特性：

21、投影特性： 在它垂直的投影面上的投影積聚成直在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。與另外兩投影面夾角的大小。 另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。為什么？為什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？ OXZYPHPPHOXZYQQV AcCabBbaababaccc投影特性投影特性 ：1) 1) a a b b c c 積聚為一條線積聚為一條線 2) 2) abcabc、 a a b b c c 為為 ABCABC的類似形的類似形 3) 3) a a b b c c 與與OX

22、OX、 OZOZ的夾角反映的夾角反映 、 角的角的 真實(shí)大小真實(shí)大小 OXZY QQVQVOXZYSWS CabABcbaababaccc投影特性投影特性 1) 1) a a b b c c 積聚為一條線積聚為一條線 2) 2) abc abc、 a a b b c c 為為 ABCABC的類似形的類似形 3) 3) a a b b c c 與與OZOZ、 OYOY的夾角反映的夾角反映、角角 的真實(shí)大小的真實(shí)大小OXZYVWSwSZXOYSwYOXZYCABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性： 1) 1) a a b b c c 、 a a b b c c 積聚為一條線，具

23、有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 2) 2) 水平投影水平投影 abcabc反映反映 ABCABC實(shí)形實(shí)形 OXZY投影特性：投影特性： 1) 1) abcabc 、 a a b b c c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 2) 2) 正平面投影正平面投影 a a b b c c 反映反映 ABCABC實(shí)形實(shí)形 cabbacbcabacabcbcaCBAOXZYabbbaccca投影特性：投影特性： 1) 1) abcabc 、 a a b b c c 積聚為一條線，具有積聚性積聚為一條線，具有積聚性 2) 2) 側(cè)平面投影側(cè)平面投影 a a b b c c 反映反映 ABC

24、ABC實(shí)形實(shí)形bbbacaccCABaOXZYabccabbaaabbccbacABC投影特性：投影特性： (1) (1) abc abc 、 a a b b c c 、 a a b b c c 均為均為 ABCABC 的類似形的類似形 (2) (2) 不反映不反映a a、 、 的真實(shí)角度的真實(shí)角度例例13:13:已知立體上平面已知立體上平面P P、Q Q、R R的空間位置，在的空間位置，在 投影圖中標(biāo)注其投影位置投影圖中標(biāo)注其投影位置, ,并填空并填空。 r r p p r r q q 水平水平鉛垂鉛垂側(cè)垂側(cè)垂r r p p p p q q q q （1 1） （2 2） 是是 面面是是 面

25、面 例例14:14:已知平面的兩個(gè)投影已知平面的兩個(gè)投影, ,求作其第三投影求作其第三投影, ,并并 填空。填空。 鉛垂鉛垂側(cè)垂側(cè)垂三、平面上的直線和點(diǎn)三、平面上的直線和點(diǎn) 平面上取任意直線平面上取任意直線判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)定理一定理一:若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)面內(nèi).定理二定理二:若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)的另一直線，則此直線在該平面內(nèi).abcb c a abcb c a d mnn m d例例1010：已知平面由直線：已知平

26、面由直線ABAB、ACAC所確定，試在平面所確定，試在平面 內(nèi)任作一條直線。內(nèi)任作一條直線。解法一：解法一：解法二：解法二：根據(jù)定根據(jù)定理一理一根據(jù)定根據(jù)定理二理二例例1111：在平面：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H H面的面的 距離為距離為10mm10mm。n m nm10c a b cab試想直線試想直線mnmn是否唯一呢是否唯一呢? ?是唯一是唯一的！的！ 平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例例1 1：已知：已知K

27、K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABCABC上，求上，求K K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。bacc a k b 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線首先面上取線abcab k c d d利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解kkbckada d b c ada d b c k bc例例1212：已知：已知ACAC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCDABCD 的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二2.5 直線與平面及兩平面的相對位置直線與平面及兩平面的相對位置相對位置包括相對位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。一、平行問題

28、一、平行問題 直線與平面平行直線與平面平行平面與平面平行平面與平面平行 直線與平面平行直線與平面平行 定理：定理：若一直線平行于平面上的某一直線，則若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。該直線與此平面必相互平行。n a c b m abcmn例例1515：過：過M M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。AbcAbc為平面內(nèi)為平面內(nèi)的任一直線的任一直線試想試想:可作多少條這樣的直線可作多少條這樣的直線MN?無數(shù)條無數(shù)條!正平線正平線例例1616：過：過M M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。c b a m abcm

29、nn 試想試想:可作多少條這樣的直線可作多少條這樣的直線MN?唯一的一條唯一的一條! 兩平面平行兩平面平行 若一平面上的若一平面上的兩相兩相交直線交直線對應(yīng)平行于另對應(yīng)平行于另一平面上的一平面上的兩相交直兩相交直線線，則這兩平面相互，則這兩平面相互平行。平行。 若兩若兩投影面垂直投影面垂直面面相互平行，則它們相互平行，則它們具有具有積聚性積聚性的那組投的那組投影必相互平行。影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef二、相交問題二、相交問題直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交直線與平面相交其其交點(diǎn)交點(diǎn)是是直線與

30、平面直線與平面的的公共點(diǎn)。公共點(diǎn)。要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)交點(diǎn); ; 判別可見性判別可見性, ,即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)即判別兩者之間的相互遮擋關(guān) 系。系。Pabcmnc n b a m 平面為特殊位置平面為特殊位置例例1717：求直線：求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC是一鉛垂面，是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直其水平投影積聚成一條直線，該直線與線，該直線與mnmn的交點(diǎn)即的交點(diǎn)即為為K K點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性由

31、水平投影可知，由水平投影可知，KNKN段段在平面前，故正面投影在平面前，故正面投影上上k k n n 為可見。為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。k 1 (2 )作作 圖圖k21km(n)bm n c b a ac 直線為特殊位置直線為特殊位置空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MNMN為鉛垂線，其水為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)點(diǎn)K K的水平投影也積聚在該點(diǎn)的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見性判別可見性 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在位于平面上，在前；點(diǎn)前；點(diǎn)位于位于MNMN上，在后。上，在后。故故k k 2 2 為不可見。

32、為不可見。1 (2 )k 21作圖作圖用面上取點(diǎn)法用面上取點(diǎn)法XHVZabcAaBbcacbCY（3）直線和平面都在一般位置）直線和平面都在一般位置直線和平面的交點(diǎn)的投影必為平面和直線的投影的共直線和平面的交點(diǎn)的投影必為平面和直線的投影的共有點(diǎn)有點(diǎn), ,且滿足投影規(guī)律且滿足投影規(guī)律. . 兩平面相交兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共交線是兩平面的共有線，有線，同時(shí)同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：要討論的問題： 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法：確定兩平面的確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)兩個(gè)共有點(diǎn)。確定確定一個(gè)

33、共有點(diǎn)及交線的方向。一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。判別可見性。還可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。還可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefc f db e a m (n )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC與與DEFDEF都為都為正正垂面垂面，其正面投影都積聚，其正面投影都積聚成直線。成直線。交線為正垂線交線為正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。便可作出交線的投影。 求交線求交線 判別可

34、見性判別可見性作作 圖圖nm例例1818：求兩平面的交線并求：求兩平面的交線并求MNMN并判別可見性。并判別可見性。b c f h a e abcefh1(2)空間及投影分析空間及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，是一水平面，它的正面投影有積聚性。它的正面投影有積聚性。a a b b 與與e e f f 的交點(diǎn)的交點(diǎn)m m 、 b b c c 與與f f h h 的交點(diǎn)的交點(diǎn)n n 即為兩個(gè)即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故共有點(diǎn)的正面投影，故m m n n 即即MNMN的正面投影。的正面投影。 求交線求交線 判別可見性判別可見性點(diǎn)點(diǎn)在在FHFH上，點(diǎn)上，點(diǎn)在在BCBC上，上，點(diǎn)點(diǎn)在上，點(diǎn)在

35、上，點(diǎn)在下，故在下，故fhfh可見，可見，n2n2不可見。不可見。作作 圖圖mn 2 nm 1 c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N N點(diǎn)的水平投影點(diǎn)的水平投影n n位于位于defdef的外面，的外面，說明點(diǎn)說明點(diǎn)N N位于位于DEFDEF所所確定的平面內(nèi)，但不確定的平面內(nèi)，但不在在DEFDEF這個(gè)圖形內(nèi)。這個(gè)圖形內(nèi)。 故故ABCABC和和DEFDEF的交的交線應(yīng)為線應(yīng)為MKMK。nn m kmk 互交互交三、平面上的直線和點(diǎn)三、平面上的直線和點(diǎn)判斷直線在平面判斷直線在平面內(nèi)的方法內(nèi)的方法 定定 理理 一一若一直線過平面若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平

36、面直線必在該平面內(nèi)。內(nèi)。定定 理理 二二若一直線過平面上的若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。此直線在該平面內(nèi)。 平面上取任意直線平面上取任意直線abcc a abcb c a mnn m 例例1：已知平面由直線：已知平面由直線AB、AC所確定，試所確定，試 在平面內(nèi)任作一條直線。在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法一解法二解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理二根據(jù)定理一根據(jù)定理一有無數(shù)解。有無數(shù)解。d d有多少解？有多少解？b 例例2：在平面：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H面的距離為面的距離為10mm。n

37、m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ 平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn) 先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例例3：已知：已知K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABC上，求上，求K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。bacc a k b k 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線首先面上取線abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解ckada d b c ada d b c k c例例4：已知已知AC為正平線，為正平線，補(bǔ)全平行四邊形補(bǔ)全平行四邊形 ABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二bb 屬于平面的水平線和正平線屬于平面的水平線和正平線 參看：參看：例題例題5 5 例題例題6 6 平面上投影面的平行線平面上投影面的