非壽險(xiǎn)第一講

1、1第二章 費(fèi)率厘定2本章內(nèi)容引言保費(fèi)的構(gòu)成費(fèi)率厘定的過程純保費(fèi)法損失率法最終損失的預(yù)測級別費(fèi)率厘定3第一節(jié) 引言4費(fèi)率厘定的目標(biāo)費(fèi)率厘定的基本目標(biāo)支付期望賠款和費(fèi)用費(fèi)率可以充分的應(yīng)對不確定性鼓勵(lì)損失控制滿足監(jiān)管者的要求5非基本但希望達(dá)到的目標(biāo)費(fèi)率要合理穩(wěn)定費(fèi)率要合理應(yīng)變簡單易懂6風(fēng)險(xiǎn)單位(exposure unit)風(fēng)險(xiǎn)單位是費(fèi)率厘定的基本度量單位。如汽車險(xiǎn)中風(fēng)險(xiǎn)單位常取為車年（12月）。一份為三輛汽車提供6個(gè)月保險(xiǎn)的保單包含了1.5個(gè)車年。選取風(fēng)險(xiǎn)單位應(yīng)注意的問題合理性可行性對于變化的敏感性 以往和現(xiàn)在的風(fēng)險(xiǎn)單位應(yīng)盡可能保持一致 7常用風(fēng)險(xiǎn)單位統(tǒng)計(jì)量承保風(fēng)險(xiǎn)(written exposure

2、s)，指所簽的保單在某個(gè)時(shí)期內(nèi)所有的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)量； 已經(jīng)風(fēng)險(xiǎn)(earned exposures) ，指各個(gè)相應(yīng)時(shí)期內(nèi)已經(jīng)承擔(dān)責(zé)任的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)量； 有效風(fēng)險(xiǎn)(in-force exposures) ，指在一個(gè)給定的時(shí)刻風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)量。 8生效日期生效日期(月月/日日/年年)承保危險(xiǎn)承保危險(xiǎn)已經(jīng)危險(xiǎn)已經(jīng)危險(xiǎn)有效危險(xiǎn)有效危險(xiǎn)20042005200420051/1/20051/1/20041.000.001.000.000.004/1/20041.000.000.750.251.007/1/20041.000.000.500.501.0010/1/20041.000.000.250.751.00合計(jì)合計(jì)

3、4.000.002.501.503.00考慮下面4個(gè)保險(xiǎn)期限為12個(gè)月的一輛車的汽車保單。9費(fèi)率厘定中的常用數(shù)據(jù)賠付數(shù)據(jù)發(fā)生年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有發(fā)生的損失事件的保單數(shù)據(jù)稱為發(fā)生年度（事故年）數(shù)據(jù)。發(fā)生年度數(shù)據(jù)由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成 。發(fā)生年度數(shù)據(jù)的平均事故日期是每年的7月1日。10發(fā)生發(fā)生年年進(jìn)展進(jìn)展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,445$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,76519962,743,6574,05

4、1,9504,593,4724,797,19419973,130,2624,589,4305,230,43719983,625,4185,380,61719993,919,522例（發(fā)生年度數(shù)據(jù)）：下表是某保險(xiǎn)公司某險(xiǎn)種保單組已發(fā)生賠款11保單年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有簽發(fā)的保單數(shù)據(jù)稱為保單年度數(shù)據(jù)。 例：1999年的保單年度數(shù)據(jù)是指1999年內(nèi)簽發(fā)的所有保單數(shù)據(jù)。平均事故日期若假設(shè)所有的簽單日期和事故發(fā)生日期均勻分布，則1999年內(nèi)簽發(fā)保單的事故發(fā)生日期中點(diǎn)是12/31/1999子夜（或1/1/2000零點(diǎn)） 保單年度的數(shù)據(jù)由已付賠款和未付賠款準(zhǔn)備金組成。 12保單年度1999損失發(fā)生的模

5、式圖19992000200113某險(xiǎn)種1999保單組年度數(shù)據(jù)截止2000年3月31日截止2001年3月31日已付未付已付未付400,000100,000625,000014日歷年度數(shù)據(jù)在一個(gè)日歷年度內(nèi)所有發(fā)生理賠的保單數(shù)據(jù)稱為日歷年度數(shù)據(jù)，而不考慮這些保單何時(shí)簽發(fā)，相應(yīng)的事故何時(shí)發(fā)生。日歷年度數(shù)據(jù)包括已付賠款、已發(fā)生賠款、未付賠款準(zhǔn)備金。 費(fèi)率厘定通常不考慮日歷年度數(shù)據(jù) 15保費(fèi)數(shù)據(jù)承保保費(fèi)（written premium）是指日歷年內(nèi)簽發(fā)保單時(shí)收取的全部保費(fèi)。已賺保費(fèi)（earned premium）是日歷年內(nèi)實(shí)際賺取的保費(fèi)。未賺保費(fèi) （unearned premium） 承保保費(fèi)與已賺保費(fèi)的

6、差就是未賺保費(fèi)16例:如果某份保單有15輛商用汽車，費(fèi)率為112.90元。保單是從7/1/1999開始，承保時(shí)間為12個(gè)月，那么到12/31/1999為止.求其承保保費(fèi)、已賺保費(fèi)收入.答:保費(fèi)為 112.9015 = 1693.501999日歷年承保保費(fèi) 1693.501999日歷年已經(jīng)保費(fèi) 846.7512/31/1999未賺保費(fèi) 846.7517第二節(jié) 保費(fèi)的構(gòu)成18保費(fèi)的主要構(gòu)成部分純保費(fèi)（等于期望賠付成本）附加保費(fèi)安全附加（應(yīng)付難以預(yù)料的不確定性賠付）費(fèi)用附加（支付經(jīng)營費(fèi)用、代理人傭金、稅金等）19為什么保費(fèi)大于純保費(fèi)從風(fēng)險(xiǎn)理論中可以知道, 保費(fèi)大于純保費(fèi)使保險(xiǎn)人不至于破產(chǎn)。在實(shí)踐中，

7、保險(xiǎn)公式的營業(yè)費(fèi)用和合理的利潤都要在收取的保費(fèi)中加以考慮。20一、效用理論的解釋投保人角度：假設(shè)某人擁有價(jià)值為w的財(cái)產(chǎn)，但這筆財(cái)產(chǎn)面臨著某種損失，這一損失用隨機(jī)變量X來表示，滿足0Xw，請問他應(yīng)該付出多大一筆保費(fèi)H去全額投保這筆財(cái)產(chǎn)21若決定投保，則無論損失是否發(fā)生，投保人只損失自己的保費(fèi)，投保后財(cái)產(chǎn)為w-H, 效用為U(w-H).若不投保，則投保人的財(cái)產(chǎn)變?yōu)閣-X,效用為U(w-X)。對于投保人來說，保費(fèi)H應(yīng)該滿足()( ()U wHE U wXH越大，w-H就越小，投保的效用U(w-H)也就越小，當(dāng)H高到等號成立時(shí)，保與不保都無所謂了，投保人愿意接受的最高保費(fèi)H*是使得上式等號成立的解。由

8、于U是凸函數(shù)，根據(jù)Jesen不等式有H*E(X).22假定某投保人擁有價(jià)值為100單位的財(cái)產(chǎn)，但這筆財(cái)產(chǎn)將面臨某種損失，這一風(fēng)險(xiǎn)被表示為隨機(jī)變量Y，Y是服從0到36之間均勻分布的隨機(jī)變量。假設(shè)此人的效用函數(shù)為其中X是他的財(cái)富。問他最多付出多大一筆保費(fèi)G去全額投保這筆財(cái)產(chǎn)？( )u xx23解答：由隨機(jī)損失的概率密度函數(shù) 得到期望損失為 。如果投保人購買了保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是確定的，即100G，效用為 。如果他不購買保險(xiǎn)，則他的財(cái)富是隨機(jī)變量100Y，那么他剩余財(cái)富的期望效用可以計(jì)算如下1( )36f y 36/218E Y 100G363/20 (100)( )1 1003612244 (100

9、)36327 E Uuyf y dyydyy24解答（續(xù)）投保人愿意支付的保費(fèi)G應(yīng)該使得不管他購買保險(xiǎn)與否其剩余財(cái)富的期望效用值相等。因此，我們通過解得到G18.33。投保人購買保險(xiǎn)最高愿意支付18.33，這超過了他的期望損失18。如果保險(xiǎn)人收取的保費(fèi)小于18.33。這個(gè)投保人就會購買該保險(xiǎn)。24410027G25保險(xiǎn)人角度若要承保，則可以在原來財(cái)富v的基礎(chǔ)上增加一筆保費(fèi)收入G，但得承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，財(cái)富變?yōu)関GX。對保險(xiǎn)人合理的承保保費(fèi)G應(yīng)滿足效用不等式()( )IIE UvGXUvG越小，要承保的效用UI(v+G-X)也就越小，當(dāng)G小到使等號成立時(shí)，承保就沒有吸引力了。26當(dāng)投保人愿意付出的最高保

10、費(fèi)價(jià)格H*大于保險(xiǎn)人愿意接受的最低保費(fèi)G*時(shí)，一份保險(xiǎn)合同才能在介于G*和H*之間的價(jià)位成交。27純保費(fèi)、臨界保費(fèi)和實(shí)際保費(fèi)的關(guān)系圖設(shè)X表示損失費(fèi)。0EX投 保 人的 最 高支 付 價(jià)格H*保 險(xiǎn) 人的 最 低價(jià)格G*成 交價(jià)28二、純保費(fèi)的定義和估計(jì)純保費(fèi)等于期望賠付成本PiEXi純保費(fèi)率等于每風(fēng)險(xiǎn)單位的期望損失 L為保單組合的最終損失；E為保單組合的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù) L通常由保單組合的損失經(jīng)驗(yàn)得到的預(yù)測最終損失。LPE29純保費(fèi)等于每風(fēng)險(xiǎn)單位的索賠頻率與索賠強(qiáng)度的乘積。C是保單組合索賠次數(shù)數(shù)F為每風(fēng)險(xiǎn)單位的索賠次數(shù)，即索賠頻率S為每次索賠的平均索賠額 CLPFSEC30 ?為什么要分開考慮索賠頻

11、率與索賠強(qiáng)度？影響索賠頻率與索賠強(qiáng)度的因素各不相同?？紤]索賠強(qiáng)度和索賠頻率有利于分析免賠額或賠償限額的變化對總索賠額的影響。 31三、如何預(yù)測最終損失L第一步，損失進(jìn)展的預(yù)測。 對過去發(fā)生年的損失的最終賠款進(jìn)行估計(jì)。 第二步，損失趨勢的預(yù)測 對新保單的最終賠款損失預(yù)測321、損失進(jìn)展的預(yù)測流量三角形法原因：經(jīng)驗(yàn)損失中包含有未賠付（并且經(jīng)常是未報(bào)告）損失 定義：純損失/純損失和直接理賠費(fèi)用?方法: 損失進(jìn)展法 假設(shè): 賠案發(fā)生之后，索賠以某種模式經(jīng)歷 “未報(bào)告已報(bào)告未賠付賠付完畢”這一過程，并且這樣的模式是平穩(wěn)的, 與賠案何時(shí)發(fā)生沒有關(guān)系。 33步驟：（1）建立流量三角形；（2）計(jì)算同一個(gè)發(fā)生年

12、的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子；（3）選定相鄰年的進(jìn)展因子和尾部進(jìn)展因子（如果有必要）；（4）將各發(fā)生年的選定進(jìn)展因子和尾部進(jìn)展因子連乘得到最終進(jìn)展因子 ；（5）將最終進(jìn)展因子乘以最近一個(gè)評價(jià)日記錄已發(fā)生的賠款可得到各發(fā)生年的最終索賠預(yù)測值。34（1）建立流量三角形例：已知各發(fā)生年已報(bào)告索賠次數(shù)的進(jìn)展數(shù)據(jù)：發(fā)生年 12 24 36 48 60 721994 1,804 2,173 2,374 2,416 2,416 2,4161995 1,935 2,379 2,424 2,552 2,5521996 2,103 2,384 2,514 2,6461997 2,169 2,580 2,7221998

13、2,346 2,7831999 2,337表 13512/31/1999各個(gè)發(fā)生年的累積索賠次數(shù)的情況發(fā)生年1224364860721994 2,4161995 2,552 1996 2,646 1997 2,722 1998 2,783 19992,337 表 236（2）計(jì)算同一個(gè)發(fā)生年的賠案相鄰年齡進(jìn)展因子 發(fā)生年 12-2424-3636-4848-6060-7219941.20451.09251.01771.00001.000019951.2295？1.05281.0000 19961.13361.05451.0525 19971.18951.0550 19981.1863 比如：1

14、.20452,173/1,804表 537（3）選定進(jìn)展因子和尾部進(jìn)展因子發(fā)生年 12-2424-3636-4848-6060-7219941.20451.09251.01771.00001.000019951.22951.01891.05281.0000 19961.13361.05451.0525 19971.18951.0550 19981.1863 算術(shù)平均）1.1887 1.05521.0411.01.0選定進(jìn)展因子1.191.0551.0451.01.0尾部進(jìn)展因子選擇138（3）預(yù)測最終損失（索賠數(shù)）的值 發(fā)生年發(fā)生年年齡相鄰年齡進(jìn)展因子最終進(jìn)展因子12/31/1999已報(bào)告索賠

15、最終索賠數(shù)預(yù)測值1994721.00002,4162,4161995601.00001.00002,5522,5521996481.00001.00002,6462,6461997361.04501.04502,7222,8341998241.05501.10252,7833,0551999121.1900 ？2,337？表 639注：個(gè)別數(shù)據(jù)的計(jì)算例進(jìn)展月（2472）進(jìn)展因子的估計(jì)值為(表6) 1.1025=1.0001.0001.04501.0550最終索賠預(yù)測值最終進(jìn)展因子已報(bào)告索賠數(shù)，比如2,8341.04502,7223.注意: 上表中的相鄰年齡進(jìn)展因子和尾部進(jìn)展因子是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和

16、主觀判斷得來的 。402、趨勢的預(yù)測新費(fèi)率將什么時(shí)候開始實(shí)施？該費(fèi)率預(yù)計(jì)將應(yīng)用多長時(shí)間？在新費(fèi)率實(shí)施之后，預(yù)計(jì)從何時(shí)開始將發(fā)生索賠？索賠經(jīng)驗(yàn)中是否存在一定趨勢？41例 假設(shè)我們已經(jīng)得到了發(fā)生年1994年到1999年的最終索賠次數(shù)和損失（包括直接理賠費(fèi)用）的預(yù)測值，現(xiàn)在要對2000年7月1日開始執(zhí)行的一年期的保單制定費(fèi)率，我們應(yīng)該如何根據(jù)這些的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)2000年7月1日后簽的保單的最終損失。19941999 20007/1/200,新費(fèi)率生效2001經(jīng)驗(yàn)期42分析：7/1/2000簽的保單事故發(fā)生的平均日期是1/1/2001。而6/30/2001簽的保單事故發(fā)生的平均日期是12/31/200

17、1。2000年7月1日后簽的保單發(fā)生事故的平均日期是7/1/2001。我們要預(yù)測的損失應(yīng)該是1/7/2001的損失?；?999發(fā)生年以前數(shù)據(jù)預(yù)測的最終損失僅代表了大約到1/7/1999為止的損失，而根據(jù)新費(fèi)率收的保費(fèi)必須覆蓋大約到1/7/2001為止的損失 。43區(qū)分下面事故日期的概念平均事故日期 1/1/2000新費(fèi)率生效日7/1/2001新保單的平均事故日期 7/1/200244經(jīng)驗(yàn)期計(jì)算日期新費(fèi)率生效日期期望有效期45趨勢的識別各發(fā)生年的預(yù)測的最終損失$0$1,000,000$2,000,000$3,000,000$4,000,000$5,000,000$6,000,000$7,000

18、,000$8,000,00019931994199519961997199819992000如果賠付數(shù)據(jù)有可識別的趨勢，則那些趨勢的影響一定會在從1/7/2000到1/7/2002的48個(gè)月中被反映出來。46解決方案通常用一條合適的曲線去擬合觀察數(shù)據(jù)，從而反映趨勢?！昂线m”的含義？有的時(shí)候過分合適的曲線不一定好 。47例：考察下面事故年索賠強(qiáng)度的預(yù)測數(shù)據(jù)： 事故年19951996199719981999200020012002預(yù)測的索賠強(qiáng)度（元）309 53276399612251444164718283210200100yxxx 其中x發(fā)生年1994用下面曲線去擬合48但是它并不是預(yù)測索賠強(qiáng)

19、度趨勢變化的合理的模型。 49常用的擬合曲線線性模型指數(shù)模型指數(shù)模型可以轉(zhuǎn)化為線性模型令 ,則有yaxbaxybeln( )ln( )yaxbln( ), ln( )yy bbyaxb50幾點(diǎn)注意索賠頻率和索賠強(qiáng)度的趨勢常是分開分析 。模型的選擇對線性模型來說，x每增加一個(gè)單位，預(yù)測值y將增加一個(gè)常量a。對指數(shù)模型來說，x每增加一個(gè)單位，預(yù)測值y將增加一個(gè)常數(shù)倍，預(yù)測值是它前面的一個(gè)預(yù)測值的ea1倍。模型的選擇依賴于精算師的主觀判斷。51例：例：假設(shè)已知發(fā)生年19941999年的最終賠款損失、最終索賠數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)，如表3。假設(shè)新修訂的保單費(fèi)率將從2000年1月1日開始施行，期限為1年。請用經(jīng)

20、驗(yàn)期19971999年的數(shù)據(jù)趨勢化預(yù)測事故平均發(fā)生日期為2001年7月1日的最終賠款損失。52發(fā)生年發(fā)生年最終賠款損最終賠款損失失最終索賠最終索賠數(shù)數(shù)風(fēng)險(xiǎn)單位風(fēng)險(xiǎn)單位19943,928,8052,41637,84619954,425,5402,55239,77119965,081,6682,64642,13519975,790,0942,84445,23119986,760,2073,06848,58319997,288,3513,06652,26753首先我們對索賠強(qiáng)度進(jìn)行趨勢預(yù)測。采用一元線性回歸方程， x發(fā)生年1993進(jìn)行擬合，應(yīng)用最小二乘法得到a150.77，b1455.13，從而得到

21、各發(fā)生年的索賠強(qiáng)度的線性擬合值如下。yabx54發(fā)生年發(fā)生年索賠強(qiáng)度索賠強(qiáng)度索賠強(qiáng)度的索賠強(qiáng)度的線性擬合值線性擬合值19941,6261,605.9019951,7341,756.6819961,9211,907.4519972,0362,058.2219982,2032,208.9919992,3772,359.76表455對此回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量的值825.15，大于1的顯著水平，說明方程整體顯著。再將1999年的擬合值2359.76除以1998年的擬合值2208.99得到索賠強(qiáng)度的趨勢因子為1.0683。 56類似的，使用模型，x發(fā)生年1993 對索賠頻率進(jìn)行擬合得到索賠頻率

22、的趨勢因子等于0.06050.06130.9869 .將索賠強(qiáng)度和索賠頻率的趨勢因子相乘就得到相鄰發(fā)生年的最終損失的趨勢因子，表5給出了2001年最終損失的趨勢化預(yù)測值。 bxyae57發(fā)生發(fā)生年年最終損最終損失失（元）（元）平均平均事故事故日期日期索賠強(qiáng)索賠強(qiáng)度趨勢度趨勢索賠頻率索賠頻率趨勢趨勢2001年的趨年的趨勢化最終損勢化最終損失（元）失（元）19975,790,0947/1/971.30250.94797,148,68019986,760,2077/1/981.2192?7,917,30819997,288,3517/1/991.14130.97358,097,763(2001 19

23、97)1.30251.068358發(fā)生發(fā)生年年最終損最終損失失（元）（元）平均平均事故事故日期日期索賠強(qiáng)索賠強(qiáng)度趨勢度趨勢索賠頻率索賠頻率趨勢趨勢2001年的趨年的趨勢化最終損勢化最終損失（元）失（元）19975,790,0947/1/971.30250.94797,148,68019986,760,2077/1/981.21920.96067,917,30819997,288,3517/1/991.14130.9735?59例如，如果用1997年的最終損失預(yù)測得到2001年趨勢化最終損失等于最后將1997、1998、1999年計(jì)算得到的預(yù)測值取平均即得2001年的趨勢化最終損失的預(yù)測值。 5

24、,790,094 1.3025 0.94797,148,68060三、附加費(fèi)用分析理賠費(fèi)用：理賠和支付過程中的費(fèi)用直接理賠費(fèi)用（ALAE）：直接發(fā)生于具體賠案的專家費(fèi)、律師費(fèi)、損失檢驗(yàn)費(fèi)等的費(fèi)用間接費(fèi)用 （ULAE）：非直接發(fā)生于具體賠案的費(fèi)用61管理費(fèi)用：與理賠無直接相關(guān)的費(fèi)用可變費(fèi)用：隨保費(fèi)的變化而變化 傭金和經(jīng)紀(jì)人傭金Commission and Brokerage保費(fèi)稅、執(zhí)照費(fèi) Taxes, Licenses and Fees其它展業(yè)費(fèi)用固定費(fèi)用：與保費(fèi)無關(guān)Pretax Profit.一般管理費(fèi)62有關(guān)費(fèi)用的若干指標(biāo)固定費(fèi)用率H：固定費(fèi)用與保費(fèi)之比可變費(fèi)用率V：可變費(fèi)用與保費(fèi)之比費(fèi)用率