信息光學(xué)原理第2章

1、參考文獻(xiàn)：l(1) W. Lauterborn, T.Kurz, M.Wiesenfeldt, Coherent (1) W. Lauterborn, T.Kurz, M.Wiesenfeldt, Coherent optics, optics, 北京：世界圖書(shū)出版社，北京：世界圖書(shū)出版社，19981998。l(2) Francis T.S.Yu(2) Francis T.S.Yu（楊震寰）（楊震寰）, Suganda Jutamulia, , Suganda Jutamulia, Shizhou Yin, Introduction to information optics, Shizhou

2、 Yin, Introduction to information optics, Academic Press, UK. (Academic Press, UK. (可以在可以在NetlibraryNetlibrary在線(xiàn)閱讀在線(xiàn)閱讀) )l(3) Francis T.S.Yu(3) Francis T.S.Yu，Suganda JutamuliaSuganda Jutamulia，Shizhou YinShizhou Yin，光，光信息技術(shù)及應(yīng)用，北京：電子工業(yè)出版社，信息技術(shù)及應(yīng)用，北京：電子工業(yè)出版社，20062006（參考書(shū)（參考書(shū)2 2的中的中譯本）。譯本）。l(4) Joseph

3、 W. Goodman(4) Joseph W. Goodman著，秦克誠(chéng)，劉培森，陳家璧，曹其智著，秦克誠(chéng)，劉培森，陳家璧，曹其智譯，傅立葉光學(xué)導(dǎo)論，北京：電子工業(yè)出版社，譯，傅立葉光學(xué)導(dǎo)論，北京：電子工業(yè)出版社，20062006。l(5) (5) 呂乃光，傅里葉光學(xué)，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，呂乃光，傅里葉光學(xué)，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，20062006。l(6) (6) 陳家璧，蘇顯渝，光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用，北京：高等陳家璧，蘇顯渝，光學(xué)信息技術(shù)原理及應(yīng)用，北京：高等教育出版社，教育出版社，20022002。 l(7) Edugene Hecht(7) Edugene Hecht著，張存林改編

4、，著，張存林改編，OpticsOptics，北京：高等教育，北京：高等教育出版社，出版社，20052005。l(8) (8) 楊振寰著，母國(guó)光，羊國(guó)光，楊振寰著，母國(guó)光，羊國(guó)光， 莊松林譯，光學(xué)信息處理，莊松林譯，光學(xué)信息處理，天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，19861986。l(9) (9) 高瑋，黃金哲，孫偉民，信息光學(xué)，哈爾濱：黑龍江教育高瑋，黃金哲，孫偉民，信息光學(xué)，哈爾濱：黑龍江教育出版社，出版社，20082008。What is Information Optics什么是信息光學(xué)什么是信息光學(xué)lInformation Optics（信息光學(xué)）lOptics+Comuni

5、cation since 1930l光 +信息lSignal Processing Temporal domainlImage Processing Spatial domainFourier Transform通信系統(tǒng)通信系統(tǒng)成像系統(tǒng)成像系統(tǒng)Frequency domain線(xiàn)性、不變性線(xiàn)性、不變性光學(xué)的不同領(lǐng)域光學(xué)的不同領(lǐng)域量子光學(xué)量子光學(xué)（光在原子尺度上的表現(xiàn)）（光在原子尺度上的表現(xiàn)）波動(dòng)光學(xué)波動(dòng)光學(xué)（光與小尺度物體的作用）（光與小尺度物體的作用）幾何光學(xué)幾何光學(xué)( (光與宏觀物質(zhì)的作用光與宏觀物質(zhì)的作用) )信息光學(xué)原理（電子工業(yè)出版社） 蘇顯渝 呂乃光 陳家壁信息光學(xué)是光學(xué)和信息科學(xué)相

6、結(jié)合的新的學(xué)科分支。信息光學(xué)是光學(xué)和信息科學(xué)相結(jié)合的新的學(xué)科分支。它研究以光為載體的信息的獲取、信息的交換和處它研究以光為載體的信息的獲取、信息的交換和處理、信息的傳遞和傳輸，是信息科學(xué)的一個(gè)分支。理、信息的傳遞和傳輸，是信息科學(xué)的一個(gè)分支。信息光學(xué)采用線(xiàn)性系統(tǒng)理論、傅里葉分析方法分析信息光學(xué)采用線(xiàn)性系統(tǒng)理論、傅里葉分析方法分析各種光學(xué)現(xiàn)象。各種光學(xué)現(xiàn)象。第二章標(biāo)量衍射理論標(biāo)量衍射理論引言引言 l衍射現(xiàn)象l光波傳播的規(guī)律l標(biāo)量理論的條件l兩種分析方法l最基本的光波形式本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容2.1、光波的數(shù)學(xué)描述2.2、基爾霍夫衍射理論2.3、衍射的角譜理論2.4、菲涅耳衍射2.5、夫朗和費(fèi)衍

7、射2.6、衍射光柵2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述2.1.1 2.1.1 單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示單色光波場(chǎng)中某點(diǎn)P(x,y,z)在t時(shí)刻的光振動(dòng)u(x,y,z,t)可表示為, , , ,cos 2, ,u x y z ta x y ztx y z其中，v是光波的時(shí)間頻率；a(x,y,z)和(x,y,z)分別是P點(diǎn)光振動(dòng)的振幅和初相位。根據(jù)歐拉公式，可將該波函數(shù)表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)取實(shí)部的形式：2, , , ,Re, ,jtx y zu x y z ta x y z e式中，Re 表示對(duì)括號(hào)內(nèi)復(fù)函數(shù)取實(shí)部。為簡(jiǎn)單，去掉“Re”而直接用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)，并

8、定義一個(gè)新的物理量：, , , ,jx y zU x y za x y z e稱(chēng)之為單色平面波在P點(diǎn)的復(fù)振幅，它與時(shí)間t無(wú)關(guān)，僅是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)。光強(qiáng)分布則為2IUUU, ,2Re, ,jx y zjta x y z ee2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述2.1.2 2.1.2 球面波球面波單色球面波在空間任意一點(diǎn)P所產(chǎn)生的復(fù)振幅為 0jkraU Per其中， 為波數(shù)，表示單位長(zhǎng)度上產(chǎn)生的相位變化； r 表示觀察點(diǎn)P(x,y,z)離開(kāi)點(diǎn)光源的距離； a0 表示距點(diǎn)光源單位距離處的振幅。2k思考題：思考題：對(duì)于會(huì)聚球面光波，復(fù)振幅表達(dá)式是什么？ 0jkraU PerAnswer:2

9、.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述若點(diǎn)光源位于x0y0平面，則與其相距z(z0)的xy平面上的光場(chǎng)分布是什么？在z平面上：22220020021xxyyrzxxyyzz對(duì)上式進(jìn)行二項(xiàng)式展開(kāi)，并考慮傍軸近似，上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：22002xxyyrzz2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述將簡(jiǎn)化式代入球面波復(fù)振幅表達(dá)式有： 0jkraU Per 220022002002x xy yjk zkjx xy yzjkzzaaU Peeezz22002xxyyrzz常量位相因子常量位相因子二次位相因子二次位相因子思考題：表征球面波思考題：表征球面波 （1）若點(diǎn)光源位于x0y0平面的坐標(biāo)原點(diǎn)

10、，上式簡(jiǎn)化為什么？（2）會(huì)聚球面波在旁軸近似下的復(fù)振幅表達(dá)式是什么？2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述重要概念：重要概念：波前，等相位面波前，等相位面發(fā)散球面波發(fā)散球面波會(huì)聚球面波會(huì)聚球面波 當(dāng)?shù)认辔幻媾c某一平面相交，則得到一系列的交線(xiàn)，這些交線(xiàn)就是光波在該平面上的等相位線(xiàn)！68頁(yè)球面波的等位相線(xiàn)及其方程2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述 2.1.3 2.1.3 平面波平面波平面波也是光波最簡(jiǎn)單的一種形式。沿k方向傳播的單色平面波，在光場(chǎng)中P(x,y,z)點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為：, ,expcoscoscosU x y zajk xyz其中， （1）a 是常量振幅； （2

11、）cos、cos、cos 為傳播方向的方向余弦，而且有222coscoscos12.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述22, ,expcosexpcoscosexp1 coscosexpcoscosexpcoscosU x y zajkzjk xyajkzjk xyAjk xyexpcoscosjk xy對(duì)于如右圖所示 的沿某一確定方向傳播的平面波，在xy平面上的復(fù)振幅為： 思考題：思考題：等相位線(xiàn)是什么形式？等相位線(xiàn)是什么形式？Answer:Answer: 等位線(xiàn)方程為其中，稱(chēng)為平面波的位相因子。coscosxyC不同C值所對(duì)應(yīng)的等位相線(xiàn)是一些平行斜線(xiàn)，如右圖所示。周期分布特點(diǎn)2.1

12、2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述, ,expcosU x y zAjkx2.1.4 2.1.4 平面波的空間頻率平面波的空間頻率 平面波的空間頻率是傅里葉光學(xué)中常用的基本物理量，透徹理解這個(gè)概念的物理意義是非常重要的。 如下圖，首先研究傳播矢量位于x0z平面的簡(jiǎn)單情況，此時(shí)cos=0, （1）xy平面上復(fù)振幅分布為（2）等位相線(xiàn)方程為cosxC等位相線(xiàn)的分布如右圖所示，是一組垂直于x軸的平行線(xiàn)，而且間距相等。由于等相位線(xiàn)上的振動(dòng)相同，所以復(fù)振幅在xy平面周期分布的空間周期可以用位相相差2的兩相鄰等位相線(xiàn)的間隔X表示。2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述cos2kX2coscosXk

13、1cosxfX當(dāng)10yfY,exp2xU x yAjf x則有其中，為廣波波長(zhǎng)?？臻g周期的倒數(shù)即為空間頻率，表示x方向單位長(zhǎng)度內(nèi)變化的周期數(shù)，即又因?yàn)榈认辔痪€(xiàn)平行于y軸，則y方向的空間頻率為此時(shí)，xy平面上的復(fù)振幅分布可表示為即可用空間頻率表示xy平面上的復(fù)振幅分布；空間頻率與傳播方向一一對(duì)應(yīng)*上式就是一個(gè)傳播方向?yàn)?cos =x、cos=0)的單色平面波的復(fù)振幅表達(dá)式。2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述1cos0 xfX(3)(3)空間頻率為負(fù)數(shù)的情況空間頻率為負(fù)數(shù)的情況思考題：思考題： 空間頻率為負(fù)，其代表什么物理意義？空間頻率為負(fù)，其代表什么物理意義？10yfY2.1 2.1

14、光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述如右圖所示，等相位線(xiàn)是一組斜平行線(xiàn)。很容易確定其沿x和y方向的空間頻率為1cos1cosxyfXfY,expcoscosU x yAjk xy,exp2xyU x yAjf xf y（4）傳播方向?yàn)槿我馇闆r，又如何？）傳播方向?yàn)槿我馇闆r，又如何？則xy平面上的復(fù)振幅分布可表示為2.1 2.1 光波的數(shù)學(xué)描述光波的數(shù)學(xué)描述2.1.5 2.1.5 復(fù)振幅分布的空間頻譜（角譜）復(fù)振幅分布的空間頻譜（角譜）利用傅里葉變換對(duì)位于單色光場(chǎng)中的xy平面上的復(fù)振幅分布進(jìn)行傅里葉分析，有,exp2,exp2xyxyxyxyxyU x yA ffjf xf ydf dfA ffU x

15、yjf xf ydxdy 其中，coscosxyff因此復(fù)振幅分布也可以看作為不同方向傳播的單色平面波分量的線(xiàn)性疊加, A(x,y)則為復(fù)振幅分布U(x,y)的空間頻譜。exp2xyjf xf y代表一個(gè)傳播方向余弦為(cos =x、cos= y)的單色平面波。平面上的復(fù)振幅分布U(x,y)看作頻率不同的復(fù)指數(shù)分量的線(xiàn)性組合，各頻率分量的權(quán)重因子是A(x,y)，而且1 1、光波的數(shù)學(xué)描述、光波的數(shù)學(xué)描述coscoscoscos,exp2AU x yjxydxdy 此時(shí)，稱(chēng)A(cosA(cos / / ，coscos / / )為xy平面上復(fù)振幅分布的角譜。 A( A( x x, , y y)

16、)也可用方向余弦表示 引入角譜的概念有助于進(jìn)一步理解復(fù)振幅分解的物理意義：(1) 單色光波場(chǎng)中某一平面上的場(chǎng)分布可看作不同方向傳播的單色平面波 的疊加;(2) 在疊加時(shí)各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它們的值分別取決 于角譜的模和幅角。2.2 2.2 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論2.2.1 2.2.1 惠更斯惠更斯菲涅耳原理和基爾霍夫衍射公式菲涅耳原理和基爾霍夫衍射公式“波前上的每一個(gè)面元都可以看作是一個(gè)次級(jí)擾動(dòng)中心，它們能產(chǎn)生球面子波”，并且，“后一時(shí)刻的波前的位置是所有這些子波前的包絡(luò)面?！?論光,惠更斯 , 1690“波前上任何一個(gè)未受阻擋的點(diǎn)都可以看作是一個(gè)頻率（或波長(zhǎng)）與入射

17、波相同的子波源；在其后任何地點(diǎn)的光振動(dòng)，就是這些子波疊加的結(jié)果?！?巴黎科學(xué)院,菲涅耳, 1818 0exp jkrU PcU P Kdsr其中，U(PU(P0 0) )是波面上任意一點(diǎn)P0的復(fù)振幅，U(P)U(P)是光場(chǎng)中任一觀察點(diǎn)P的復(fù)振幅，r r是P0到P的距離， 是P0P和過(guò)P0點(diǎn)的元波面法線(xiàn)n的夾角，K(K( ) )是與有關(guān)的傾斜因子，C C為常數(shù)。2.2 2.2 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射公式基爾霍夫衍射公式1882年，基爾霍夫建立了一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，證明菲涅耳的設(shè)想基本上正確，只是菲涅耳給出的傾斜因子不對(duì)，并對(duì)其進(jìn)行了修正?；鶢柣舴蚶碚摚贿m用于標(biāo)量波的衍射，

18、故又稱(chēng)標(biāo)量衍射理論標(biāo)量衍射理論。對(duì)于單色波，基爾霍夫從標(biāo)量波動(dòng)方程出發(fā)，利用格林定理這一數(shù)學(xué)工具，采用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，推導(dǎo)出無(wú)限大不透明屏上孔徑后面觀察點(diǎn)P的場(chǎng)分布為 222210uuct exp jkrcos,-cos,exp jkrAPdSr2rn rn rUj 其中，P是照明孔徑的點(diǎn)光源，P0是孔徑上某一點(diǎn)，P為孔徑后面某一觀察點(diǎn)，r和r分別P和P到P0的距離（圖3-3）。上式稱(chēng)為菲涅耳基爾霍夫衍射公式，它為惠更斯菲涅耳原理提供了更可靠的波動(dòng)理論基礎(chǔ)。2.2 2.2 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論2.2.2 2.2.2 光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì)光波傳播的線(xiàn)性性質(zhì) 0exp1jkrU PU P

19、 KdSjr令令 01,Kjkreh P Pjr 根據(jù)基爾霍夫衍射公式根據(jù)基爾霍夫衍射公式則有則有 00,U PU P h P P dS 若孔徑在x0y0平面，而觀察平面在xy平面，上式可進(jìn)一步表示為 000000, ;,U x yU xyh x y xydx dy 這正是描述線(xiàn)性系統(tǒng)輸入這正是描述線(xiàn)性系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的疊加積分；因此光波的傳播現(xiàn)象可以輸出關(guān)系的疊加積分；因此光波的傳播現(xiàn)象可以看作是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)！看作是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)！2.2 2.2 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論在傍軸近似下， ，則上述線(xiàn)性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)簡(jiǎn)化為 K1222000022200exp11, ;,jkrjkzxx

20、yyeh x y xyjrjzxxyy00,h xxyy脈沖響應(yīng)函數(shù)具有空間不變的函數(shù)形式，也就是說(shuō)光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象脈沖響應(yīng)函數(shù)具有空間不變的函數(shù)形式，也就是說(shuō)光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象可看作線(xiàn)性不變系統(tǒng)。這為我們用線(xiàn)性不變系統(tǒng)理論分析衍射現(xiàn)象提供了依據(jù)?？煽醋骶€(xiàn)性不變系統(tǒng)。這為我們用線(xiàn)性不變系統(tǒng)理論分析衍射現(xiàn)象提供了依據(jù)。2.3 2.3 衍射的角譜理論衍射的角譜理論2.3.1 2.3.1 角譜的傳播角譜的傳播根據(jù)上面介紹的角譜理論可知，孔徑平面和觀察平面上的光場(chǎng)都可以分別看作孔徑平面和觀察平面上的光場(chǎng)都可以分別看作是許多不同方向傳播的單色平面波分量的線(xiàn)性組合是許多不同方向傳播的單色

21、平面波分量的線(xiàn)性組合。而每一個(gè)平面波分量的相對(duì)振幅和位相取決于相應(yīng)的角譜：00000coscoscoscoscoscos,exp2U xyAjxydd coscoscoscoscoscos,exp2U x yAjxydd 孔徑平面孔徑平面觀察平面觀察平面利用兩者的關(guān)系利用兩者的關(guān)系， 確定整個(gè)光場(chǎng)的傳播特性。確定整個(gè)光場(chǎng)的傳播特性。利用標(biāo)量的波動(dòng)方程，可以得到如下關(guān)系：利用標(biāo)量的波動(dòng)方程，可以得到如下關(guān)系：220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz這就是衍射的角譜理論公式，它給出了角譜傳播的規(guī)律；這就是衍射的角譜理論公式，它給出了角譜傳播的規(guī)律；在確定了觀察光場(chǎng)的角譜后，

22、就可以利用傅立葉逆變換求出其復(fù)振幅分布。2.3 2.3 衍射的角譜理論衍射的角譜理論220coscoscoscos,exp1 coscosAAjkz0,xyxyxyA ffAffHff輸出頻譜輸出頻譜輸入頻譜輸入頻譜傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)由傳遞函數(shù)表征：系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)由傳遞函數(shù)表征：2222201,exp1,0 xyxyxyxyxyA ffjkzffffHffAffothers可見(jiàn)，光波的傳播現(xiàn)象可看作一個(gè)空間濾波器，它具有有限的空間帶寬：在頻率平面上半徑為1/的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對(duì)各頻率分量的振幅沒(méi)有影響，但引入了與頻率有關(guān)的相移；在圓形區(qū)域之外，傳遞函數(shù)為零。2.3

23、 2.3 衍射的角譜理論衍射的角譜理論思考題：思考題：基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論和和角譜理論角譜理論的聯(lián)系和區(qū)別是什么？的聯(lián)系和區(qū)別是什么？Answer:1）基爾霍夫衍射理論和角譜理論完全是統(tǒng)一的，它們都證明了光的傳播現(xiàn)象可看作線(xiàn)性不變系統(tǒng)；2）基爾霍夫理論是在空間域討論光的傳播，是把孔徑平面光場(chǎng)看作點(diǎn)源的集合，觀察平面上的場(chǎng)分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同權(quán)重因子的球面子波的相干疊加，而球面子波在觀察平面上的復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。3）角譜理論是在頻率域討論光的傳播，是把孔徑平面場(chǎng)分布看作很多不同方向傳播的平面波分量的線(xiàn)性組合，觀察平面上場(chǎng)分布仍然等于這些平面波分量相干疊加，但每個(gè)

24、平面波分量引入相移。相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。2.3 2.3 衍射的角譜理論衍射的角譜理論2.3.2 2.3.2 孔徑對(duì)角譜的影響孔徑對(duì)角譜的影響平面屏幕孔徑的復(fù)振幅透過(guò)率為t(x0,y0)，入射到孔徑平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅為Ui(x0,y0)，則緊靠屏幕后的平面上透射光場(chǎng)的復(fù)振幅分布可以表示為 ,tiUx yUx y t x y假定入射光場(chǎng)的角譜和透射光場(chǎng)的角譜分別為 coscos,iAcoscos,tA由傅里葉變換的卷積定理可確定兩者的關(guān)系為 coscoscoscoscoscos,tiAAT其中，T( )是孔徑透過(guò)率函數(shù)的傅里葉變換。 和2.3 2.3 衍射

25、的角譜理論衍射的角譜理論如果采用單位振幅平面波垂直照明孔徑，入射光場(chǎng)為 ,1iUx y 入射光場(chǎng)的角譜為coscoscoscos,iiAUx yF則有coscoscoscoscoscos,tATcoscos,T透射光場(chǎng)等于孔徑透過(guò)率的傅里葉變換。光波由于衍射孔徑的限制，在頻率域展寬了入射光場(chǎng)的角譜。 作業(yè)：P48 習(xí)題2.12.4 2.4 菲涅耳衍射菲涅耳衍射菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式 000000,U x yU xyh xxyydx dy 222000022200exp11,jkrjkzxxyyeh xxyyjrjzxxyy其中：其中：2.4 2.4 菲涅耳衍射菲涅耳衍射若若z z遠(yuǎn)大于孔

26、徑遠(yuǎn)大于孔徑以及觀察區(qū)域的最大線(xiàn)度，即以及觀察區(qū)域的最大線(xiàn)度，即22222000011122xxyyrzxxyyzzz稱(chēng)之為菲涅耳近似菲涅耳近似。此時(shí)脈沖響應(yīng)簡(jiǎn)化為2200001,expexp2kh xxyyjkzjxxyyj zz其物理意義是用二次曲面近似表示球面子波。把上述簡(jiǎn)化的脈沖響應(yīng)函數(shù)代入疊加積分式，則得到卷積形式表達(dá)的菲涅耳衍射方程：220000001,exp,exp2kU x yjkzU xyjxxyydx dyj zz 上式就是上式就是菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式。222300max4zxxyy對(duì)r作二項(xiàng)式展開(kāi)時(shí)可略去次高階項(xiàng)，即2.4 2.4 菲涅耳衍射菲涅耳衍射將指數(shù)中的二

27、次項(xiàng)展開(kāi)，可得到用傅里葉變換形式表示的菲涅耳衍射方程， 22exp,exp2jkzkU x yjxyj zz22000000002,expexp2kU xyjxyjxxyydx dyzz 22220000,expexp,exp22xyxyffzzjkzkkjxyU xyjxyj zzzF菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)是 22,expexpxyxyHffjkzjz ff它表示菲涅耳衍射在頻率域的效應(yīng)；上式僅僅是對(duì)普遍的傳遞函數(shù)的一種近似。 2.4 2.4 菲涅耳衍射菲涅耳衍射菲涅耳衍射的例子菲涅耳衍射的例子泰伯效應(yīng)泰伯效應(yīng) 什么是泰伯效應(yīng)？用單色平面波垂直照射一個(gè)周期性物體（例如透射光柵）時(shí)，在物體后面周

28、期性的距離上出現(xiàn)物體的像。 它不是一種透鏡成像，而是衍射成像。圖中zT為泰伯距離2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射2.5.1 2.5.1 夫朗和費(fèi)衍射公式夫朗和費(fèi)衍射公式若要使若要使z z進(jìn)一步增大，使其不僅滿(mǎn)足菲涅耳近似條件，而且滿(mǎn)足進(jìn)一步增大，使其不僅滿(mǎn)足菲涅耳近似條件，而且滿(mǎn)足2200max2kzxy這時(shí)觀察平面所在的區(qū)域稱(chēng)為這時(shí)觀察平面所在的區(qū)域稱(chēng)為夫朗和費(fèi)區(qū)，夫朗和費(fèi)區(qū)，這一近似稱(chēng)為這一近似稱(chēng)為夫瑯和費(fèi)近似夫瑯和費(fèi)近似。此時(shí)有。此時(shí)有2222222000000111222xxyyxxyyxyrzxxyyzzzzzz2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射把上式代入脈沖響應(yīng)公式，

29、有 000000,U x yU xyh xxyydx dy 220000112,expexpexp2jkrekh xxyyjkzjxyjxxyyjrj zzz把該脈沖響應(yīng)代入衍射公式，有221expexp2kjkzjxyj zz0000002,expU xyjxxyydx dyz 221expexp2kjkzjxyj zz00,xyxyffzzU xyF觀察平面上的場(chǎng)分布正比于孔徑平面上透射光場(chǎng)分布的傅立葉變換。觀察平面上的場(chǎng)分布正比于孔徑平面上透射光場(chǎng)分布的傅立葉變換。強(qiáng)度分布為：強(qiáng)度分布為：2222000,11,xyxyffzzxyI x yU xyAzzzzF2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射

30、夫瑯和費(fèi)衍射2.5.2 2.5.2 一些簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射一些簡(jiǎn)單孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射 利用上面的夫瑯和費(fèi)衍射方程可以確定一些典型孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣，例如圓孔、矩形孔、單縫以及多縫結(jié)構(gòu)（如光柵）等。 孔徑的類(lèi)型孔徑的類(lèi)型：振幅調(diào)制型振幅調(diào)制型和相位調(diào)制型相位調(diào)制型假設(shè)一均勻單色平面波垂直照明孔徑，平面波的振幅為假設(shè)一均勻單色平面波垂直照明孔徑，平面波的振幅為A A，則孔徑的透射，則孔徑的透射光場(chǎng)分布為：光場(chǎng)分布為：0000,U xyAt xy其中，t(x0,y0)是孔徑的復(fù)振幅透過(guò)率。由夫朗和費(fèi)衍射公式，觀察平面場(chǎng)分布為由夫朗和費(fèi)衍射公式，觀察平面場(chǎng)分布為2200,expexp,2xyx

31、yffzzAkU x yjkzjxyt xyj zzF22expexp,2AkxyjkzjxyTj zzzz則觀察平面上的衍射圖樣的復(fù)振幅分布正比于物體的頻譜。則觀察平面上的衍射圖樣的復(fù)振幅分布正比于物體的頻譜。對(duì)應(yīng)的衍射圖樣的強(qiáng)度分布為222,AxyI x yU x yTzzz夫瑯和費(fèi)衍射是實(shí)現(xiàn)傅里葉變換運(yùn)算的物理手段，是我們對(duì)物體作頻譜分析的基礎(chǔ)。2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射1 1） 圓孔衍射圓孔衍射000,rt xycira圓孔的復(fù)振幅透過(guò)率可以表示為其中，a為圓孔半徑，r0為孔徑平面的徑向坐標(biāo)，如下圖所示。2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射采用單位振幅的單色平面波垂直

32、照明孔徑，在觀察面上得到的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布為（利用傅里葉-貝塞爾變換）： 2212expexp22karJkakrzU rjkzjkarj zzz 2120karJzI rIkarz0.61zra 強(qiáng)度分布為（如下圖） 通常稱(chēng)之為愛(ài)里圖樣。中央亮斑（愛(ài)里斑）的半徑為： 2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射2 2） 矩孔衍射矩孔衍射0000,xyt xyrectrectab距孔的復(fù)振幅透過(guò)率可表示為：距孔的復(fù)振幅透過(guò)率可表示為：其中，a、b分別是孔徑在x0和y0方向上的寬度。其對(duì)應(yīng)頻譜為00,sinsinxyt xyabc afc bfF2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射采用

33、單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，在觀察面上得到的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)的復(fù)振幅分布為：2200,221,expexp,2expexpsinsin2xyxyffzzkU x yjkzjxyt xyj zzabkaxbyjkzjxyccj zzzzF強(qiáng)度分布為 222,sinsinabaxbyI x ycczzz光能主要集中在中央亮斑，其寬度為： 2zxa 2zyb 2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射 單縫衍射單縫衍射對(duì)于上面的距孔，假如ba，矩孔就變成了平行于y0軸的狹縫，衍射圖樣將集中在x軸上。采用單位振幅的單色平面波垂直照明狹縫，距離為z的觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的復(fù)振幅分布為 2expe

34、xpsin2akaxU xjkzjxcj zzz強(qiáng)度分布為 222sin0 sinaaxaxI xcIczzz2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射3) 3) 雙縫衍射雙縫衍射00000022*22ddxxxddt xrectrectrectxxaaa 如圖，衍射孔徑由雙縫組成，狹縫寬度為a，中心相距為d，其復(fù)振幅透過(guò)率可表示為：其對(duì)應(yīng)的頻譜為000022sinexpexp2 sincosxxxxxxddt xrectxxaac afj dfj dfac afdfFFF2.5 2.5 夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射當(dāng)采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑時(shí)，觀察平面上夫瑯和費(fèi)衍射的復(fù)振幅分布為 20

35、21expexp22expexpsincos2xxfzkU xjkzjxt xj zzakaxdxjkzjxcj zzzzF強(qiáng)度分布為（如右圖） 2222sincosaaxdxI xczzz可見(jiàn)，雙縫夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布是單縫衍射圖樣單縫衍射圖樣與雙光束干涉圖樣雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。 衍射的巴比涅原理衍射的巴比涅原理如上圖所示，兩個(gè)衍射屏1和2是一對(duì)互補(bǔ)屏；設(shè)U1(P)和U2(P)分別表示由1和2在觀察平面上P點(diǎn)產(chǎn)生的衍射光場(chǎng)，則如下結(jié)論成立：1）兩個(gè)互補(bǔ)屏在觀察點(diǎn)產(chǎn)生的衍射場(chǎng)，其復(fù)振幅之和等于光波自由傳播時(shí)在該點(diǎn)的復(fù)振幅，即U1(P)+U2(P)=U(P)2）若采用單色平面波垂

36、直照明，經(jīng)透鏡聚焦在其后焦面，自由光場(chǎng)的夫瑯和費(fèi)衍射正比于(P)，對(duì)于軸外點(diǎn)有U(P)=0。此時(shí)在每一軸外點(diǎn)互補(bǔ)屏產(chǎn)生的光場(chǎng)復(fù)振幅分布位相相差；互補(bǔ)屏產(chǎn)生的夫瑯和費(fèi)衍射分布，除軸上點(diǎn)以外，強(qiáng)度分布完全相同。U1(P)=-U2(P) 以及 I1(P)=I2(P)2.6 2.6 衍射光柵衍射光柵1）回顧一下，什么是光柵？衍射光柵具有周期性重復(fù)排列的結(jié)構(gòu)，可對(duì)入射光波的振幅或位相（或者兩者同時(shí)）施加周期性的空間調(diào)制，2）光柵是光學(xué)儀器中或者光學(xué)信息處理系統(tǒng)中常用的重要光學(xué)元件。下面將嘗試使用傅里葉分析的方法分析幾種典型光柵的衍射圖樣以及它們對(duì)光譜的分辨本領(lǐng)。這幾類(lèi)典型的光柵包括：線(xiàn)光柵余弦型振幅光柵2.6 2.6 衍射光柵衍射光柵00001*nxxxt xrectxndrectcombaadd001sinxxxxxTfrectcombac afcomb dfaddF