第一章第二節(jié)n階行列式ppt課件

1、1第一章第一章 行列式行列式二、三階行列式二、三階行列式三、三、 n 階行列式階行列式一、二階行列式的引入一、二階行列式的引入第一章第一章 行列式行列式 為了給出為了給出 n 階行列式的定義，我們先來研究階行列式的定義，我們先來研究二階、三階行列式，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。二階、三階行列式，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。個個數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成的的式式子子由由22 )6(22211211aaaa21122211aaaa 為為叫叫二二階階行行列列式式，它它表表示示即即)7(2112221122211211aaaaaaaaD 2行行，位位于于第第稱稱為為行行標(biāo)標(biāo)，表表明明該該元元素素的的第第一一個個下下標(biāo)標(biāo)元元素素iiaij第一章

2、第一章 行列式行列式.列列位位于于第第稱稱為為列列標(biāo)標(biāo)，表表明明該該元元素素的的第第二二個個下下標(biāo)標(biāo)元元素素jjaij由由 (7) (7) 式可見，式可見，的的元元素素稱稱為為行行列列式式其其中中數(shù)數(shù))6()2, 1;2, 1( jiaij32 2每一項的二個元素的行標(biāo)成自然排列每一項的二個元素的行標(biāo)成自然排列1 1，2 2時，時，列標(biāo)都是列標(biāo)都是1 1，2 2的某一排列，的某一排列，3)3)帶正號的一項列標(biāo)排列是帶正號的一項列標(biāo)排列是1 1，2 2，是偶排列，是偶排列，第一章第一章 行列式行列式這樣的排列共有這樣的排列共有2 2種，故二階行列式共有二項；種，故二階行列式共有二項；帶負(fù)號的列標(biāo)

3、排列是帶負(fù)號的列標(biāo)排列是2 2，1 1，是奇排列，是奇排列. .1 1二階行列式是一些項的代數(shù)和，每一項都是二二階行列式是一些項的代數(shù)和，每一項都是二個元素的乘積，個元素的乘積，這二個元素位于不同的行，不同的列這二個元素位于不同的行，不同的列. .411a12a22a12a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa 二階行列式的計算二階行列式的計算2112aa 5321 求求113)2(515321 第一章第一章 行列式行列式解解5個個數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu)成成的的式式子子由由33 ,312213332112322311322113312312332211)9(aaaaaaaaaaaaaaaaaa )8(

4、333231232221131211aaaaaaaaa叫三階行列式，它定義為叫三階行列式，它定義為333231232221131211aaaaaaaaa第一章第一章 行列式行列式由由(9)(9)式可見，三階行列式定義有如下特征：式可見，三階行列式定義有如下特征：61 1三階行列式的每一項都是三個不同行不同列的三階行列式的每一項都是三個不同行不同列的元素的乘積元素的乘積. .2 2每一項的三個元素的行標(biāo)成自然排列每一項的三個元素的行標(biāo)成自然排列1 1，2 2，3 3時，時，列標(biāo)都是列標(biāo)都是1 1，2 2，3 3的某一排列，的某一排列，3)3)帶正號的三項列標(biāo)排列是帶正號的三項列標(biāo)排列是12312

5、3，231231，312312，經(jīng)計，經(jīng)計算可知，它們?nèi)桥寂帕?，算可知，它們?nèi)桥寂帕?，第一章第一?行列式行列式這樣的排列共有這樣的排列共有6 6種，故三階行列式共有種，故三階行列式共有6 6項；項；帶負(fù)號的三項的列標(biāo)排列帶負(fù)號的三項的列標(biāo)排列132132，213213，321321，經(jīng)計算，經(jīng)計算可知，它們?nèi)瞧媾帕锌芍鼈內(nèi)瞧媾帕? .7333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 1 . 1圖圖如圖如圖1.11.1，圖中實線看作是平行于主對角線的聯(lián)線，

6、圖中實線看作是平行于主對角線的聯(lián)線，三條虛線看作是平行于副對角線的聯(lián)線，實線上三三條虛線看作是平行于副對角線的聯(lián)線，實線上三元素的乘積冠正號，虛線上三元素的乘積冠負(fù)號。元素的乘積冠正號，虛線上三元素的乘積冠負(fù)號。闡明闡明 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式第一章第一章 行列式行列式8532134212 計算三階行列式計算三階行列式532134212 D3125)4(12323)4(2211532 102061224230 第一章第一章 行列式行列式9寫寫成成于于是是，三三階階行行列列式式可可以以333231232221131211aaaaaaaaa321321

7、)1(ppptaaa 的的逆逆序序數(shù)數(shù)，為為排排列列其其中中321pppt.321321求求和和三三個個數(shù)數(shù)的的所所有有的的排排列列，表表示示對對ppp 階階行行列列式式定定義義到到由由以以上上分分析析，我我們們可可得得n第一章第一章 行列式行列式10.的的代代數(shù)數(shù)和和定義定義nnnnnnaaaaaaaaa212222111211階行列式階行列式nnnpppaaa2121個個元元素素的的乘乘積積同同列列的的等等于于所所有有取取自自不不同同行行不不nt)1( 并并冠冠以以符符號號的的一一個個排排列列，是是這這里里npppn, 2, 121.為為這這個個排排列列的的逆逆序序數(shù)數(shù)t第一章第一章 行列

8、式行列式nnppptaaa2121)1( 11 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 .,21所所有有的的排排列列種種數(shù)數(shù)求求和和，表表示示對對這這里里n . )det(,!ijann可可簡簡記記項項的的代代數(shù)數(shù)和和階階行行列列式式共共有有顯顯然然.)det(的的元元素素稱稱為為行行列列式式數(shù)數(shù)ijijaa第一章第一章 行列式行列式記作記作aan |1時時，一一階階行行列列式式當(dāng)當(dāng)12n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明對角行列式其中未寫出的元素都是零）證明對角行列式其中未寫出的元素都是零）.式

9、式最最基基本本、最最簡簡單單的的行行列列下下面面根根據(jù)據(jù)定定義義計計算算兩兩個個第一章第一章 行列式行列式13n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式依定義是顯然的第一式依定義是顯然的,下面只證第二式下面只證第二式.若記非零項若記非零項,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢第一章第一章 行列式行列式14例例5 證明下三角行列式證明下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 證證.!項項階行列式，共有階行列式，共有這是一個這是一個nn 但由于許多元素為零，故不等于零的項數(shù)

10、大但由于許多元素為零，故不等于零的項數(shù)大大地減少了大地減少了.第一章第一章 行列式行列式項的一般形式是項的一般形式是nnpppaaa212115.1111的的項項因因此此只只考考慮慮以以外外全全為為零零，素素除除去去在在行行列列式式中中的的第第一一行行元元 pa兩兩種種情情形形，為為零零，所所以以只只考考慮慮以以，其其余余的的元元素素全全，在在第第二二行行元元素素中中除除去去2 , 122221 paa，這這一一項項外外，其其余余都都為為零零去去看看出出，在在展展開開式式中中，除除這這樣樣逐逐步步推推下下去去，不不難難nnaaa2211第一章第一章 行列式行列式.2, 121只只有有等等于于因

11、因此此，但但由由于于pp 排排列列，而而這這一一項項列列標(biāo)標(biāo)排排列列是是偶偶16 這就是說，下三角行列式等于主對角線上元素這就是說，下三角行列式等于主對角線上元素的乘積的乘積.2211nnaaaD 于于是是nnnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 有有同同理理上上三三角角行行列列式式，也也第一章第一章 行列式行列式).1)1()1(0 t號號因因此此這這一一項項的的符符號號為為正正17 在行列式的定義中，為了決定每一項的符號，在行列式的定義中，為了決定每一項的符號，我們把幾個元素的行標(biāo)排成自然次序。我們把幾個元素的行標(biāo)排成自然次序。 事實上

12、，數(shù)的乘法是交換的，因而這幾個元素事實上，數(shù)的乘法是交換的，因而這幾個元素的次序可以任意寫的。的次序可以任意寫的。)10(2211nnjijijiaaa是是兩兩個個全全排排列列，其其中中nnjjjiii2121,的的符符號號等等于于證證明明，利利用用排排列列的的性性質(zhì)質(zhì)，不不難難)10(第一章第一章 行列式行列式 一般地，一般地，n 階行列式中的項可以寫成階行列式中的項可以寫成18個個元元素素重重新新排排一一下下，需需要要把把這這的的符符號號，來來決決定定事事實實上上，為為了了根根據(jù)據(jù)定定義義n)10()12(2121njnjjaaa )13()1()(21njjjt 于于是是它它的的符符號號

13、是是.)13()11(是一致的是一致的與與現(xiàn)在來證現(xiàn)在來證.)12()10(對對換換來來實實現(xiàn)現(xiàn)可可以以經(jīng)經(jīng)過過一一系系列列元元素素的的變變到到由由第一章第一章 行列式行列式然然順順序序，也也就就是是排排成成使使得得它它們們的的行行標(biāo)標(biāo)構(gòu)構(gòu)成成自自)11()1()()(2121nnjjjtiiit 19就就同同時時作作一一次次對對換換，排排列列行行標(biāo)標(biāo)與與列列標(biāo)標(biāo)所所成成的的每每作作一一次次對對換換，元元素素的的nnjjjiii2121,同同時時改改變變奇奇偶偶性性，與與也也就就是是)()(2121nnjjjtiiit因因而而它它們們的的和和.)11()10(的的值值變變作作一一次次元元素素的的對對換換不不改改即即，對對后后，有有因因此此，在在一一系系列列對對換換之之第一章第一章 行列式行列式.)()(2121的的奇奇偶偶性性不不改改變變nnjjjtiii )()(2121)1(nnjjjtiiit )()12(21)1(njjjtnt